线性代数 |
![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a31efc33ac33577d719a3ccd162a9bf21e4847ea) |
向量 · 向量空间 · 基底 · 行列式 · 矩阵 |
|
|
矩阵
的共轭转置(英語:conjugate transpose,又称埃尔米特共轭、埃尔米特转置(英語:Hermitian transpose))
的定义为:
![{\displaystyle (A^{*})_{i,j}={\overline {A_{j,i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d78bdef2a9dc9abbafa8773ce8aa16d136da4ff)
其中
表示矩阵i行j列上的元素,
表示标量的复共轭。
这一定义也可以写作:
![{\displaystyle A^{*}=({\overline {A}})^{\mathrm {T} }={\overline {A^{\mathrm {T} }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35ef6d0c6e0c9cb22f377422aaf75892bcccc406)
其中
是矩阵A的转置,
表示对矩阵A中的元素取复共轭。
通常用以下记号表示矩阵A的共轭转置:
或
,常用于线性代数
,普遍用于量子力学,而同時
只表示為
的複數共軛。[1]
(但这一记号通常指矩阵的摩尔-彭若斯广义逆)
注意:某些情况下
也指仅对矩阵元素取复共轭,而不做矩阵转置,切勿混淆。
若
,
则
。
如果A的元素是实数,那么A*与A的转置AT相等。把复值方块矩阵视为复数的推广,以及把共轭转置视为共轭复数的推广通常是非常有用的。
元素为
的方块矩阵A称为:
- 埃尔米特矩阵或自伴矩阵,如果A = A*,也就是说,
; - 斜埃尔米特矩阵或反埃尔米特矩阵,如果A = −A*,也就是说,
; - 正规矩阵,如果A*A = AA*。
即使A不是方块矩阵,A*A和AA*仍然是埃尔米特矩阵和半正定矩阵。
- (A + B)* = A* + B*。
- (rA)* = r*A*,其中r为复数,r*为r的复共轭。
- (AB)* = B*A*,其中A为m行n列的矩阵,B为n行p列矩阵。
- (A*)* = A 。
- 若A为方阵,则det(A*) = (det A)*,且tr(A*) = (tr A)* 。
- A是可逆矩阵,当且仅当A*可逆,且有(A*)−1 = (A−1)* 。
- A*的特征值是A的特征值的复共轭。
- <Ax,y> = <x, A*y>,其中A为m列n行的矩阵,复向量x为n维行向量,复向量y为m维行向量,<·,·>为复数的内积。
- 从上面给出的最后一个性质可以推出,如果我们把A视为从希尔伯特空间Cn到Cm的线性变换,则矩阵A*对应于A的自伴算子。于是,希尔伯特空间之间的自伴算子可以视为矩阵的共轭转置的推广。
- 还可以进行另外一种推广:假设A是一个从复值向量空间V到W的线性映射,那么可以定义复共轭线性映射和线性映射的转置,并可以取A的共轭转置为A的转置的共轭复数。它把W的共轭对偶映射到V的共轭对偶。
- ^ Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics 2nd, 2005, pg. 443