线性代数 |
![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a31efc33ac33577d719a3ccd162a9bf21e4847ea) |
向量 · 向量空间 · 基底 · 行列式 · 矩阵 |
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在線性代數中,餘因子是一種關於方陣之逆及其行列式的建構,餘因子矩陣的項是帶適當符號的子行列式。
對一個
矩陣
,在
的子行列式(余子式)
定義為刪掉
的第 i 橫行與第 j 縱列後得到的行列式。令
,稱為
在
的餘因子(代数余子式)。矩陣
稱作
的餘因子矩陣(余子矩阵)。餘因子矩陣的轉置稱為伴隨矩陣,記為
。
考慮三階方陣
![{\displaystyle B={\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\\\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dafc90620f449a84b75bb6bcb21f1dc668f1128)
今將計算餘因子
。子行列式
是下述矩陣(在
中去掉第 2 橫行與第 3 縱列)之行列式:
![{\displaystyle M_{23}={\begin{vmatrix}b_{11}&b_{12}&\Box \\\Box &\Box &\Box \\b_{31}&b_{32}&\Box \\\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{31}&b_{32}\\\end{vmatrix}}=b_{11}b_{32}-b_{31}b_{12}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab1f1bf2a4b582c04fbb2e404764d40dcacc7f4d)
根據定義得到
![{\displaystyle \ C_{23}=(-1)^{2+3}(M_{23})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff3a13fd7b2bc97a5e6d46a0eaf1e0abb1cf753f)
![{\displaystyle \ C_{23}=(-1)^{5}(b_{11}b_{32}-b_{31}b_{12})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a71b1de48173b2564ec93bedeb3cd72374a588d)
![{\displaystyle \ C_{23}=b_{31}b_{12}-b_{11}b_{32}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50a4cf54fd280e85a2f86712793a45476cbd0ca4)
對一
矩陣:
![{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37679c31794d41a853c144d9a0775634400f475d)
其行列式
可以用餘因子表示:
![{\displaystyle \ \det(A)=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+a_{3j}C_{3j}+...+a_{nj}C_{nj}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e0af8202f18ac55724bf2466c9cb4c8b8323813)
- (對第 j 縱行的餘因子分解)
![{\displaystyle \ \det(A)=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+a_{i3}C_{i3}+...+a_{in}C_{in}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17e049ed5e11a19ae4ae5182dde6c72f82ba234f)
- (對第 i 橫列的餘因子分解)
「古典伴隨矩陣」(classical adjoint matrix) 是餘因子矩陣的「轉置矩陣」,它與逆矩陣的計算有極大的關係。
![{\displaystyle A^{-1}={\frac {\mathrm {adj} (A)}{\det(A)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a0760129ea3160d98a92dc09f0df8ccfffd51e4)
將餘因子矩陣
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&\cdots &C_{1n}\\C_{21}&C_{22}&\cdots &C_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{n1}&C_{n2}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa1335432bbfd00f2dbfdf846a0773521c8dae61)
轉置之後,會得到「古典伴隨矩陣」:
![{\displaystyle \mathrm {adj} (A)={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{21}&\cdots &C_{n1}\\C_{12}&C_{22}&\cdots &C_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{1n}&C_{2n}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4ce684dd32727d047f82f4264cc306e24a9dcc1)
克萊姆法則可以用餘因子寫成下述簡鍊的形式:
![{\displaystyle \mathrm {cof} (A)^{t}A=A\mathrm {cof} (A)^{t}=\det(A)I_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a502107e6a73e5e8b268794930ea3a168d54b0dc)
當
時,
的逆矩陣由下式給出:
![{\displaystyle A^{-1}={\dfrac {\mathrm {cof} (A)^{t}}{\det A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3118d15a3343d4e248da5980f51f82c3ebef888e)
此即線性方程組理論中的克萊姆法則。
- Anton, Howard and Chris, Rorres, Elementary Linear Algebra, 9th edition (2005), John Wiley and Sons. ISBN 0-471-66959-8