磁标势(英語:Magnetic scalar potential)是描述磁场性质的一个有用的辅助量,尤其是在永磁体中。
在一个单连通、没有自由电流的区域,有
![{\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f16f8ac6278a56af19f472fb38e3996ac1cc4c0)
这样,我们可以定义磁标势
为[1]:194-199
![{\displaystyle \mathbf {H} =-\nabla \psi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dad6bbfe1c1c449c2a7840cf0c899974982e3659)
又因为
![{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =\mu _{0}\nabla \cdot (\mathbf {H+M} )=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d67af9283942ce5251db6c4a2ee84a88fca41f2)
并且
![{\displaystyle \nabla ^{2}\psi =-\nabla \cdot \mathbf {H} =\nabla \cdot \mathbf {M} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a46537ca94505b979ef6c0ecfc1fd211c705dac)
这里,
充当了磁场的“源”,看起来就像是
在电场中的角色。因此,类比束缚电荷,我们可以将
![{\displaystyle \rho _{m}=-\nabla \cdot \mathbf {M} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bf2dd569b8feb3fc1846ad9e23cb269e33c0ffd)
称为“束缚磁荷”(虽然到目前为止尚未发现有单独的磁荷存在)。
如有区域存在自由电流,则可以从总的磁场中减去自由电流的贡献,利用磁标势方法求得剩余量。
在靜磁學裏,描述在源電流四周的另外一個很有用的工具是磁标势。由於磁标势是一個純量,不是向量,大多數時候,使用磁标势可以使得運算更加簡便。但是,它只能使用在沒有源電流的空間。注意到靜磁學的兩個基本方程式為
、
;
其中,
是磁場強度(H場)。
假設電流密度
等於零,則
,H場是個保守場,必定存在一個函數
滿足
。
稱這函數為磁标势。在真空裏或各向同性、線性、均勻的介電質裏,則可將上述定義式代入高斯磁定律,稍加編排,表示為拉普拉斯方程式的形式:
。
對於任意連續場
,其梯度的旋度為零。這意味著磁标势場不能存在有任何源電流。但是,實際而言,假若容許不連續線的存在於磁标势場(不連續點可以擁有兩種不同的數值),應用複分析,就可以計算源電流產生的磁場。這不連續線稱為割線(line of cut)。當用磁标势來解析靜磁學問題時,源電流必須置放於割線。
在鐵磁性物質或永久磁鐵裏,B場
、磁化強度
與H場
之間的關係比較複雜:
。
應用高斯磁定律,
。
立可得到
。
可以視為磁場的源電流,就好似
是靜電學的束縛電荷一樣。這樣,類比束縛電荷,可以稱呼
為「束縛磁荷」。這樣,束縛磁荷的帕松方程式為
。
這帕松方程式的解答為
。
- Duffin, W.J. Electricity and Magnetism, Fourth Edition. McGraw-Hill. 1990.
- Feynman, Richard P; Leighton, Robert B; Sands, Matthew. The Feynman Lectures on Physics Volume 2. Addison-Wesley. 1964. ISBN 020102117XP.
- Jackson, John David. Classical Electrodynamics, Third Edition. John Wiley & Sons. 1998.
- Jackson, John Davd, Classical Electrodynamics 3rd, John-Wiley, 1999, ISBN 047130932X
- Kraus, John D., Electromagnetics 3rd, McGraw-Hill, 1984, ISBN 0070354235
- Ulaby, Fawwaz. Fundamentals of Applied Electromagnetics, Fifth Edition. Pearson Prentice Hall. 2007: 226–228. ISBN 0-13-241326-4.