立方和的簡單圖解 立方和是數學公式的一種,它屬於因式分解、乘法公式及恆等式,被普遍使用。立方和是指一個立方數,加上另一個立方數,即是它們的總和。公式如下:[1]
![{\displaystyle a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})=(a\pm b)^{3}\mp 3ab(a\pm b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d392031225e6d71f2e8f0169c65aa89498f506c8)
立方和被因式分解後,答案分別包含二項式及三項式,與立方差相同。
驗證此公式,可透過因式分解,首先設以下公式:
![{\displaystyle a^{2}b-a^{2}b+ab^{2}-ab^{2}=0\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99627253d2583beb6095787131cefee0d4f0c866)
然後代入:
![{\displaystyle a^{3}+b^{3}=a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b-ab^{2}+b^{3}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3ca24d8fe6ca7870461c4be4a5b628002c63ab3)
透過因式分解,可得:
![{\displaystyle a^{3}+b^{3}=a(a^{2}-ab+b^{2})+b(a^{2}-ab+b^{2})\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/887f846e373e904a27d32622550d97141db27b02)
![{\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efd22c225069feac0eb3e3b285fcd28f4e73fc87)
這樣便可驗證:
透過和立方可驗證立方和的原理:
![{\displaystyle (x+y)^{3}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64e5a4e70a26f1302c33546142b99da0ccb7b908)
![{\displaystyle =x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08c777a7dce04b9f60fbdc5e79f124a1ee8c163e)
那即是只要減去
及
便可得到立方和,可設:
![{\displaystyle x^{3}+y^{3}=(x+y)^{3}-3x^{2}y-3xy^{2}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b3b8761cf4378e791ac576a44ac336fa212c3f0)
- 右邊的方程
![{\displaystyle =(x+y)^{3}-3x^{2}y-3xy^{2}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51c018f2d44a3abd1f8b1154a9fe618ad2f9352f)
運用因式分解的方法:
![{\displaystyle =(x+y)^{3}-3xy(x+y)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/186a6ee588756c6958db0a1951ec6d86ba9e2c97)
![{\displaystyle =(x+y)\left[(x+y)^{2}-3xy\right]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bc61bdb20edf84a4973691f6064903308accd4b)
![{\displaystyle =(x+y)(x^{2}+2xy+y^{2}-3xy)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f570eca067a849bdefac87eac1db14c52dea3b17)
![{\displaystyle =(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17ad5c3938197ddd78c76d3f4aee4657e50fc31c)
這樣便可驗證出:
圖象化
透過繪立體的圖像,也可驗證立方和。[2] 根據右圖,設兩個立方,總和為:
![{\displaystyle x^{3}+y^{3}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6c19933a618cc826fc0fe572c93d56d256432fa)
把兩個立方體對角貼在一起,根據虛線,可間接得到:
![{\displaystyle (x+y)^{3}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64e5a4e70a26f1302c33546142b99da0ccb7b908)
要得到
,可使用
的空白位置。該空白位置可分割為3個部分:
![{\displaystyle x\times y\times (x+y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3b8cc983ddfe49ea08815330917ae09eb5194c8)
![{\displaystyle x\times (x+y)\times y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/031e899f7b40394d9905a191158f042a1cbdd923)
![{\displaystyle (x+y)\times y\times x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b53ab5dc4676f70af2f115daeff0edfa314a4faa)
把三個部分加在一起,便得:
![{\displaystyle =xy(x+y)+xy(x+y)+xy(x+y)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/883ceec90f325b70ce34928bbea7730e91adff2b)
![{\displaystyle =3xy(x+y)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d31b619c13ee55ae48a64f1d92be194a2a396e94)
之後,把
減去它,便得:
上公式發現兩個數項皆有一個公因子,把它抽出,並得:
![{\displaystyle =(x+y)\left[(x+y)^{2}-3xy\right]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bc61bdb20edf84a4973691f6064903308accd4b)
可透過和平方公式,得到:
![{\displaystyle =(x+y)(x^{2}+2xy+y^{2}-3xy)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f570eca067a849bdefac87eac1db14c52dea3b17)
![{\displaystyle =(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17ad5c3938197ddd78c76d3f4aee4657e50fc31c)
這樣便可證明
透過
也可反驗證立方和。
![{\displaystyle (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b52716b7d62a9ee8d296d94d15bb74ff097b5064)
![{\displaystyle =a(a^{2}-ab+b^{2})+b(a^{2}-ab+b^{2})\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/011e629187cf458dbcb7450061c7ef03c7573e66)
![{\displaystyle =a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b-ab^{2}+b^{3}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bbe6a0db49015bbc19c2559f8a809b1750ce4fd)
![{\displaystyle =a^{3}+b^{3}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52e59b37f310a71a2dc85c6d1f7f3693c564a1d4)
以上計算方法亦可簡化為一個表格:
x) | | | |
| | | |
| | | |
這樣便可證明
立方差也可以使用立方和來驗證,例如:
![{\displaystyle 125u^{3}-343v^{3}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70cf2bd206e1a3e6f3b4d994fa919b598eb62bcb)
把兩個數項都轉為立方數:
![{\displaystyle =(5u)^{3}-(7v)^{3}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30ad05f7bdd57714442fb77a6e5b4674a980f591)
運用負正得負,可得:
![{\displaystyle =(5u)^{3}+(-7v)^{3}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b450cf3804c9e0206face2c90d7dc300562694c)
然後運用立方和,可得:
![{\displaystyle =\left[5u+(-7v)\right]\left[25u^{2}-(5u)(-7v)+(-7v)^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44d2b563baed222d2b8aa5fb5c372dc7b415602d)
![{\displaystyle =(5u-7v)(25u^{2}+35uv+49v^{2})\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4ab59a421249564816933426ef415e288c4cc15)
這個方法更可驗證到立方差的公式是
有些整數可以有兩個立方和組合,[3] 而最少的,已是過千的1729。它是兩組不同的立方和:
![{\displaystyle 1729=1^{3}+12^{3}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ffa65a4b35d726acefc288f9c0a2c73a8f896c8)
![{\displaystyle 1729=9^{3}+10^{3}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31b89ef422720a798384b4ee74ac5a557346e1f9)
下一個同樣有兩個立方和組合的整數是4104:
![{\displaystyle 4104=9^{3}+15^{3}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81089d54ecdbc7e70f8f1a7be7ff9f7653463767)
![{\displaystyle 4104=2^{3}+16^{3}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/952688e7d9a256603802b8a90f539ec6d13a8767)
首十個兩組立方和的數:1729、4104、13832、20683、32832、39312、40033、46683、64232、65728