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超實數」。
在數學上,超現實數系統(英語:Surreal Numbers)是一種連續統,其中含有實數以及無窮量,即無窮大(小)量,其絕對值大(小)於任何正實數。超現實數與實數有許多共同性質,包括其全序關係「≤」以及通常的算術運算(加減乘除);也因此,它們構成了有序域[註 1]。在嚴格的集合論意義下,超現實數是可能出現的有序域中最大的;其他的有序域,如有理數域、實數域、有理函數域、列維-奇維塔域、上超實數域和超實數域等,全都是超現實數域的子域。超現實數域也包含可達到的、在集合論裡構造過的所有超限序數。
超现实数树的可视化。 超現實數是由約翰·何頓·康威(John Horton Conway)所定義和構造的。這個名稱早在1974年便已由高德納(Donald Knuth)在他的書《研究之美》[註 2][1][2]中就被引進了。《研究之美》是一部中短篇數學小說,而值得一提的是,這種把新的數學概念在一部小說中提出來的情形是非常少有的。在這部由對話體寫成的著作裡,高德納造了「surreal number」一詞,用來指稱康威起初只叫做「number」(數)的這個新概念。康威樂於採用新的名稱,後來在他1976年的著作《論數字與博弈》(On Numbers and Games)中就描述了超現實數的概念並使用它來進行了一些博弈分析。
康威[3]使用递归构造了超现实数,其中每个数都是两个数集构成的序对,记为
。这两个集合要求
里的每个元素都严格小于每个
里的元素。不同的序对可能表达同样的数字:
。
让我们先来看几个简单的例子。
![{\displaystyle \{|\}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7315d4c4fb6549ee62a4d1d71f0eec34e6c608f5)
![{\displaystyle \{0|\}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/470425991675e31b46f6be3ddcd89290c60b7af6)
![{\displaystyle \{1|\}=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f579969d18e634a143831bddcc93e1b00b6cb0a)
![{\displaystyle \{|0\}=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cda2487a5b9a99767d8aae0e488159aeaaf965a)
![{\displaystyle \{|-1\}=-2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/355aa89054ccb29c672165d06dc0ffaca19aaf29)
因此整数都是超现实数。(以上几行是定义而非等式。)
![{\displaystyle \{0|1\}={\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d774ca21615ae4c5198677862e327d54a8bad5a7)
![{\displaystyle \left\{0|{\frac {1}{2}}\right\}={\frac {1}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94a6ae4fd0068e15bdf87ad0b8a117417fc86bb3)
![{\displaystyle \left\{{\frac {1}{2}}|1\right\}={\frac {3}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/984b11cdbd2e2dce331a253fe9c173a5da6d57ca)
至此我们可以通过超现实数定义二进分数(分母为2的幂次的分数)。
为了定义更多的实数,我们可以将使用无限的左右集合:
,
,事实上可以同样地使用二进制展开的方法定义出所有实数。
根据归纳法,我们可以构造出
,
等无穷大的数,
等无穷小数。以上超现实数皆不属于实数。
我们定义
。
若
且
,那么
,这在直观上等价于“
是在第
天中出生的”。
那么我们可以观察发现:
![{\displaystyle 1,-1\in P_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e02939350fc9b61cf1b0311163f8515fb7805ada)
![{\displaystyle 2,-2,{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\in P_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d42ee8dce3f0782263a266ab934039697d3cf44)
![{\displaystyle \pi ,\omega ,{\frac {1}{3}}\in P_{\omega }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18b97eb5929eae453e66da59a2130fe57c2ab879)
![{\displaystyle \omega -1,\omega +1\in P_{\omega +1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62d1fec83ed6a0fe3fc1d1d074b46be7f94882be)
,其中![{\displaystyle 2\omega =\{0,1,2,\ldots ,\omega +1,\omega +2,\ldots |\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e44a15d24c0c0c1ed3f2b5bd4bf396b136eadf1c)
![{\displaystyle \forall i\in \mathbb {Ord} :i\in P_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/010e1f9f083a874e6294c20be5c9e73536002cae)
我们将超现实数集合称作
。
给定
,我们(递归地)定义
当且仅当以下两命题同时成立:
- 没有一个
符合
, - 没有一个
符合
。
那么可以自然地定义
。可以证明,这样的二元关系是一个全序关系。
我们分别将
称为
负、
正、
非正、
非负。
我们定义
表示
与
同时不成立。事实上这样的二元关系在超现实数中不可能存在,但是这个关系会在之后的博弈章节出现。
我们定义超现实数之间的加法为
,其中
。
我们定义负号(加法逆元)为
,其中
。
可以验证这两个运算构成了(真类上的)阿贝尔群。
我们定义乘法运算为
,其中
。
我们定义(正数的)乘法逆元为
,这样除法就是
。我们可以发现这个定义是递归的,但是实际上这个数字是良定义的:我们取
那么
会有一个
作为左项,导致了
会是一个右项。这又意味着
作为左项、
作为右项,以此类推,所以我们有
(考虑两边的序列在实数中分别收敛到
,因此是相容的)。
对于负数,我们定义
。
有理数、实数、序数分别是超现实数的子集。
所有二进分数都可以定义为超现实数,而所有分数都可以表示为两个整数之比,因此所有有理数都可以表示为超现实数。
在定义出了有理数之后,使用戴德金分割可以立刻将实数映射到超现实数中。
假设
,其中
,那么立刻可知存在
是
的一个超现实数表示,其中
是有理数到超现实数的域同態。
我们将所有序数定义为小于它的序数构成的集合[4]。所有序数的全体记为
,那么我们有:
![{\displaystyle f:\mathbb {Ord} \to \mathbb {No} ,\ f(X)=\left\{f(x),x\in X|\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43d5c3bd0d75147295d77e6ee1645fe6b6218f39)
这样的同态可以保持序关系的结构,但是并不能保证算术的一一对应,比如
这一式子的值在序数中的结果是
,而在超现实数中则是
.
如果去除超现实数定义中对所有
的约定,那么这样(递归)定义出来的真类被称做游戏[5]。对其仍然可以(一模一样的)定义加法、加法逆元以及比较。
显然,所有的超现实数都是游戏,但并非所有游戏都是超现实数,例如
就不是,其满足
。
可以发现,所有的游戏都体现了一个两人轮流、确定、公开的博弈游戏,其中左集合表示第一位玩家(下称左玩家)可以走到的局面,右集合则表示第二位玩家(下称右玩家)的选择,不能操作者负。
两个游戏的和的意义就是同时进行两个游戏,而每个玩家选择其中一个进行操作,不能操作者负。
我们可以发现,这个游戏的胜负取决于
和
的相对关系。
- 若
,则后手必胜。 - 若
,则左玩家必胜。 - 若
,则右玩家必胜。 - 若
,则先手必胜(英語:fuzzy game)。
有以下这些特殊的游戏[6]:
![{\displaystyle \star =\{0|0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/568da4d3712432619ac373af55e26bd49237bd04)
![{\displaystyle \uparrow =\{0|\star \},\ \downarrow =\{\star |0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a32322663cfec6201d64a1d3273f98d6ffcd7a0)
![{\displaystyle \pm 1=\{1|-1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af087eea4931d155220c06408d4cc39e950cc54f)
可以发现,关于他们有这么几个性质:
![{\displaystyle \star \|0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72319cf91e5d25e3eb48bac2043f80679649c5cc)
![{\displaystyle \forall i:-1\leq i\leq 1\implies \pm 1\|i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d96145b3074414510952d4b139538dcb44f87790)
(比所有超现实数更接近0) ![{\displaystyle \star +\star =\uparrow +\downarrow =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0959737622b179fcc208dd4b9a14cbe8170efa98)
![{\displaystyle (\uparrow +\star )\|0,\ \uparrow +\uparrow +\star >0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba70285259f12ab76cb7914b16cd29a272e054bf)
可以用于分析复杂的游戏。
- 超現實數(Surreal)
- 無窮量(Infinitesimal)
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