高斯常數識別 |
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種類 | 無理數 超越數 |
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發現 | 卡爾·弗里德里希·高斯 |
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符號 | ![{\displaystyle G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b) |
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位數數列編號 | A014549 |
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性質 |
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定義 | ![{\displaystyle G={\frac {1}{\mathrm {agm} (1,{\sqrt {2}})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/275e66dd6d8763e0d84ba3818b737cdcca89239a) |
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連分數 | [0; 1, 5, 21, 3, 4, 14, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 15, 1, 3, 8, 36...](OEIS數列A053002) |
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表示方式 |
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值 | 0.8346268 |
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二进制 | 0.110101011010101000011010… |
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八进制 | 0.653250326325523207665422… |
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十进制 | 0.834626841674073186281429… |
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十六进制 | 0.D5AA1ACD5A9A1F6B126ED416… |
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高斯常數符號為G,是1和根號2之算术-几何平均数的倒數:
![{\displaystyle G={\frac {1}{\mathrm {agm} (1,{\sqrt {2}})}}=0.8346268\dots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e585f2cba99b5888363b68ad267a532f1a1553d)
此數學常數得名自卡爾·弗里德里希·高斯,他在1799年5月30日發現
![{\displaystyle G={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ce994f6c6a794b21fa039db0523babea96a7997)
因此
![{\displaystyle G={\frac {1}{2\pi }}B({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ae1d745aed081b8c433c9de9a6c7cfd23670bc1)
其中B為貝塔函數。
高斯常數常用來表示
的數值。
![{\displaystyle \Gamma ({\tfrac {1}{4}})={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81aa7915488274e2b4fcf62c23505aa84fc3d565)
換句話說
![{\displaystyle G={\frac {[\Gamma ({\tfrac {1}{4}})]^{2}}{2{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e77d41d505398f254b39b3397332a49dcd71fa0f)
因為
和
互相代數獨立,且
為無理數,因此高斯常數為超越數。
高斯常數常用來定義lemniscate常數,第一lemniscate常數為:
![{\displaystyle L_{1}\;=\;\pi G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/314fbbe2f306a9aacdf1347643341a600153e0fa)
第二lemniscate常數為:
![{\displaystyle L_{2}\,\,=\,\,{\frac {1}{2G}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd3174f0abe1513e9e3be000fc22f4da114f3281)
在計算伯努利雙紐線的弧长時會出現這些常數。
以下是一個用Θ函數定義高斯常數的公式
![{\displaystyle G=\vartheta _{01}^{2}(e^{-\pi })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25decb1772acbceae31c0de8cc737a07e7bd8c9e)
也可以用以下快速收斂的級數表示
![{\displaystyle G={\sqrt[{4}]{32}}e^{-{\frac {\pi }{3}}}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{-2n\pi (3n+1)}\right)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa19577531f9b3da22813ac592a0c28c2145114e)
高斯常數也可以用無窮乘積表示:
![{\displaystyle G=\prod _{m=1}^{\infty }\tanh ^{2}\left({\frac {\pi m}{2}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba4dc860185a3a258ad7ccf8f2a515fb0c48ec9e)
在以下的定積分中也有高斯常數
![{\displaystyle {\frac {1}{G}}=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\sin(x)}}dx=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\cos(x)}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33029f1c45b3b498b7deba17be1b2552116bf00e)
![{\displaystyle G=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{\sqrt {\cosh(\pi x)}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d527f41369d6713c0a332fa194e728b66d68a047)
高斯常數的连分数為[0, 1, 5, 21, 3, 4, 14, ...]. (OEIS數列A053002)