超運算序列 是数学 中一种二元运算 的序列 ,前三项 分别为加法 、乘法 、幂 ,一般來說,除了序列中第一項的加法運算之外,序列中每一項的運算都是重複的前一項的運算(例如乘法是重複的加法: a ⋅ b = a + a + a + ⋯ + a ⏟ b {\displaystyle a\cdot b=\underbrace {a+a+a+\cdots +a} _{b}} ,冪是重複的乘法: a b = a ⋅ a ⋅ a ⋅ … ⋅ a ⏟ b {\displaystyle a^{b}=\underbrace {a\cdot a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{b}} )。这些运算通称为超运算 (或稱為hyper運算符 )。序列中的第n 项称为超-n 运算 或第n 級的超運算 ,其符號為[n ] 。英文則由鲁賓·古德斯坦 命名,當n ≥4時,由n 的希腊语 前缀 加上后缀 -ation组成(例如超-4运算 称为tetration ,超-5运算 称为pentation )。[ 1] 當n ≥3 時,使用高德纳箭号表示法 可将超-n 运算的符號表示为(n -2)个箭头。
超运算可通过递归 进行定义,對於所有正整數 a ,正整數b 和正整數n :
a [ 1 ] b = a + b , for n > 1 , a [ n ] b = a [ n − 1 ] ( a [ n − 1 ] ( a [ n − 1 ] ⋯ ( a [ n − 1 ] ( a [ n − 1 ] a ⏟ b ) ) ⋯ ) ) {\displaystyle a[1]b=a+b,\ {\text{for}}\ n>1,\ a[n]b=\underbrace {a[n-1](a[n-1](a[n-1]\cdots (a[n-1](a[n-1]a} _{b}))\cdots ))} 除这一最常见的定义之外,超运算还有其他的变体。(见下文 )
超运算序列是定义在自然数 集 N {\displaystyle \mathbb {N} } 上的一个序列,记为 H n {\displaystyle H_{n}} 。前三项为加法 (n=1)、乘法 (n=2)和幂 (n=3)。高阶超运算的参数与幂运算相似,[ 2] 即a称为底数,b称为指数(或称超指数[ 3] ),而n则称为阶数。
用高德纳箭号表示法 可以将超运算定义为
H n ( a , b ) = a ↑ n − 2 b = a [ n ] b = { b + 1 n = 0 a n = 1 ∧ b = 0 0 n = 2 ∧ b = 0 1 n ≥ 3 ∧ b = 0 H n − 1 ( a , H n ( a , b − 1 ) ) otherwise {\displaystyle H_{n}(a,b)=a\uparrow ^{n-2}b=a[n]b={\begin{cases}b+1&n=0\\a&n=1\land b=0\\0&n=2\land b=0\\1&n\geq 3\land b=0\\H_{n-1}(a,H_{n}(a,b-1))&{\text{otherwise}}\end{cases}}} 注意到,对于序列的前三项有:
a + b = 1 + ( a + ( b − 1 ) ) {\displaystyle a+b=1+(a+(b-1))} a ⋅ b = a + ( a × ( b − 1 ) ) {\displaystyle a\cdot b=a+(a\times (b-1))} a b = a ⋅ ( a ( b − 1 ) ) {\displaystyle a^{b}=a\cdot (a^{(b-1)})} 通过这样的递归能够定义出高阶运算,从而输入很小的数就可以产生非常大的数。
其实,某一超运算就是一种基于低一阶超运算而进行数的复合的方法。我们可以以加法、乘法与幂的概念为例来说明。加法运算就是将指定次数的1加到原本的数上从而得到最终的结果(如2+3是将1三次加到2上),乘法运算就是将指定次数的某数通加(如 2 × 3 {\displaystyle 2\times 3} 就是3个2相加),幂运算则是将指定次数的某数通乘(如 2 3 {\displaystyle 2^{3}} 就是3个2相乘)。
下表列出了前七个超运算:
n 运算 定义 名称 定义域 0 1 + b {\displaystyle 1+b} 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ + 1 ⏟ b {\displaystyle {1+{\underbrace {1+1+1+\cdots +1} _{b}}}} 超-0运算、后继函数 任意b 1 a + b {\displaystyle a+b} a + 1 + 1 + 1 + ⋯ + 1 ⏟ b {\displaystyle {a+{\underbrace {1+1+1+\cdots +1} _{b}}}} 超-1运算、加法 任意 2 a ⋅ b {\displaystyle a\cdot b} a + a + a + ⋯ + a ⏟ b {\displaystyle {{\underbrace {a+a+a+\cdots +a} } \atop {b}}} 超-2运算、乘法 任意 3 a [ 3 ] b = a b {\displaystyle a[3]b=a^{b}} a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ … ⋅ a ⏟ b {\displaystyle {{\underbrace {a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} } \atop {b}}} 超-3运算、幂 a > 0 {\displaystyle a>0} ,b为实数;或 a ≠ 0 {\displaystyle a\not =0} ,b为整数(某些情况下可扩展为复数) 4 a [ 4 ] b = b a {\displaystyle a[4]b={^{b}a}} a [ 3 ] ( a [ 3 ] ( a [ 3 ] ( ⋯ [ 3 ] ( a [ 3 ] ( a [ 3 ] a ) ) ⋯ ) ) ) ⏟ b {\displaystyle {{\underbrace {a[3](a[3](a[3](\cdots [3](a[3](a[3]a))\cdots )))} } \atop {b}}} 超-4运算、迭代冪次 (英文:tetration) a > 0 , b ≥ − 1 {\displaystyle a>0,b\geq -1} 且为整数(某些情况下可扩展) 5 a [ 5 ] b = b a {\displaystyle a[5]b={_{b}a}} a [ 4 ] ( a [ 4 ] ( a [ 4 ] ( ⋯ [ 4 ] ( a [ 4 ] ( a [ 4 ] a ) ) ⋯ ) ) ) ⏟ b {\displaystyle {{\underbrace {a[4](a[4](a[4](\cdots [4](a[4](a[4]a))\cdots )))} } \atop {b}}} 超-5运算、五級運算 (英文:pentation) a和b都为整数,且 a > 0 , b ≥ 0 {\displaystyle a>0,b\geq 0} 6 a [ 6 ] b {\displaystyle a[6]b} a [ 5 ] ( a [ 5 ] ( a [ 5 ] ( ⋯ [ 5 ] ( a [ 5 ] ( a [ 5 ] a ) ) ⋯ ) ) ) ⏟ b {\displaystyle {{\underbrace {a[5](a[5](a[5](\cdots [5](a[5](a[5]a))\cdots )))} } \atop {b}}} 超-6运算(英文:hexation) a和b都为整数,且 a > 0 , b ≥ 0 {\displaystyle a>0,b\geq 0} n a [ n ] b {\displaystyle a[n]b} a [ n − 1 ] ( a [ n − 1 ] ( a [ n − 1 ] ( ⋯ [ n − 1 ] ( a [ n − 1 ] ( a [ n − 1 ] a ) ) ⋯ ) ) ) ⏟ b {\displaystyle {{\underbrace {a[n-1](a[n-1](a[n-1](\cdots [n-1](a[n-1](a[n-1]a))\cdots )))} } \atop {b}}} 超-n运算(英文:hyper-n) a和b都为整数,且 a > 0 , b ≥ 0 {\displaystyle a>0,b\geq 0}
1914年,阿尔伯特·贝内特(Albert Bennett)最早提出了超运算,他发展出了一套交换超运算(见下文 )的理论。[ 4] 12年之后,威廉·阿克曼 定义了函数 ϕ ( a , b , n ) {\displaystyle \phi (a,b,n)} [ 5] ,和超运算序列已经有了某种程度上的相似。最早的使用三个自变量的阿克曼函数 使用了同样的递归法则,但有两点与现在的超运算不同。一是它定义了 n = 0 {\displaystyle n=0} 时为加法、 n = 1 {\displaystyle n=1} 时为乘法、 n = 2 {\displaystyle n=2} 时为幂运算,二是由其对 ϕ {\displaystyle \phi } 初始条件的定义能得到 ϕ ( a , b , 3 ) = a [ 4 ] ( b + 1 ) {\displaystyle \phi (a,b,3)=a[4](b+1)} ,最后的运算结果与超运算不同。[ 6] [ 7] [ 8]
1947年,鲁宾·古德斯坦 [ 1] 提出现在所使用的超运算序列,只是那时他使用记号 G ( n , a , b ) {\displaystyle G(n,a,b)} 来表示,而非今天的 a [ n ] b {\displaystyle a[n]b} 。在1947年的论文中,古德斯坦还引进了幂运算之后超运算的英文名称,即tetration、pentation、hexation等。
下表列出了曾用来表示超运算的各种符号表示法:
名称 符号表示 注解 高德纳箭号表示法 a ↑ n − 2 b {\displaystyle a\uparrow ^{n-2}b} 高德纳 使用(對於 n ≥ 3 {\displaystyle n\geq 3} )[ 9] ,也在相关参考书目中提及[ 10] [ 11] 古德斯坦表示法 G ( n , a , b ) {\displaystyle G(n,a,b)} 鲁宾·古德斯坦 使用[ 1] 初始阿克曼函数 A ( a , b , n − 1 ) {\displaystyle A(a,b,n-1)} 与超运算并不完全相同 现代阿克曼函数 A ( n , b − 3 ) + 3 = 2 [ n ] b {\displaystyle A(n,b-3)+3=2[n]b} 和以2为底的超运算相同 南比尔表示法 a ⊗ n − 1 b {\displaystyle a\otimes ^{n-1}b} 南比尔(K. K. Nambiar)使用(對於 n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} )[ 12] 框表示法 a n b {\displaystyle a{\,{\begin{array}{|c|}\hline {\!n\!}\\\hline \end{array}}\,}b} 鲁佐勃夫(C. A. Rubtsov)与罗莫里奥(G. F. Romerio)使用[ 13] [ 2] 上标表示法 a ( n ) b {\displaystyle a{}^{(n)}b} 默纳福(Robert Munafo)使用[ 14] 下标表示法 a ( n ) b {\displaystyle a{}_{(n)}b} 默纳福用来表示低级超运算[ 14] 方括号表示法 a [ n ] b {\displaystyle a[n]b} 在一些在线论坛中使用,利于ASCII 表示 康威鏈式箭號表示法 a → b → ( n − 2 ) {\displaystyle a\to b\to (n-2)} 約翰·何頓·康威 使用(對於 n ≥ 3 {\displaystyle n\geq 3} )
1928年,威廉·阿克曼 提出了一个三自变量的函数 ϕ ( a , b , n ) {\displaystyle \phi (a,b,n)} ,后来发展为现有的两个自变量的阿克曼函数 。初始的阿克曼函数与现在的超运算之间的区别更大,因为他当时使用了初始条件:对所有 n > 2 {\displaystyle n>2} ,有 ϕ ( a , 0 , n ) = a {\displaystyle \phi (a,0,n)=a} 。另外他还将 n = 0 {\displaystyle n=0} 指定为加法、 n = 1 {\displaystyle n=1} 为乘法、 n = 2 {\displaystyle n=2} 为幂。因而,幂运算及更高阶的运算就有了完全不同的结果。
n 运算 注释 0 F 0 ( a , b ) = a + b {\displaystyle F_{0}(a,b)=a+b} 1 F 1 ( a , b ) = a b {\displaystyle F_{1}(a,b)=ab} 2 F 2 ( a , b ) = a b {\displaystyle F_{2}(a,b)=a^{b}} 3 F 3 ( a , b ) = a [ 4 ] ( b + 1 ) {\displaystyle F_{3}(a,b)=a[4](b+1)} 类似超-4运算,但其迭代函数 比普通超-4运算更为复杂 4 F 4 ( a , b ) = ( x ↦ a [ 4 ] ( x + 1 ) ) b ( a ) {\displaystyle F_{4}(a,b)=(x\mapsto a[4](x+1))^{b}(a)} 不要与超-5运算相混淆
路莎·彼得(Rózsa Péter)还曾用 A ( 0 , b ) = 2 b + 1 {\displaystyle A(0,b)=2b+1} 作初始条件,但无法形成一个超运算等级。
1984年,C.W.克莱恩肖(C. W. Clenshaw)和F.W.J.奥立弗(F. W. J. Olver)开始讨论如何使用超运算以防止计算机浮点数 溢出。[ 15] 此后,很多人[ 16] [ 17] [ 18] 都开始对于超运算在浮点数表示中的应用产生兴趣。在探讨超-4运算时,克莱恩肖等人曾令 F n ( a , 0 ) = 0 {\displaystyle F_{n}(a,0)=0} 作为初始条件,这就产生了又一个超运算等级。
n 运算 注释 1 F 1 ( a , b ) = a + b {\displaystyle F_{1}(a,b)=a+b} 2 F 2 ( a , b ) = a b = e ln ( a ) + ln ( b ) {\displaystyle F_{2}(a,b)=ab=e^{\ln(a)+\ln(b)}} 3 F 3 ( a , b ) = a b = e b ln ( a ) {\displaystyle F_{3}(a,b)=a^{b}=e^{b\ln(a)}} 4 F 4 ( a , b ) = a [ 4 ] ( b − 1 ) {\displaystyle F_{4}(a,b)=a[4](b-1)} 类似超-4运算,但其迭代函数 比普通超-4运算更为复杂 5 F 5 ( a , b ) = ( x ↦ a [ 4 ] ( x − 1 ) ) b ( 0 ) {\displaystyle F_{5}(a,b)=(x\mapsto a[4](x-1))^{b}(0)} 不要与超-5运算相混淆
1914年阿尔伯特·贝内特 提出了超运算,很可能是关于超运算最早的尝试。交换超运算通过以下递归法则定义:
F n + 1 ( a , b ) = exp ( F n ( ln ( a ) , ln ( b ) ) ) {\displaystyle F_{n+1}(a,b)=\exp(F_{n}(\ln(a),\ln(b)))} 由于a和b的对称性,意味着所有的超运算都是可交换的。但由于序列并不包括幂运算,因此也就不能成为一个超运算等级。
n 运算 注释 0 F 0 ( a , b ) = ln ( e a + e b ) {\displaystyle F_{0}(a,b)=\ln(e^{a}+e^{b})} 1 F 1 ( a , b ) = a + b = ln ( e a e b ) {\displaystyle F_{1}(a,b)=a+b=\ln(e^{a}e^{b})} 2 F 2 ( a , b ) = a b = e ln ( a ) + ln ( b ) {\displaystyle F_{2}(a,b)=ab=e^{\ln(a)+\ln(b)}} 由对数 性质而来 3 F 3 ( a , b ) = e ln ( a ) ln ( b ) {\displaystyle F_{3}(a,b)=e^{\ln(a)\ln(b)}} 幂运算的可交换形式 4 F 4 ( a , b ) = e e ln ( ln ( a ) ) ln ( ln ( b ) ) {\displaystyle F_{4}(a,b)=e^{e^{\ln(\ln(a))\ln(\ln(b))}}} 不要与超-4运算相混淆
均衡超运算于1991年首先由克莱门特·弗拉皮耶(Clément Frappier)提出[ 19] ,这种超运算是基于函数 x x {\displaystyle x^{x}} 的,因而与斯坦豪斯-莫泽表示法 (Steinhaus-Moser notation)有关。均衡超运算的递归法则是
F n + 1 ( a , b ) = ( x → F n ( x , x ) ) log 2 ( b ) ( a ) {\displaystyle F_{n+1}(a,b)=(x\to F_{n}(x,x))^{\log _{2}(b)}(a)} n 运算 注释 0 不存在 1 F 1 ( a , b ) = a + b {\displaystyle F_{1}(a,b)=a+b} 2 F 2 ( a , b ) = a b = a 2 log 2 ( b ) {\displaystyle F_{2}(a,b)=ab=a2^{\log _{2}(b)}} 3 F 3 ( a , b ) = a b = a 2 log 2 ( b ) {\displaystyle F_{3}(a,b)=a^{b}=a^{2^{\log _{2}(b)}}} 就是幂运算 4 F 4 ( a , b ) = ( x → x x ) log 2 ( b ) ( a ) {\displaystyle F_{4}(a,b)=(x\to x^{x})^{\log _{2}(b)}(a)} 不要与超-4运算相混淆
还有一种变化形式的特点是从左到右的顺序进行求值,即:
a + b = ( a + ( b − 1 ) ) + 1 {\displaystyle a+b=(a+(b-1))+1} a × b = ( a × ( b − 1 ) ) + a {\displaystyle a\times b=(a\times (b-1))+a} a b = ( a ( b − 1 ) ) × a {\displaystyle a^{b}=(a^{(b-1)})\times a} 令(通过°或下标) a ( n + 1 ) b = ( a ( n + 1 ) ( b − 1 ) ) ( n ) a {\displaystyle a_{(n+1)}b=(a_{(n+1)}(b-1))_{(n)}a} ,有初始条件 a ( 1 ) b = a + b , a ( 2 ) 0 = 0 {\displaystyle a_{(1)}b=a+b,a_{(2)}0=0} ,且对所有 n > 2 {\displaystyle n>2} 有 a ( n ) 0 = 1 {\displaystyle a_{(n)}0=1} 。
这样所产生的一个问题是,在4阶时它就与通常的定义不同: a ( 4 ) b = a ( a ( b − 1 ) ) {\displaystyle a_{(4)}b=a^{(a^{(b-1)})}} 。出现这一问题的原因在于加法和乘法运算有一种称为结合律 的对称性,但这在幂运算上并不成立。由于通过这种超运算所得到的结果在3阶以上都比普通的超运算更小,因而把这种超运算称为低级超运算。
n 运算 注释 0 a + 1 {\displaystyle a+1} 后继函数 1 F 1 ( a , b ) = a + b {\displaystyle F_{1}(a,b)=a+b} 2 F 2 ( a , b ) = a b {\displaystyle F_{2}(a,b)=ab} 3 F 3 ( a , b ) = a b {\displaystyle F_{3}(a,b)=a^{b}} 幂运算 4 F 4 ( a , b ) = a a ( b − 1 ) {\displaystyle F_{4}(a,b)=a^{a^{(b-1)}}} 不要与超-4运算相混淆 5 F 5 ( a , b ) = ( x → x x ( a − 1 ) ) b − 1 ( a ) {\displaystyle F_{5}(a,b)=(x\to x^{x^{(a-1)}})^{b-1}(a)} 不要与超-5运算相混淆
超運算等級推廣至實數 的可能結果,當 F n ( 3 , 3 ) {\displaystyle F_{n}(3,3)} 的n為實數時。目前實數階的超運算未有相關理論能夠計算,但仍可以以近似的方式得出結果。[ 20] 在取不同的初始条件或不同的递归法则时,就会产生不同的运算。一些数学家扩展出了超运算的许多变体。
通常,超运算等级(hyperoperation hierarchy) ( S , I , F ) {\displaystyle (S,\,I,\,F)} 是一个以集合 I {\displaystyle I} 为索引集 、基于集合 S {\displaystyle S} 的二元运算 族 ( F n ) n ∈ I {\displaystyle (F_{n})_{n\in I}} 。对于 i , j , k ∈ I {\displaystyle i,j,k\in I} ,有:
F i ( a , b ) = a + b {\displaystyle F_{i}(a,b)=a+b} (加法) F j ( a , b ) = a b {\displaystyle F_{j}(a,b)=ab} (乘法) F k ( a , b ) = a b {\displaystyle F_{k}(a,b)=a^{b}} (幂) 如果不满足最后一个条件的话,就能将交换超运算包括在内。当然,也可以明确地定义每一个超运算,但这就超出了我们讨论的范围。大多数的变体形式只包含了对于后继函数 (即加法)的定义,而乘法则由递归法则来进行定义。由于这属于对超运算等级的定义,而非等级本身的性质,很难给出形式上的定义。
对于超运算,除了古德斯坦给出的定义外,还有很多其他可能性。如果对 F n ( a , 0 ) {\displaystyle F_{n}(a,0)} 和 F n ( a , 1 ) {\displaystyle F_{n}(a,1)} 采用不同的初始条件,则产生的超运算在比幂运算更高阶时就会有不同的结果。现今的超运算定义的条件包括对所有 n ≥ 3 {\displaystyle n\geq 3} 有 F n ( a , 0 ) = 1 {\displaystyle F_{n}(a,0)=1} ,而在其他形式中也有 F n ( a , 0 ) = a {\displaystyle F_{n}(a,0)=a} 或 F n ( a , 0 ) = 0 {\displaystyle F_{n}(a,0)=0} 的情况。
关于超运算的一个未解决问题是超运算等级 ( N , N , F ) {\displaystyle (\mathbb {N} ,\mathbb {N} ,F)} 是否能推广到 ( R , R , F ) {\displaystyle (\mathbb {R} ,\mathbb {R} ,F)} [ 21] :5 甚至 ( C , C , F ) {\displaystyle (\mathbb {C} ,\mathbb {C} ,F)} ,以及 ( C , F n ) {\displaystyle (\mathbb {C} ,F_{n})} 是否能成为一个拟群 。
鲁賓·古德斯坦 使用超運算序列定義了一套能表達非負整數的记数系统 [ 1] 。
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