Ext ist ein Bifunktor, der in der homologischen Algebra eine zentrale Rolle spielt.
Sei
eine abelsche Kategorie, zum Beispiel die Kategorie der Moduln eines Ringes, die nach dem Einbettungssatz von Mitchell das Standardbeispiel ist. Zu zwei Objekten
und
aus
sei
die Klasse der kurzen exakten Sequenzen der Form
![{\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/770674a567325a012dea73db16d0a956e1aaae06)
Auf
wird nun eine Äquivalenzrelation definiert. Zwei exakte Sequenzen
und
sind äquivalent, wenn es einen Morphismus
gibt, so dass das Diagramm
![{\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &X&\to &Y&\to &Z&\to &0\\&&\downarrow \operatorname {id} &&\downarrow g&&\downarrow \operatorname {id} \\0&\to &X&\to &Y'&\to &Z&\to &0\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac01cf3aeba5d674363f755b6d56e874e760e1b4)
kommutiert. Dabei ist
der identische Morphismus.
Aus dem Fünferlemma folgt sofort, dass wenn es solch einen Morphismus
gibt, dieser ein Isomorphismus sein muss. Die Klasse
modulo dieser Äquivalenzrelation ist eine Menge und wird mit
bezeichnet. Auf dieser Menge lässt sich eine Gruppenstruktur definieren.[1][2]
Morphismen in der abelschen Kategorie induzieren auf folgende Weise Morphismen zwischen den Ext-Gruppen, so dass
zu einem zweistelligen Funktor wird.
Zu
und der Sequenz
kann man den Push-out bilden:
![{\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &X&\to &Y&\to &Z&\to &0\\&&\downarrow g&&\downarrow &&\\0&\to &X'&\to &Y'\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f74f68b04a3103df2cad479c731ccca0bd6ed357)
Wegen der universellen Eigenschaft des Push-outs gibt es einen induzierten Epimorphismus von Y' nach Z, so dass das folgende Diagramm kommutiert:
![{\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &X&\to &Y&\to &Z&\to &0\\&&\downarrow g&&\downarrow &&\downarrow \operatorname {id} \\0&\to &X'&\to &Y'&\to &Z&\to &0\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f86a2a7be6b38e4537f319e2a96cb0ef28247375)
Dabei ist die untere Zeile ebenfalls exakt und ihre Äquivalenzklasse somit ein Element in
.
Bildet man die Äquivalenzklasse von
auf die Äquivalenzklasse von
ab, so erhält man einen wohldefinierten Gruppenhomomorphismus
.
Dual funktioniert das auch mit Morphismen von Z' nach Z. Zu
und der Sequenz
kann man folgenden Pull-back bilden:
![{\displaystyle {\begin{matrix}&&&&Y'&\to &Z'&\to &0\\&&&&\downarrow &&\downarrow g\\0&\to &X&\to &Y&\to &Z&\to &0\end{matrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d70f3cc3055b2ac7edff1677e79c7f73673eab27)
Wegen der universellen Eigenschaft des Pull-backs gibt es einen induzierten Monomorphismus von X nach Y', so dass das folgende Diagramm kommutiert:
![{\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &X&\to &Y'&\to &Z'&\to &0\\&&\downarrow \operatorname {id} &&\downarrow &&\downarrow g\\0&\to &X&\to &Y&\to &Z&\to &0\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62ca2073f7d763c810e0fd4462016757d4bc3645)
Dabei ist die obere Zeile ebenfalls exakt und definiert somit ein Element in
.
Bildet man die Äquivalenzklasse von
auf die Äquivalenzklasse von
ab, so erhält man wieder einen wohldefinierten Gruppenhomomorphismus
.
Eine andere Möglichkeit der Definition verwendet die abgeleiteten Funktoren von Hom. Die oben definierte Konstruktion kann mit der ersten Rechtsableitung des Hom-Funktors identifiziert werden.
Genauer betrachtet man eine abelsche Kategorie mit ausreichend vielen projektiven Objekten (d. h. jedes Objekt ist Quotient eines projektiven Objektes) den kontravarianten Funktor
und definiert
,
das heißt man bildet die
-te Rechtsableitung von
und wendet den so entstandenen Funktor auf
an.
Etwas konkreter bedeutet das folgendes: Es sei
und
![{\displaystyle {\begin{array}{ccccc}\ldots \rightarrow &P_{n}&\rightarrow &P_{n-1}&\rightarrow \ldots \rightarrow Z\rightarrow 0\\&\lambda _{n}\downarrow &\nearrow \kappa _{n}\\&K_{n}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fe4e4f53c8697ddead33b7c7d7368e9eb7b7a37)
eine projektive Auflösung von
mit einem Epimorphismus
und einem Monomorphismus
, so dass
. Weiter sei
der induzierte Homomorphismus
.
Dann ist
.
Die Elemente aus
sind also gewisse Äquivalenzklassen von Elementen aus
.[3]
Schließlich sei darauf hingewiesen, dass man die Rollen von
und
auch vertauschen kann, man erhält
.
In diesem Abschnitt soll erläutert werden, wie die oben definierten Konstrukte
und
zusammenhängen. Wir konstruieren eine Abbildung
.
Sei
eine kurze exakte Sequenz, die ein Element aus
definiert. Weiter sei
eine kurze exakte Sequenz mit projektivem
. Mittels der Projektivität von
kann man ein kommutatives Diagramm
![{\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}0\rightarrow &K&\rightarrow &P&\rightarrow &Z&\rightarrow 0\\&\downarrow \psi &&\downarrow \varphi &&\Vert \\0\rightarrow &X&\rightarrow &Y&\rightarrow &Z&\rightarrow 0\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27619489f890919fe5f6155b2b7d37034968cd84)
konstruieren. Dann ist
ein Homomorphismus, dessen Äquivalenzklasse nach obiger Darstellung von
ein Element aus
definiert.
Bildet man die Äquivalenzklasse von
in
auf die Äquivalenzklasse von
in
ab, so erhält man eine wohldefinierte Abbildung
, von der man zeigen kann, dass es sich um einen Gruppenisomorphismus handelt.[4]
Daher kann man
mit
identifizieren, das heißt
kann in diesem Sinne als erste Rechtsableitung des
-Funktors definiert werden.
Der Hom-Funktor ist linksexakt, das heißt für eine kurze exakte Sequenz
![{\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb6a9a19757dfb0c000a99d0ae4d97a8a87aacf9)
und ein weiteres Objekt (Modul)
hat man eine exakte Sequenz
,
und diese lässt sich im Allgemeinen nicht exakt mit 0 fortsetzen. Wegen der Linksexaktheit stimmt die 0-te Ableitung des Hom-Funktors mit Hom überein, das heißt, wenn man obige Definition von
auf
ausdehnt, so hat man
. Die lange exakte Sequenz für abgeleitete additive Funktoren liefert daher die folgende exakte Sequenz
.
Analog erhält man eine lange exakte Sequenz
.
In diesem Sinne schließen die Ext-Funktoren die durch die fehlende Exaktheit des Hom-Funktors entstandene Lücke.[5]
- ↑ Sergei I. Gelfand & Yuri Ivanovich Manin: Homological Algebra, Springer, Berlin, 1999, ISBN 978-3-540-65378-3
- ↑ Charles A. Weibel: An introduction to homological algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38, Cambridge University Press, 1999, ISBN 978-0-521-55987-4
- ↑ Peter Hilton: Lectures in Homological Algebra, American Mathematical Society (2005), ISBN 0-8218-3872-5, Satz 3.13
- ↑ Peter Hilton: Lectures in Homological Algebra, American Mathematical Society (2005), ISBN 0-8218-3872-5, Theorem 4.5
- ↑ Saunders Mac Lane: Homology, Springer Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Band 114 (1967), Kap. III, Theorem 3.4 und Theorem 9.1