Constante de Legendre — Wikipédia

La constante de Legendre est une constante mathématique proposée par le mathématicien Adrien-Marie Legendre et qui n'a aujourd'hui plus qu'un intérêt historique.

Legendre conjecture en 1808 une forme précise de ce qu’on appellera plus tard le théorème des nombres premiers. Il écrit : « Quoique la suite des nombres premiers soit extrêmement irrégulière, on peut cependant trouver avec une précision très satisfaisante, combien il y a de ces nombres depuis 1 jusqu’à une limite donnée x. La formule qui résout cette question est

y={\frac {x}{\log .x-1.08366}}

$log. x$ étant un logarithme hyperbolique^[1]. » En d’autres termes, Legendre affirme que

\pi (x)={\frac {x}{\log(x)-A(x)}}

où $\lim _{x\to \infty }A(x)=1{,}08366,$ et où $π(x)$ désigne la fonction de compte des nombres premiers inférieurs à $x$ .

Le nombre $A:=\lim _{x\to \infty }A(x)$ , qui existe, est appelé constante de Legendre. Mais sa valeur n’est pas celle supposée par Legendre.

En 1849, Tchebycheff^[2] démontre que si la limite existe, elle doit être égale à 1. Une preuve plus simple est donnée par Pintz en 1980^[3].

C'est une conséquence immédiate du théorème des nombres premiers (qui avait été démontré en 1896 indépendamment par Jacques Hadamard^[4] et par Charles-Jean de La Vallée Poussin^[5]), sous la forme plus précise démontrée en 1899 par La Vallée Poussin^[6]

\pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left(x\mathrm {e} ^{-a{\sqrt {\log x}}}\right)\quad {\text{lorsque }}x\to \infty ,

que

\pi (x)={\frac {x}{\log x}}+{\frac {x}{(\log x)^{2}}}+o\left({\frac {x}{(\log x)^{2}}}\right),

et donc que A existe et vaut 1.

Références

↑ A.-M. Legendre, Essai sur la théorie des nombres, Paris, Courcier 1808, p. 394.
↑ (de) Edmund Landau, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Chelsea, 1974, p. 17 (3^e éd. corrigée, 2 vol. en un).
↑ (en) J. Pintz, « On Legendre's prime number formula », Amer. Math. Monthly, vol. 87,‎ 1980, p. 733-735.
↑ « Sur la distribution des zéros de la fonction $ζ (s)$ et ses conséquences arithmétiques », Bull. Soc. Math. Fr., vol. 24,‎ 1896, p. 199-220 (lire en ligne).
↑ « Recherches analytiques sur la théorie des nombres premiers », Annales de la Société scientifique de Bruxelles, vol. 20,‎ 1896, p. 183-256 et 281-361.
↑ La Vallée Poussin, C. Mém. Couronnés Acad. Roy. Belgique, vol. 59, 1899, p. 1-74.

Arithmétique et théorie des nombres

[1] A.-M. Legendre, Essai sur la théorie des nombres, Paris, Courcier 1808, p. 394.

[2] (de) Edmund Landau, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Chelsea, 1974, p. 17 (3^e éd. corrigée, 2 vol. en un).

[3] (en) J. Pintz, « On Legendre's prime number formula », Amer. Math. Monthly, vol. 87,‎ 1980, p. 733-735.

[4] « Sur la distribution des zéros de la fonction $ζ (s)$ et ses conséquences arithmétiques », Bull. Soc. Math. Fr., vol. 24,‎ 1896, p. 199-220 (lire en ligne).

[5] « Recherches analytiques sur la théorie des nombres premiers », Annales de la Société scientifique de Bruxelles, vol. 20,‎ 1896, p. 183-256 et 281-361.

[6] La Vallée Poussin, C. Mém. Couronnés Acad. Roy. Belgique, vol. 59, 1899, p. 1-74.

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