Loi bêta PERT — Wikipédia

Loi bêta PERT
Image illustrative de l’article Loi bêta PERT
Densité de probabilité

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Fonction de répartition

Paramètres
Support
Densité de probabilité

Fonction de répartition

(la fonction bêta incomplète régularisée) avec

Espérance
Médiane

Mode
Variance
Asymétrie
Kurtosis normalisé

En probabilités et statistiques, les lois bêta PERT sont une famille de lois de probabilité continues définies par la valeur minimale (a), le mode (b) et le maximum (c) qu'une variable peut prendre. Il s'agit d'une transformation de la loi bêta à quatre paramètres avec une hypothèse supplémentaire selon laquelle l'espérance vaut

La moyenne de la loi est donc définie comme une moyenne pondérée des valeurs minimale, modale et maximale que peut prendre la variable, avec un poids quatre fois plus élevé appliqué à la valeur la plus probable. Cette hypothèse concernant la moyenne a été proposée pour la première fois par Clark en 1962[1] pour estimer l'effet de l'incertitude de la durée des tâches sur le résultat d'un calendrier de projet évalué à l'aide de la méthode PERT, d'où son nom. Les mathématiques de la loi résultent du souhait des auteurs de rendre l'écart-type égal à environ 1/6 de l'intervalle[2],[3]. La loi PERT est largement utilisée dans l'analyse des risques [4] pour représenter l'incertitude de la valeur d'une certaine quantité lorsque l'on s'appuie sur des estimations subjectives, car les trois paramètres définissant la distribution sont intuitifs pour l'estimateur. La loi bêta PERT est présente dans la plupart des logiciels de simulation.

Comparaison avec la loi triangulaire

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Comparaison des courbes de densité pour les lois de probabilité bêta PERT et triangulaires

La loi bêta PERT offre une alternative [5] à l'utilisation de la loi triangulaire qui prend les trois mêmes paramètres. La loi bêta PERT a une forme plus lisse que la loi triangulaire, et cette dernière a une espérance égale à la moyenne des trois paramètres :

qui (contrairement à la loi bêta PERT) met autant l'accent sur les valeurs extrêmes qui sont généralement moins connues que la valeur la plus probable, et est donc moins fiable. La loi triangulaire a également une forme angulaire qui ne correspond pas à la forme plus lisse qui caractérise la connaissance subjective.

La loi bêta PERT modifiée

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Comparaison des courbes de densité pour les lois bêta PERT modifiées avec différents poids

La loi bêta PERT attribue une très faible probabilité aux valeurs extrêmes, en particulier à l'extremum le plus éloigné du mode si la distribution est fortement asymétrique[6],[7]. La loi bêta PERT modifiée [8] a été proposée pour fournir plus de contrôle sur la probabilité attribuée aux valeurs de queue de la distribution. La loi bêta PERT modifiée introduit un quatrième paramètre qui contrôle le poids du mode dans la détermination de la moyenne :

Généralement, des valeurs comprises entre 2 et 3,5 sont utilisées pour et ont pour effet d'aplatir la courbe de densité ; la loi bêta PERT non modifiée correspond donc au cas . Ceci est utile pour les distributions très asymétriques où les distances et sont de tailles très différentes.

La loi bêta PERT modifiée a été implémentée dans plusieurs packages de simulation et langages de programmation :

Références

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  1. (en) C.E. Clark, « The PERT Model for the Distribution of an Activity Time », Operations Research,‎ , p. 405-406 (DOI 10.1287/opre.10.3.405)
  2. (en) « PERT distribution », Vose Software, (consulté le )
  3. (en) K. Johnson, S. Kotz et N. Balakkrishnan, Continuous Univariate Distributions - 2nd Ed, , « Section 25.4 »
  4. (en) Project Management Body of Knowledge, Project Management Institute, , « 6 »
  5. (en) AM Law et WD Kelton, Simulation Modeling and Analysis,
  6. (en) M Rees, Business Risk and Simulation Modelling in Practice,
  7. (en) D. Vose, Risk Analysis – a Quantitative Guide, 3,
  8. (en) Paulo Buchsbaum, « Modified Pert Simulation » [archive du ], Greatsolutions.com.br, (consulté le )
  9. (en) « Modified PERT distribution », Vose Software, (consulté le )
  10. (en) « Probability distributions used in Tamara », Vose Software, (consulté le )
  11. (en) « PERTDistribution—Wolfram Language Documentation », Reference.wolfram.com (consulté le )
  12. (en) « Package ‘mc2d’ », (consulté le )
  13. (en) « PertDist », (consulté le )