Si ce bandeau n'est plus pertinent, retirez-le. Cliquez ici pour en savoir plus. En théorie des probabilités , une loi triangulaire est une loi de probabilité dont la fonction de densité est affine de sa borne inférieure à son mode, et de son mode à sa borne supérieure. Elle est mentionnée sous deux versions : une loi discrète et une loi continue.
La loi triangulaire discrète de paramètre entier positif a est définie pour tout entier x compris entre –a et a par :
P ( x ) = a + 1 − | x | ( a + 1 ) 2 {\displaystyle \mathrm {P} (x)={\frac {a+1-|x|}{(a+1)^{2}}}} .
Triangulaire Densité de probabilité Densité de la loi triangulaire Fonction de répartition Fonction de répartition de la loi triangulaire Paramètres a : a ∈ ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle a:~a\in (-\infty ,\infty )} b : b > a {\displaystyle b:~b>a\,} c : a ≤ c ≤ b {\displaystyle c:~a\leq c\leq b\,} Support a ≤ x ≤ b {\displaystyle a\leq x\leq b\!} Densité de probabilité { 2 ( x − a ) ( b − a ) ( c − a ) pour a < x ≤ c 2 ( b − x ) ( b − a ) ( b − c ) pour c < x ≤ b {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\frac {2(x-a)}{(b-a)(c-a)}}&{\text{pour }}a<x\leq c\\{\frac {2(b-x)}{(b-a)(b-c)}}&{\text{pour }}c<x\leq b\end{matrix}}\right.} Fonction de répartition { ( x − a ) 2 ( b − a ) ( c − a ) pour a < x < c 1 − ( b − x ) 2 ( b − a ) ( b − c ) pour c < x ≤ b {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\frac {(x-a)^{2}}{(b-a)(c-a)}}&{\text{pour }}a<x<c\\1-{\frac {(b-x)^{2}}{(b-a)(b-c)}}&{\text{pour }}c<x\leq b\end{matrix}}\right.} Espérance a + b + c 3 {\displaystyle {\frac {a+b+c}{3}}} Médiane { a + ( b − a ) ( c − a ) 2 pour c ≥ b − a 2 b − ( b − a ) ( b − c ) 2 pour c ≤ b − a 2 {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}a+{\frac {\sqrt {(b-a)(c-a)}}{\sqrt {2}}}&{\text{pour }}c\!\geq \!{\frac {b\!-\!a}{2}}\\&\\b-{\frac {\sqrt {(b-a)(b-c)}}{\sqrt {2}}}&{\text{pour }}c\!\leq \!{\frac {b\!-\!a}{2}}\end{matrix}}\right.} Mode c {\displaystyle c\,} Variance a 2 + b 2 + c 2 − a b − a c − b c 18 {\displaystyle {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc}{18}}} Asymétrie 2 ( a + b − 2 c ) ( 2 a − b − c ) ( a − 2 b + c ) 5 ( a 2 + b 2 + c 2 − a b − a c − b c ) 3 2 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}(a\!+\!b\!-\!2c)(2a\!-\!b\!-\!c)(a\!-\!2b\!+\!c)}{5(a^{2}\!+\!b^{2}\!+\!c^{2}\!-\!ab\!-\!ac\!-\!bc)^{\frac {3}{2}}}}} Kurtosis normalisé − 3 5 {\displaystyle -{\frac {3}{5}}} Entropie 1 2 + ln ( b − a 2 ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}+\ln \left({\frac {b-a}{2}}\right)} Fonction génératrice des moments 2 ( b − c ) e a t − ( b − a ) e c t + ( c − a ) e b t ( b − a ) ( c − a ) ( b − c ) t 2 {\displaystyle 2{\frac {(b\!-\!c){\rm {e}}^{at}\!-\!(b\!-\!a){\rm {e}}^{ct}\!+\!(c\!-\!a){\rm {e}}^{bt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^{2}}}} Fonction caractéristique − 2 ( b − c ) e i a t − ( b − a ) e i c t + ( c − a ) e i b t ( b − a ) ( c − a ) ( b − c ) t 2 {\displaystyle -2{\frac {(b\!-\!c){\rm {e}}^{{\rm {i}}at}\!-\!(b\!-\!a){\rm {e}}^{{\rm {i}}ct}\!+\!(c\!-\!a){\rm {e}}^{{\rm {i}}bt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^{2}}}} modifier
La loi triangulaire continue sur le support ]a ; b [ et de mode c a pour fonction de densité :
f : x ↦ { 2 ( x − a ) ( b − a ) ( c − a ) si a < x ≤ c 2 ( b − x ) ( b − a ) ( b − c ) si c < x ≤ b 0 sinon {\displaystyle f\colon x\mapsto {\begin{cases}\displaystyle {\frac {2(x-a)}{(b-a)(c-a)}}&{\text{ si }}a<x\leq c\\\\\displaystyle {\frac {2(b-x)}{(b-a)(b-c)}}&{\mbox{ si }}c<x\leq b\\\\0&{\text{ sinon}}\end{cases}}} Dans de nombreux domaines, la loi triangulaire est considérée comme une version simplifiée de la loi bêta .
Soit X1 et X2 deux variables indépendantes et identiquement distribuées selon une loi uniforme standard . Alors:
la distribution de la moyenne Y := X 1 + X 2 2 {\displaystyle \mathrm {Y} :={\frac {\mathrm {X} _{1}+\mathrm {X} _{2}}{2}}} est une loi triangulaire de paramètres a = 0, b = 1 et c = ½. C'est alors un cas particulier de la loi Bates , avec n = 2. la distribution de l'écart absolu Z := | X 1 − X 2 | {\displaystyle \mathrm {Z} :=|\mathrm {X} _{1}-\mathrm {X} _{2}|} est aussi distribué selon une loi triangulaire de paramètres a = 0, b = 1 et c = 0. (en) Eric W. Weisstein , « Triangular Distribution », sur MathWorld