Loi de Delaporte — Wikipédia

Loi de Delaporte
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Fonction de masse
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Fonction de répartition

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Fonction de masse
Fonction de répartition
Espérance
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Variance
Asymétrie voir l'article
Kurtosis normalisé voir l'article

En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Delaporte est une loi de probabilité discrète qui est particulièrement utilisée en science actuarielle[1],[2]. Cette loi est la convolution d'une loi binomiale négative avec une loi de Poisson[2]. Puisque la loi binomiale négative peut être vue comme une loi de Poisson dont le paramètre de moyenne est lui-même une variable aléatoire de loi gamma, la loi de Delaporte peut être vue comme une loi composée d'une loi de Poisson où le paramètre de moyenne se décompose en deux composants : un composant fixe de paramètre , et un composant de loi gamma de paramètres et [3].

Le nom de cette loi est issue de Pierre Delaporte qui proposa une relation avec le comptage des accidents de voitures en 1959[4], bien qu'elle apparaisse plus tôt sous différentes formes en 1934 dans un article de Rolf von Lüders[5] où la loi est appelée formulation II (Formel II distribution en allemand).

Propriétés

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Le mode de la loi de Delaporte est donnée par :

L'asymétrie de la loi de Delaporte est donnée par :

Le kurtosis de la loi de Delaporte est donnée par :

Liens avec d'autres lois

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  • Si , alors la loi de Delaporte est la loi de Poisson de paramètre .
  • Si , alors la loi de Delaporte est la loi binomiale négative.

Références

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  1. (en) Discrete Parametric Distributions, John Wiley & Sons, Jozef L. Teugels & Bjørn Sundt, Encyclopedia of Actuarial Science, (ISBN 978-0-470-01250-5)
  2. a et b (en) Norman Lloyd Johnson, Adrienne W. Kemp et Samuel Kotz, Univariate discrete distributions, Hoboken, John Wiley & Sons, , 3e éd., 672 p. (ISBN 978-0-471-27246-5), p. 241–242
  3. (en) David Vose, Risk analysis : a quantitative guide, Chichester, John Wiley & Sons, , 3e éd., 752 p. (ISBN 978-0-470-51284-5, LCCN 2007041696, lire en ligne), p. 618–619
  4. Pierre J. Delaporte, « Quelques problèmes de statistiques mathématiques poses par l’Assurance Automobile et le Bonus pour non sinistre » [« Some problems of mathematical statistics as related to automobile insurance and no-claims bonus »], Bulletin Trimestriel de l'Institut des Actuaires Français, vol. 227,‎ , p. 87–102
  5. (de) Rolf von Lüders, « Die Statistik der seltenen Ereignisse » [« The statistics of rare events »], Biometrika, vol. 26,‎ , p. 108–128 (DOI 10.1093/biomet/26.1-2.108, JSTOR 2332055)
  • (en) M. Murat et D. Szynal, « On moments of counting distributions satisfying the k'th-order recursion and their compound distributions », Journal of Mathematical Sciences, vol. 92, no 4,‎ , p. 4038–4043 (DOI 10.1007/BF02432340)