Nombre cubique centré — Wikipédia
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En mathématiques, un nombre cubique centré est un nombre figuré polyédrique centré comptant des points disposés dans un cube par couches successives autour du centre. Pour tout entier n ≥ 1, le n-ième nombre cubique centré est donné par la formule :
Les dix premiers nombres cubiques centrés sont : 1, 9, 35, 91, 189, 341, 559, 855, 1 241 et 1 729 (suite A005898 de l'OEIS).
Par exemple car il y a 8 points aux sommets et 1 point au centre du cube.
Les nombres cubiques centrés ont des applications dans la modélisation des dispositions des atomes.
Obtention de la formule
[modifier | modifier le code]Nous suivons ici la référence[1], où le nombre de points par arête est égal à .
Le cube ayant 6 faces, 8 sommets et 12 arêtes, la couche cubique ajoutée à l'étape possède points correspondants aux intérieurs des faces, plus points situés à l'intérieur des arêtes, plus 8 points situés aux sommets.
On obtient , d'où .
Autre interprétation
[modifier | modifier le code]Les nombres cubiques centrés sont aussi les nombres pyramidaux heptagonaux centrés (autour du centre de la pyramide heptagonale).
Avec des faces centrées
[modifier | modifier le code]Si, comme pour les nombres dodécaédriques centrés par exemple, on considère des faces centrées, il faut remplacer le terme par et l'on obtient , ce qui donne .
Par exemple car il y a 8 points aux sommets, 6 points aux centres des faces et 1 point au centre du cube.
Les dix premiers de ces nombres sont : 1, 15, 65, 175, 369, 671, 1105, 1695, 2465, 3439 ; voir la suite A005917 de l'OEIS.
Ces nombres sont les nombres dodécaédriques rhombiques à faces centrées étudiés ci-dessous, ainsi que les nombres octaédriques centrés à faces centrées.
Application aux nombres dodécaédriques rhombiques
[modifier | modifier le code]Comme pour l'obtention des nombres polygonaux étoilés, on peut adjoindre 6 nombres pyramidaux carrés aux 6 "faces" du nombre cubique centré , ce qui donne le nombre :, appelé "nombre dodécaédrique rhombique" (le dodécaèdre rhombique étant obtenu par adjonction de 6 pyramides à un cube)[1]. On retrouve les nombres précédents.
Références
[modifier | modifier le code]- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Centered cube number » (voir la liste des auteurs).
- (en) Elena Deza et Michel Deza, Figurate Numbers, Singapour, World Scientific Publishing, , 456 p. (ISBN 978-981-4355-48-3, lire en ligne), p. 121-123
Voir aussi
[modifier | modifier le code]- Atomium
- (en) Eric W. Weisstein, « Centered Cube Number », sur MathWorld