Nombre polytopique centré — Wikipédia

En arithmétique géométrique, un nombre polytopique centré, ou nombre hyperpolyédrique centré, est un nombre figuré comptant des points disposés régulièrement dans un polytope (ou hyperpolyèdre), par couches successives à partir du centre.

Pour un polytope de dimension ${\displaystyle k}$ possédant, pour ${\displaystyle 0\leqslant i\leqslant k}$, ${\displaystyle N_{i}}$ cellules de dimension ${\displaystyle i}$ qui sont toutes des polytopes équivalents ( ${\displaystyle N_{0}=S,N_{1}=A}$ ), le nombre de points ajoutés à l'étape ${\displaystyle n}$ est

${\displaystyle P(n)-P(n-1)=\sum _{i=0}^{k}N_{i}P_{n,i}^{*}=S+A(n-2)+\cdots +N_{k}P_{n,k}^{*}}$

où ${\displaystyle P_{n,i}^{*}}$ est le nombre polytopique d'ordre ${\displaystyle n}$ associé aux cellules de dimension ${\displaystyle i}$, auquel on retranche le nombre de points situés sur leur frontière^[1].

Ce sont des nombres figurés comptant des points répartis dans un simplexe, polytope généralisant le triangle et le tétraèdre. Le ${\displaystyle n}$-ième nombre ${\displaystyle k}$-simplicial centré ou hypertétraédrique centré de dimension ${\displaystyle k}$ ^[2] est le nombre de points dans un ${\displaystyle k}$-simplexe dont les arêtes comportent ${\displaystyle n}$ points.

On l'obtient par la formule : ${\displaystyle SC_{k}(n)=\sum _{i=0}^{k}S_{k}(n-i)}$ où ${\displaystyle S_{k}(n)={\binom {n+k-1}{k}}}$ est le nombre simplicial non centré de dimension ${\displaystyle k}$.

Avec la formule de la crosse de hockey, ceci se simplifie en ${\displaystyle SC_{k}(n)={\binom {n+k}{k+1}}-{\binom {n-1}{k+1}}}$.

Par exemple, pour les dimensions de 1 à 6, ce sont :

• ${\displaystyle SC_{1}(n)=2n-1}$ (nombres linéaires centrés)
• ${\displaystyle SC_{2}(n)={\binom {n+2}{3}}-{\binom {n-1}{3}}={\frac {1}{2}}(3n^{2}-3n+2)}$ , nombres triangulaires centrés, suite A005448 de l'OEIS
• ${\displaystyle SC_{3}(n)={\binom {n+3}{4}}-{\binom {n-1}{4}}={\frac {1}{3}}(2n-1)(n^{2}-n+3)}$ , nombres tétraédriques centrés, suite A005894 de l'OEIS
• ${\displaystyle SC_{4}(n)={\binom {n+4}{5}}-{\binom {n-1}{5}}={\frac {1}{24}}(5n^{4}-10n^{3}+55n^{2}-50n+24)}$ , nombres pentatopiques centrés, suite A008498 de l'OEIS
• ${\displaystyle SC_{5}(n)={\frac {1}{120}}(2n-1)(3n^{4}-6n^{3}+77n^{2}-74n+120)}$, nombres 5-hypertétraédriques centrés, suite A008499 de l'OEIS
• ${\displaystyle SC_{6}(n)={\frac {1}{720}}(7n^{6}-21n^{5}+385n^{4}-735n^{3}+2128n^{2}-1764n+720)}$, nombres 6-hypertétraédriques centrés, suite A008500 de l'OEIS.

Ce sont des nombres figurés comptant des points répartis dans un hypercube, polytope généralisant le carré et le cube. Le ${\displaystyle n}$-ième nombre ${\displaystyle k}$- hypercubique centré ou hypercubique centré de dimension ${\displaystyle k}$ est le nombre de points dans un hypercube dont les arêtes comportent ${\displaystyle n}$ points. Il est égal à ${\displaystyle CC_{k}(n)=n^{k}+(n-1)^{k}}$.

Par exemple, pour les dimensions de 1 à 4, ce sont :

• ${\displaystyle CC_{1}(n)=2n-1}$ (nombres linéaires centrés)
• ${\displaystyle CC_{2}(n)=n^{2}+(n-1)^{2}}$ , nombres carrés centrés, suite A005448 de l'OEIS
• ${\displaystyle CC_{3}(n)=n^{3}+(n-1)^{3}=(2n-1)(n^{2}-n+1)}$ , nombres cubiques centrés, suite A005898 de l'OEIS
• ${\displaystyle CC_{4}(n)=n^{4}+(n-1)^{4}}$ , nombres 4-hypercubiques centrés, suite A008514 de l'OEIS

Ce sont des nombres figurés comptant des points répartis dans un hyperoctaèdre, polytope généralisant le carré et l'octaèdre. Le ${\displaystyle n}$-ième nombre ${\displaystyle k}$- hyperoctaédrique centré ou hyperoctaédrique centré de dimension ${\displaystyle k}$ est le nombre de points dans un hyperoctaèdre dont les arêtes comportent ${\displaystyle n}$ points. Il est égal à ${\displaystyle OC_{k}(n)=\sum _{i=0}^{k}2^{i}{\binom {k}{i}}{\binom {n-1}{i}}}$^[2], et il n'est autre que le nombre de Delannoy ${\displaystyle D(n-1,k)}$.

Pour les nombres hyperdodécaédriques centrés ou hécatonicosachoriques centrés, les nombres hypericosaédriques centrés ou hexacosichoriques centrés, et les nombres hypergranatoédriques centrés ou icositétrachoriques centrés :

• Nombre polytopique (non centré)

• Arithmétique et théorie des nombres