Anello di valutazione

In algebra, un anello di valutazione (o dominio di valutazione) è un anello commutativo unitario integro A tale che, per ogni x nel suo campo dei quozienti, almeno uno tra ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle x^{-1}}$ è in A; equivalentemente, è un anello commutativo integro i cui ideali sono totalmente ordinati.

Esempi di anelli di valutazione sono le localizzazioni di ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ e di ${\displaystyle K[X]}$ (dove K è un campo) su un loro ideale primo, oppure l'anello degli interi p-adici per un numero primo p, o ancora l'anello ${\displaystyle K[[X]]}$ delle serie formali su un campo.

Una versione "globale" degli anelli di valutazione sono i domini di Prüfer, che sono quegli anelli in cui, per ogni ideale primo P, la localizzazione A_P è un anello di valutazione.

Un anello di valutazione può essere definito in diversi modi equivalenti: sia A un dominio d'integrità e K il suo campo dei quozienti.

• Per ogni x in K, x o x ^-1 è in A;
• gli ideali di A sono totalmente ordinati;
• gli ideali principali di A sono totalmente ordinati (ovvero, per ogni a e b in A, a divide b o b divide a).

Un ulteriore modo di definirli è attraverso l'uso di una valutazione (da cui il nome): questa è un omomorfismo suriettivo di gruppi

${\displaystyle v:K^{*}\longrightarrow G}$

(dove K è un campo, K^* il suo gruppo moltiplicativo e G è un gruppo totalmente ordinato) tale che, se x + y è diverso da 0, allora

${\displaystyle v(x+y)\geq \min(v(x),v(y)).}$

L'anello ${\displaystyle A_{v}=\{x\in K^{*}|v(x)\geq 0\}\cup \{0\}}$, detto l'anello associato a v, è un anello di valutazione; viceversa, dato un anello di valutazione A con campo dei quozienti K, se G il gruppo quoziente ${\displaystyle K^{*}/U(A)}$ (dove ${\displaystyle U(A)}$ sono le unità di A), allora G può essere ordinato totalmente attraverso la relazione

${\displaystyle xU(A)\geq yU(A)\iff xy^{-1}\in A.}$

Il quoziente canonico ${\displaystyle v:K^{*}\longrightarrow G}$ che manda un elemento x nella classe ${\displaystyle xU(A)}$ diventa in questo modo una valutazione, il cui anello associato è esattamente A.

Più in generale, è possibile costruire, dato un qualsiasi gruppo totalmente ordinato G, un anello di valutazione A tale che ${\displaystyle G\simeq K^{*}/U(A)}$: se F è un campo, allora si considera un insieme di indeterminate ${\displaystyle \{X_{g}|g\in G\}}$ e si considera il campo ${\displaystyle K=F(\{X_{g}\})}$; l'applicazione che manda ogni polinomio ${\displaystyle \sum _{g\in G}f(g)X_{g}}$ nel più piccolo ${\displaystyle g\in G}$ tale che ${\displaystyle f(g)}$ è diverso da 0 è una valutazione su K, a cui è associato un anello di valutazione A tale che quoziente ${\displaystyle K^{*}/U(A)}$ è isomorfo a G.

Dalla caratterizzazione attraverso l'ordinamento degli ideali è facile concludere che se V è un anello di valutazione e P un suo ideale primo, allora sia il quoziente V/P che la localizzazione V_P sono ancora anelli di valutazione.

Un anello di valutazione è un anello locale; in termini delle valutazioni, il suo ideale massimale è dato dagli x tali che ${\displaystyle v(x)>0}$. Gli anelli di valutazione sono integralmente chiusi, e la chiusura integrale di un dominio d'integrità D è l'intersezione di tutti gli anelli di valutazione compresi tra D e il suo campo dei quozienti. In particolare, tra un dominio d'integrità e il suo campo dei quozienti sono presenti sempre degli anelli di valutazione; inoltre, alcuni di questi hanno dimensione uguale a quella di D.

Tutti gli ideali finitamente generati di un anello di valutazione A sono principali, e quindi un anello di valutazione è, in particolare, un dominio di Bézout; se inoltre è noetheriano, A è un dominio ad ideali principali ed ha quindi dimensione 1. Tali anelli sono chiamati anelli a valutazione discreta, e possono essere caratterizzati anche come quegli anelli di valutazione la cui valutazione è a valori sull'anello ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ dei numeri interi.

• (EN) Michael Atiyah e Ian G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, 1969, ISBN 0-201-40751-5.
• (EN) Robert Gilmer, Multiplicative Ideal Theory, New York, Marcel Dekker Inc., 1972, ISBN 0-8247-1242-0.

• (EN) V.I. Danilov, Valuation, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

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