Anello locale regolare

In matematica, in particolare in algebra commutativa, un anello locale regolare è un anello commutativo unitario locale noetheriano tale che il numero di generatori del suo ideale massimale è uguale alla sua dimensione di Krull. Un anello noetheriano è regolare se ogni sua localizzazione ${\displaystyle A_{M}}$ (dove ${\displaystyle M}$ è un suo ideale massimale) è un anello locale regolare.

Il termine "regolare" proviene dalla geometria algebrica: se ${\displaystyle x}$ è un punto di una varietà algebrica, chiedere che l'anello dei germi di funzioni nel punto sia un anello regolare è equivalente a chiedere che la dimensione dello spazio tangente alla varietà in ${\displaystyle x}$ sia uguale alla dimensione della varietà stessa; quando questo avviene, il punto è detto non singolare (o regolare).

Sia ${\displaystyle A}$ un anello commutativo unitario che sia locale e noetheriano di dimensione ${\displaystyle n}$ e ${\displaystyle M}$ il suo ideale massimale.

L'anello ${\displaystyle A}$ è regolare se ${\displaystyle M}$ può essere generato da ${\displaystyle n}$ elementi; equivalentemente (grazie al lemma di Nakayama) se la dimensione di ${\displaystyle M/M^{2}}$ come spazio vettoriale sul campo ${\displaystyle A/M}$ è uguale ad ${\displaystyle n}$. Un'altra caratterizzazione si ha attraverso strumenti omologici: ${\displaystyle A}$ è regolare se e solo se la sua dimensione globale è finita.^[1]

Ogni campo e ogni dominio di valutazione discreta sono anelli regolari; anche l'anello delle serie formali ${\displaystyle K[[X_{1},\ldots ,X_{d}]]}$ su un campo ${\displaystyle K}$ è un anello regolare locale.

Il concetto di anello regolare locale può essere "globalizzato": un anello commutativo unitario noetheriano ${\displaystyle A}$ è regolare se per ogni ideale massimale ${\displaystyle M}$ la localizzazione ${\displaystyle A_{M}}$ è un anello regolare locale.

Gli anelli locali regolari hanno molte buone proprietà: sono infatti tutti domini d'integrità e domini a fattorizzazione unica. Gli anelli regolari non locali, tuttavia, perdono entrambe queste caratteristiche: ad esempio, i domini di Dedekind sono tutti anelli regolari, ma non sono tutti a fattorizzazione unica. La perdita dell'integrità può essere però in qualche modo controllata: ogni anello regolare, infatti, è il prodotto diretto di un numero finito di domini d'integrità regolari.

La regolarità è una proprietà molto stabile: se ${\displaystyle A}$ è regolare, ogni localizzazione ${\displaystyle S^{-1}A}$ è ancora regolare, così come l'anello di polinomi ${\displaystyle A[X]}$ e l'anello delle serie formali ${\displaystyle A[[X]]}$. La regolarità si preserva anche attraverso il completamento; inoltre, un anello locale regolare completo che contiene un campo ${\displaystyle k}$ è necessariamente isomorfo a ${\displaystyle K[[X_{1},\ldots ,X_{d}]]}$ per un campo ${\displaystyle K}$ (che può essere diverso da ${\displaystyle k}$) e un intero ${\displaystyle d}$ (uguale alla sua dimensione).

Tutti gli anelli regolari sono anelli di Gorenstein e di Cohen-Macaulay.

• Irving Kaplansky, Commutative rings, The University of Chicago Press, 1974, ISBN 0-226-42454-5.

• (EN) V.I. Danilov, Regular ring, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.}

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