Completamento di un anello

In matematica, il completamento di un anello è un'operazione che permette di ottenere, a partire da un anello A, un altro anello ${\displaystyle {\hat {A}}}$ con proprietà in generale "migliori", allo stesso modo con cui uno spazio metrico può essere completato; lo stesso nome "completamento" deriva dal fatto che tale operazione può essere vista come completamento di A rispetto alla topologia definita dalle potenze di un suo ideale I, detta topologia I-adica. Un anello che coincide col suo completamento rispetto ad I è detto I-completo, o semplicemente completo se A è locale e I=M è il suo ideale massimale.

Il completamento di un anello è generalmente utilizzato quando A è un anello noetheriano locale (con ideale massimale M), e in cui la topologia è quella M-adica.

Esempi di anelli completi sono l'insieme ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}}$ dei numeri p-adici (completamento di ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ rispetto all'ideale ${\displaystyle p\mathbb {Z} }$) e l'anello delle serie formali ${\displaystyle K[[x]]}$ su un campo K (completamento dell'anello dei polinomi ${\displaystyle K[x]}$ rispetto all'ideale generato da x).

Vi sono due costruzioni del completamento ${\displaystyle {\hat {A}}}$ di un anello A: la prima topologica, la seconda algebrica.

La prima si fonda sul concetto di topologia I-adica, dove I è un ideale di A: essa è la topologia generata dalle potenze ${\displaystyle I^{n}}$ di I (il cui insieme è un sistema fondamentale di intorni di 0) e da tutti gli insiemi ${\displaystyle a+I^{n}}$ (per ${\displaystyle a\in A}$), questi ultimi aggiunti in modo da rendere A un anello topologico. Su questa topologia si possono definire le successioni di Cauchy (e la loro equivalenza) e quindi definire ${\displaystyle {\hat {A}}}$ come l'insieme delle successioni di Cauchy quozientato per equivalenza.

La seconda fa uso della nozione di limite inverso: dal momento che ${\displaystyle I^{n+1}\subseteq I^{n}}$, è sempre possibile definire degli omomorfismi di anelli canonici ${\displaystyle \theta _{n}:A/I^{n+1}\longrightarrow A/I^{n}}$; all'interno del prodotto diretto ${\displaystyle \Pi _{n}A/I^{n}}$, il completamento ${\displaystyle {\hat {A}}}$ è identificato come l'insieme delle successioni coerenti, ovvero delle successioni ${\displaystyle (x_{n})}$ tali che ${\displaystyle \theta _{n+1}(x_{n+1})=x_{n}}$.

Rispetto alla prima definizione, la seconda ha il vantaggio di poter dedurre alcune proprietà (ad esempio quelle omologiche) a partire da quelle dei quozienti ${\displaystyle A/I^{n}}$; tuttavia, rende più complesso capire quando due ideali I e J danno origine allo stesso ${\displaystyle {\hat {A}}}$ (ovvero quando il completamento I-adico e quello J-adico sono isomorfi). La soluzione di questo problema è invece implicita nella definizione topologica, in quanto I e J determinano lo stesso completamento se e solo se definiscono la stessa topologia.

Entrambe queste costruzioni possono essere estese ai moduli su A: il completamento I-adico di un modulo E può essere definito come il completamento rispetto alla topologia generata dai sottomoduli ${\displaystyle I^{n}E}$ (e ${\displaystyle m+I^{n}E}$) oppure come il limite inverso della successione ${\displaystyle (E/I^{n})}$. Il completamento ${\displaystyle {\hat {E}}}$ ha, inoltre, una struttura naturale di ${\displaystyle {\hat {A}}}$-modulo.

Per ogni anello A esiste un omomorfismo canonico ${\displaystyle \phi :A\longrightarrow {\hat {A}}}$ che manda ogni elemento a nella successione che vale costantemente a o, nella definizione algebrica, nell'elemento ${\displaystyle (a+I,a+I^{2},\ldots ,a+I^{n},\ldots )}$. Tuttavia, tale omomorfismo non è sempre iniettivo, ovvero non sempre un anello è contenuto nel suo completamento: il nucleo di ${\displaystyle \phi }$ è esattamente l'intersezione ${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }I^{n}}$, e questa è l'ideale nullo se e solo se la topologia I-adica è di Hausdorff. Analogamente, se E è un A-modulo, si può definire una mappa ${\displaystyle \phi _{E}:E\longrightarrow {\hat {E}}}$, il cui nucleo è ${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }I^{n}E}$. Queste mappe sono sempre continue.

Nel caso noetheriano, tale nucleo è caratterizzato dal teorema dell'intersezione di Krull: ${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }I^{n}E}$ è costituito da tutti gli elementi ${\displaystyle e\in E}$ per cui esiste un ${\displaystyle i\in I}$ tale che ${\displaystyle (1+i)e=0}$. In questo caso, il nucleo coincide anche con il nucleo dell'omomorfismo di localizzazione ${\displaystyle M\longrightarrow S^{-1}M}$, dove ${\displaystyle S=1+I}$; di conseguenza c'è sempre un omomorfismo iniettivo ${\displaystyle S^{-1}M\longrightarrow {\hat {M}}}$.

Due casi di particolare importanza sono quando I è contenuto nel radicale di Jacobson di A (ad esempio se A è locale e M è il suo ideale massimale), e quando A è un dominio d'integrità: in entrambi i casi, il teorema garantisce che ${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }I^{n}=(0)}$ e quindi l'omomorfismo ${\displaystyle \phi :A\longrightarrow {\hat {A}}}$ è iniettivo.

Dal momento che la mappa ${\displaystyle \phi _{E}:E\longrightarrow {\hat {E}}}$ è sempre continua nella topologia I-adica, è possibile definire, a partire da un qualunque omomorfismo di A-moduli ${\displaystyle \psi :E\longrightarrow F}$ un omomorfismo ${\displaystyle {\hat {\psi }}:{\hat {E}}\longrightarrow {\hat {F}}}$. Se A è noetheriano, il passaggio da ${\displaystyle \psi }$ a ${\displaystyle {\hat {\psi }}}$ preserva le successioni esatte di moduli finiti; ovvero, se

${\displaystyle 0\longrightarrow E\longrightarrow F\longrightarrow G\longrightarrow 0}$

è esatta ed ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$ e ${\displaystyle G}$ sono finitamente generati, allora è esatta anche

${\displaystyle 0\longrightarrow {\hat {E}}\longrightarrow {\hat {F}}\longrightarrow {\hat {G}}\longrightarrow 0.}$

Nel linguaggio della teoria delle categorie, il funtore ${\displaystyle M\mapsto {\hat {M}}}$ è esatto nella categoria dei moduli finitamente generati.

Se inoltre E è finitamente generato, allora ${\displaystyle {\hat {E}}}$ è isomorfo al prodotto tensoriale ${\displaystyle {\hat {A}}\otimes _{A}E}$ e, di conseguenza, ${\displaystyle {\hat {A}}}$ è un A-modulo piatto. Se E non è finitamente generato, c'è sempre un omomorfismo suriettivo ${\displaystyle {\hat {A}}\otimes _{A}E\longrightarrow {\hat {E}}}$, che tuttavia non è necessariamente un isomorfismo.

Il passaggio da un anello locale A al suo completamento M-adico ${\displaystyle {\hat {A}}}$ conserva alcune proprietà. Se A è noetheriano, allora ${\displaystyle {\hat {A}}}$ è ancora noetheriano e locale, e ha la stessa dimensione di A. Inoltre, se I è un ideale di A, allora la sua estensione ad ${\displaystyle {\hat {A}}}$ è esattamente il completamento di I (visto come A-modulo) nella topologia M-adica; in particolare, l'ideale massimale di ${\displaystyle {\hat {A}}}$ è l'estensione dell'ideale massimale di A.

Altre proprietà, invece, non si comportano altrettanto bene: ad esempio, se A è ridotto (ovvero non ha nilpotenti), integro o integralmente chiuso, non è detto che ${\displaystyle {\hat {A}}}$ conservi tali caratteristiche.

Un'importante proprietà degli anelli completi è che essi verificano il lemma di Hensel, un analogo algebrico del metodo di Newton per approssimare le soluzioni di equazioni polinomiali: in una delle sue forme, esso afferma che, se f(x) è un polinomio a coefficienti in A e a è tale che f(a) è contenuto in ${\displaystyle f'(a)^{2}M}$ (f' indica la derivata formale di f) allora esiste uno zero b di f tale che ${\displaystyle b\equiv a{\bmod {f'(a)M}}}$; tale b è unico se ${\displaystyle f'(a)}$ non è un divisore dello zero. Come caso particolare, se ${\displaystyle f(a)\in M}$ e ${\displaystyle f'(a)}$ è invertibile, allora esiste (ed è unico) uno zero b di f tale che ${\displaystyle a\equiv b{\bmod {M}}}$.

Il teorema di struttura di Cohen classifica gli anelli completi noetheriani come immagini omomorfe di anelli di serie formali; è stato dimostrato da Irvin Cohen nel 1946.^[1]

Esso afferma che, dato un anello noetheriano completo A con ideale massimale M e campo residuo ${\displaystyle K=A/M}$, allora:

• se la caratteristica di A è uguale a quella di K (o, equivalentemente, se A contiene un campo k), allora A è isomorfo a ${\displaystyle {\frac {K[[x_{1},\ldots ,x_{d}]]}{I}}}$, dove I è un ideale di ${\displaystyle K[[x_{1},\ldots ,x_{d}]]}$;
• se le caratteristiche di A e di K sono diverse allora esiste un dominio di valutazione discreta completo W tale che A è isomorfo a ${\displaystyle {\frac {\left({\frac {W}{p^{m}W}}\right)[[x_{1},\ldots ,x_{d}]]}{I}}}$, dove p genera l'ideale massimale di W e m è un intero non negativo (se m = 0, ${\displaystyle {\frac {W}{p^{m}W}}=W}$).

In entrambi i casi, d può essere preso uguale al numero di generatori dell'ideale massimale M di A.

È da notare che, nel primo caso, le ipotesi del teorema non richiedono che A contenga il proprio campo residuo: ad esempio, se A contiene l'insieme ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ dei numeri razionali e il suo campo residuo è ${\displaystyle \mathbb {R} }$, allora il teorema garantisce che A contenga anche ${\displaystyle \mathbb {R} }$. In effetti, la parte più lunga e complessa della dimostrazione è quella che deduce, a partire dall'inclusione di k in A, anche la presenza di K.

In particolare, se la caratteristica di A è un numero primo p, allora A contiene il campo finito ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$, e quindi A contiene anche il suo campo residuo.

Nel caso in cui A sia anche regolare, il numero di generatori di M è uguale alla dimensione dell'anello; da questo si deduce che

• se la caratteristica di A e quella di K sono uguali, allora I deve essere l'ideale nullo e ${\displaystyle A\simeq K[[x_{1},\ldots ,x_{d}]]}$;
• se la caratteristica di A e quella di K sono diverse, allora (se p è la caratteristica di K)
  • se ${\displaystyle p\notin M^{2}}$ allora ${\displaystyle A\simeq W[[x_{1},\ldots ,x_{d-1}]]}$
  • se ${\displaystyle p\in M^{2}}$ allora ${\displaystyle A\simeq W[[x_{1},\ldots ,x_{d}]]/(f)}$, dove f è un elemento primo di ${\displaystyle W[[x_{1},\ldots ,x_{d}]]}$

Alcuni risultati della teoria degli anelli regolari possono essere dimostrati a partire da questo teorema, riducendosi al caso completo (spesso sfruttando la piattezza del completamento).

• (EN) Michael Atiyah e Ian G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, 1969, ISBN 0-201-40751-5.
• (EN) David Eisenbud, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8.

• (EN) Balwant Singh, Completion, formal smoothness and Cohen structure theorems

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica