Wiązka Gaussa – Wikipedia, wolna encyklopedia
Wiązka Gaussa – pojęcie używane w optyce do opisu propagacji światła, w którym łączy się metody optyki geometrycznej i falowej. Opisuje monochromatyczną falę elektromagnetyczną rozchodzącą się wzdłuż osi. Cechy wiązki określane są przez rozwiązanie równań Maxwella dla fali o stałej częstotliwości, czyli z równania Helmholtza, z przybliżeniem przyosiowym.
W przekroju poprzecznym wiązki natężenie pola elektrycznego ma rozkład zgodny z krzywą Gaussa (stąd nazwa wiązki) o zmieniających się parametrach wzdłuż osi propagacji. Wiązka zwęża się w przybliżeniu liniowo aż do najwęższego punktu, zwanego ogniskiem lub talią wiązki, a następnie rozszerza się, wykazując zgodność z przewidywaniami praw dyfrakcji. Wzdłuż osi propagacji intensywność przestrzenna wiązki jest zgodna z profilem Lorentza, maksimum natężenia pola elektrycznego znajduje się w punkcie talii. Dla wiązki o określonym kierunku propagacji i długości fali wiązka Gaussa jest całkowicie określona przez podanie położenia przewężenia i średnicy wiązki w nim.
Promieniowanie o rozkładzie gaussowskim szczególnie dobrze opisuje emisję światła wielu laserów (wskaźnik dyfrakcji ), ale może być również wykorzystywane w wielu innych sytuacjach związanych rozchodzeniem się promieniowania elektromagnetycznego. Analiza wiązki jest szczególnie interesująca, ponieważ z analizy fali elektromagnetycznej poprzez dość proste metody obliczeniowe umożliwia prezentację wielkości optyki falowej takich jak faza fali czy dyfrakcja światła.
Opis matematyczny
[edytuj | edytuj kod]Osiowo symetryczną wiązkę Gaussa dla monochromatycznej fali, propagującą się w kierunku osi z, opisuje zależność na amplitudę pola elektrycznego. Rzeczywiste drgające pole elektryczne jest częścią rzeczywistą wyrażenia po przemnożeniu go przez czynnik zależności od czasu [1][2]:
gdzie:
- r – promieniowa odległość od osi wiązki,
- z – odległość osiowa od ogniska wiązki (lub „talii”),
- i – jednostka urojona,
- – liczba falowa, dla ośrodka o współczynniku załamania i długości fali
- – amplituda natężenia pola elektrycznego w punkcie początkowym
- – promień wiązki, w którym amplituda pola elektrycznego spada do 1/e jego wartości na osi w płaszczyźnie wzdłuż wiązki,
- – promień wiązki w przewężeniu (talii),
- – promień krzywizny frontów falowych wiązki w odległości
- – faza Gouy’a w dodatkowy składnik fazowy, poza tym który można przypisać prędkości fazowej światła.
W powyższym wzorze funkcja eksponencjalna z argumentem urojonym (druga) opisuje przestrzenne drganie fali, natomiast amplitudę opisuje funkcja eksponencjalna o argumencie rzeczywistym. Rozkład amplitudy w dowolnej płaszczyźnie z może być opisany funkcją Gaussa:
Natężenie promieniowania wyraża irradiancja określona wzorem:
Promień wiązki
[edytuj | edytuj kod]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/94/Gaussianbeam.png/220px-Gaussianbeam.png)
Za promień wiązki w przekroju prostopadłym do osi wiązki rozumie się promień okręgu utworzonego z punktów, w których amplituda pola elektrycznego jest mniejsza e razy od jej wartości na osi wiązki. W miejscu przewężenia wiązki średnica wiązki jest najmniejsza i jest oznaczana przez Promień wiązki opisuje zależność[3]:
W odległości od przewężenia natężenie wiązki jest równe:
Parametr nazywa się zakresem Rayleigha . Obszar po obu stronach przewężenia w odległości zakresu Rayleigha nazywany jest głębią ostrości lub parametrem konfokalnym wiązki. Dla wiązki rozchodzącej się w próżni głębia ostrości jest równa jest równa:
W odległości znacznie większej od głębi ostrości promień wiązki jest proporcjonalny do odległości od przewężania i wynosi:
Dla małych kątów wartość funkcji tangens jest równa jej argumentowi, stąd rozbieżność wiązki:
Faza fali
[edytuj | edytuj kod]Faza fali w wiązce gaussowskiej opisana jest wyrażeniem:
Powierzchnia falowa określona przez składnik jest falą płaską, drugi składnik sprawia, że fronty falowe są sferyczne, a promień sfery jest równy[4]:
Fala w centrum przewężenia jest płaska, co odpowiada, że promień jej frontu jest nieskończenie duży. Fala ma najmniejszy promień równy dla W odległości od centrum znacznie większej od zakresu Rayleigha promień fali jest proporcjonalny do odległości od centrum, co oznacza, że wiązka Gaussa daleko od źródła jest falą sferyczną wychodzącą z przewężenia.
Trzeci składnik, zwany przesunięciem fazowym Guoya, jest równy:
Zwiększa on odległość między frontami falowymi w porównaniu z długością fali zdefiniowaną dla fali płaskiej o tej samej częstotliwości. Oznacza to również, że fronty fazowe muszą rozchodzić się nieco szybciej, co prowadzi do skutecznie zwiększonej prędkości fazy lokalnej[5].
Właściwości wiązki
[edytuj | edytuj kod]W charakterystycznych miejscach wiązka ma właściwości i może być przybliżona do[3]:
W pobliżu centrum wiązki i zachodzi:
- natężenie światła w ma stałą wartość
- promień frontów falowych jest bardzo duży
- przesunięcie fazowe Guoya jest niewielkie
Wiązka taka może być przybliżona falą płaską.
W pobliżu odległości od przewężenia:
- co skutkuje:
- wiązka ma dwukrotnie większą powierzchnię,
- natężenie światła jest połową natężenia w przewężeniu,
- opóźnienie fazowe w stosunku do fali płaskiej wynosi
- promień frontów fazowych (R) jest najmniejszy i wynosi
Wiązka może być przybliżeniem fali sferycznej o początku w miejscu
Daleko od przewężenia
- promień wiązki jest proporcjonalny do odległości od przewężania,
- powierzchnia wiązki rośnie proporcjonalnie do kwadratu odległości,
- natężenie światła w pobliżu osi wiązki zmniejsza się odwrotnie proporcjonalnie do powierzchni wiązki,
- promień frontów falowych rośnie proporcjonalnie do odległości,
- przesunięcie fazowe Guoya jest niemal stałe, dążąc do w nieskończoności.
Wiązka taka może być przybliżona falą sferyczną o środku sfery w przewężeniu.
Znaczenie wiązek Gaussa
[edytuj | edytuj kod]Znaczenie wiązek Gaussa wynika ze specjalnych właściwości[2]:
- Wiązka Gaussa ma gaussowski rozkład w każdym jej przekroju, zmienia się tylko promień wiązki.
- Wiązka gaussowska pozostaje gaussowska również po przejściu przez proste układy optyczne (np. idealne soczewki).
- Wiązka gaussowska to samospójny rozkład pola najniższego rzędu w rezonatorach optycznych pod warunkiem, że nie ma elementów powodujących zniekształcenia wiązki. Z tego powodu wiązki wyjściowe wielu laserów są gaussowskie.
- Światłowody jednomodowe mają zwykle profile wiązki zbliżone do gaussowskich, a w przypadkach innych profili, przybliżenie Gaussa jest popularne ze względu na stosunkowo proste obliczania propagacji wiązki.
- Istnieją tak zwane tryby wyższego rzędu, m.in. typu Hermite-Gauss. Mają one bardziej skomplikowane wzory pól i wymagają więcej parametrów do opisu wiązki.
- W przypadku rzeczywistych wiązek o niskiej jakości, można analizować je tak jakby były wiązkami gaussowskimi, przez wprowadzenie dodatkowych współczynników (M²).
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ Wiązki gaussowskie. [dostęp 2022-08-30].
- ↑ a b Rüdiger Paschotta , RP Photonics Encyclopedia. Gaussian Beams [online] .
- ↑ a b Optyka wiązek. Wiązka gaussowska [online] .
- ↑ Wiązka gaussowska [online] .
- ↑ Gouy Phase Shift [online] .