Método de Neyman–Pearson – Wikipédia, a enciclopédia livre

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Em estatística, o método ou lema de Neyman–Pearson foi introduzido pelo matemático polonês Jerzy Neyman e pelo matemático britânico Egon Pearson em um artigo de 1933. Este lema afirma que, quando se realiza um teste de hipóteses entre duas hipóteses simples ${\displaystyle H_{0}:\theta =\theta _{0}}$ e ${\displaystyle H_{1}:\theta =\theta _{1}}$, o teste de razão de verossimilhança que rejeita ${\displaystyle H_{0}}$ em favor de ${\displaystyle H_{1}}$ quando

${\displaystyle \Lambda (x)={\frac {L(x\mid \theta _{0})}{L(x\mid \theta _{1})}}\leq \eta ,}$

em que

${\displaystyle P(\Lambda (X)\leq \eta \mid H_{0})=\alpha ,}$

é o teste mais potente ao nível de significância ${\displaystyle \alpha }$ para o limiar ${\displaystyle \eta }$. Se o teste for o mais potente para todo ${\displaystyle \theta _{1}\in \Theta _{1}}$, pode ser considerado o uniformemente mais potente (UMP) para alternativas no conjunto ${\displaystyle \Theta _{1}}$.

Na prática, a razão de verossimilhança é com frequência usada diretamente para construir testes — como o teste de razão de verossimilhança. Entretanto, pode ser usada para sugerir estatísticas de teste particulares que podem ser de interesse ou sugerir testes simplificados — para isto, considera-se a manipulação algébrica da razão para ver se há nela estatísticas-chave relacionadas com o tamanho da razão, isto é, se uma estatística grande corresponde a uma razão pequena ou a uma razão grande.^[1]

Defina a região de rejeição da hipótese nula para o teste de Neyman–Pearson como:

${\displaystyle R_{NP}=\left\{x:{\frac {L(x\mid \theta _{0})}{L(x\mid \theta _{1})}}\leqslant \eta \right\},}$

em que ${\displaystyle \eta }$ é escolhido de modo que ${\displaystyle P(R_{NP},\theta _{0})=\alpha }$. Qualquer outro teste terá uma região de rejeição diferente que denotamos como ${\displaystyle R_{A}}$. A probabilidade de que os dados caiam na região ${\displaystyle R}$, dado o parâmetro ${\displaystyle \theta }$ é:

${\displaystyle P(R,\theta )=\int _{R}L(x\mid \theta )\,dx.}$^[2]

Para o teste com região crítica ${\displaystyle R_{A}}$ ter nível ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \alpha \geqslant P(R_{A},\theta _{0})}$ deve ser verdadeiro, consequentemente:

${\displaystyle \alpha =P(R_{NP},\theta _{0})\geqslant P(R_{A},\theta _{0}).}$

Será útil separar isto em integrais sobre regiões distintas:

${\displaystyle {\begin{aligned}P(R_{NP},\theta )&=P(R_{NP}\cap R_{A},\theta )+P(R_{NP}\cap R_{A}^{c},\theta )\\P(R_{A},\theta )&=P(R_{NP}\cap R_{A},\theta )+P(R_{NP}^{c}\cap R_{A},\theta ).\end{aligned}}}$

Configurando ${\displaystyle \theta =\theta _{0}}$, estas duas expressões e a igualdade acima dão:

${\displaystyle P(R_{NP}\cap R_{A}^{c},\theta _{0})\geqslant P(R_{NP}^{c}\cap R_{A},\theta _{0}).}$

Comparando as potências dos dois testes, ${\displaystyle P(R_{NP},\theta _{1})}$ e ${\displaystyle P(R_{A},\theta _{1})}$, tem-se que:

${\displaystyle P(R_{NP},\theta _{1})\geqslant P(R_{A},\theta _{1})\iff P(R_{NP}\cap R_{A}^{c},\theta _{1})\geqslant P(R_{NP}^{c}\cap R_{A},\theta _{1}).}$

Mostra-se que a desigualdade à esquerda se aplica. Agora, por definição de ${\displaystyle R_{NP}}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}P(R_{NP}\cap R_{A}^{c},\theta _{1})&=\int _{R_{NP}\cap R_{A}^{c}}L(x\mid \theta _{1})\,dx\\[4pt]&\geqslant {\frac {1}{\eta }}\int _{R_{NP}\cap R_{A}^{c}}L(x\mid \theta _{0})\,dx&&{\text{por definicao de }}R_{NP}\\[4pt]&={\frac {1}{\eta }}P(R_{NP}\cap R_{A}^{c},\theta _{0})&&{\text{por definicao de }}P(R,\theta )\\[4pt]&\geqslant {\frac {1}{\eta }}P(R_{NP}^{c}\cap R_{A},\theta _{0})\\[4pt]&={\frac {1}{\eta }}\int _{R_{NP}^{c}\cap R_{A}}L(x\mid \theta _{0})\,dx\\[4pt]&\geqslant \int _{R_{NP}^{c}\cap R_{A}}L(x\mid \theta _{1})\,dx\\[4pt]&=P(R_{NP}^{c}\cap R_{A},\theta _{1}).\end{aligned}}}$^[3]

Considere ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ uma amostra aleatória da distribuição ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$, em que a média ${\displaystyle \mu }$ é conhecida, e suponha que queremos testar por ${\displaystyle H_{0}:\sigma ^{2}=\sigma _{0}^{2}}$ contra ${\displaystyle H_{1}:\sigma ^{2}=\sigma _{1}^{2}}$. A verossimilhança para este conjunto de dados normalmente distribuídos é:

${\displaystyle L\left(\mathbf {x} \mid \sigma ^{2}\right)\propto \left(\sigma ^{2}\right)^{-n/2}\exp \left\{-{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right\}.}$

Podemos computar a razão de verossimilhança para encontrar a estatística-chave neste teste e seu efeito no valor observado do teste:

${\displaystyle \Lambda (\mathbf {x} )={\frac {L(\mathbf {x} \mid \sigma _{0}^{2})}{L(\mathbf {x} \mid \sigma _{1}^{2})}}=\left({\frac {\sigma _{0}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}\right)^{-n/2}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}(\sigma _{0}^{-2}-\sigma _{1}^{-2})\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}\right\}.}$

Esta razão depende apenas dos dados por ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}$. Por isso, pelo lema de Neyman–Pearson, o teste mais potente deste tipo de hipótese para este dado dependerá apenas de ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}$. Além disso, por inspeção, podemos ver que, se ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}>\sigma _{0}^{2}}$, então, ${\displaystyle \Lambda (\mathbf {x} )}$ é uma função decrescente de ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}$. Então, devemos rejeitar ${\displaystyle H_{0}}$ se ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}$ for suficientemente grande. O limiar de rejeição depende apenas do tamanho do teste. Neste exemplo, a estatística de teste pode ser mostrada como sendo um variável aleatória escalonada com distribuição qui-quadrado e um valor crítico exato pode ser obtido.^[4]

Uma variante do lema de Neyman–Pearson encontrou uma aplicação no domínio aparentemente não relacionado da economia do valor da terra. Um dos problemas fundamentais na teoria do consumidor é calcular a função demanda do consumidor dados os preços. Em particular, dadas uma propriedade de terra heterogênea, uma medida de preço sobre a terra e uma medida de utilidade subjetiva sobre a terra, o problema do consumidor é calcular a melhor parcela de terra que pode comprar — isto é, a parcela de terra com a maior utilidade e cujo preço é mais adequado a seu orçamento. Acontece que este problema é muito semelhante ao problema de encontrar o teste estatístico mais potente e, então, o lema de Neyman–Pearson pode ser usado.^[5]

O lema de Neyman–Pearson é muito útil em engenharia eletrônica, mais precisamente no desenho e uso de sistemas de radar, sistemas de comunicação digital e sistemas de processamento de sinal. Em sistemas de radar, o lema de Neyman–Pearson é usado primeiramente para configurar a razão de detecções perdidas a um (baixo) nível desejado e, em seguida, minimizar a razão de alarmes falsos ou vice-versa. Nem alarmes falsos, nem detecções perdidas podem ser configurados a razões arbitrariamente baixas, incluindo zero. Tudo o que foi dito serve também para muitos sistemas em processamento de sinais.

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