Distribuição t de Student – Wikipédia, a enciclopédia livre

A distribuição t de Student é uma distribuição de probabilidade, publicada por William Sealy Gosset sob o pseudônimo Student que não podia usar seu nome verdadeiro para publicar trabalhos enquanto trabalhasse para a cervejaria Guinness.^[1][2]

A distribuição ${\displaystyle t}$ é uma distribuição de probabilidade absolutamente contínua, simétrica e campaniforme, o único parâmetro ${\displaystyle \nu }$ que a caracteriza esta família é o número de graus de liberdade. A função densidade de probabilidade da ${\displaystyle t}$ detém caudas mais pesadas que a distribuição normal quando ${\displaystyle \nu }$ é pequeno e a medida que ${\displaystyle \nu }$ cresce, a distribuição t de Student se aproxima da normal.

Seja ${\displaystyle Z}$ uma variável aleatória normal padrão e ${\displaystyle V}$ uma variável aleatória com distribuição Chi-quadrado com ${\displaystyle \nu }$ graus de liberdade. Se ${\displaystyle Z}$ e ${\displaystyle V}$ são independentes, então a transformação ${\displaystyle t}$^[3] definida como

${\displaystyle t={\frac {Z}{\sqrt {V/\nu \ }}}}$

terá distribuição t de Student com ${\displaystyle \nu }$ graus de liberdade.

A função densidade de probabilidade é:

${\displaystyle f(t)={\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left(1+{\frac {t^{2}}{\nu }}\right)^{-({\frac {\nu +1}{2}})}\!,}$

em que Γ é a função gama. Usando-se a função beta B, a função densidade de probabilidade pode ser escrita como:

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{{\sqrt {\nu }}\,B\left({\frac {1}{2}},{\frac {\nu }{2}}\right)}}\left(1+{\frac {t^{2}}{\nu }}\right)^{-({\frac {\nu +1}{2}})}\!}$

A distribuição t de Student aparece naturalmente no problema de se determinar a média de uma população (que segue a distribuição normal) a partir de uma amostra. Neste problema, não se sabe qual é a média ou o desvio padrão da população, mas ela deve ser normal.

Supondo que o tamanho da amostra n seja muito menor que o tamanho da população, temos que a amostra é dada por n variáveis aleatórias normais independentes X₁, ..., X_n, cuja média ${\displaystyle {\overline {X}}_{n}=(X_{1}+\cdots +X_{n})/n}$ é o melhor estimador para a média da população.

Considerando ${\displaystyle {S_{n}}^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}_{n}\right)^{2}}$ como a variância amostral, temos o seguinte resultado:

A variável aleatória t dada por:

${\displaystyle t={\frac {{\overline {X}}_{n}-\mu }{S_{n}/{\sqrt {\nu }}}},}$

ou :${\displaystyle t={\sqrt {\nu }}{\frac {{\overline {X}}_{n}-\mu }{S_{n}}},}$ segue uma distribuição t de Student com ${\displaystyle \nu =n-1}$ graus de liberdade.

Grande parte dos livros estatísticos trazem uma tabela com valores para a distribuição t de Student. Essas tabelas apresentam valores arredondados e esses arredondamentos podem ser grosseiros demais, dependendo do tipo de análise que está sendo feita. Softwares estatísticos e planilhas como Microsoft Excel e OpenOffice Calc possuem técnicas mais precisas para a estimação desses valores.

A tabela abaixo lista alguns valores selecionados para a distribuição t de Student com ${\displaystyle \nu }$ graus de liberdade (números no início de cada linha) para as regiões críticas com uma ou duas caudas (unicaudal ou bicaudal). Por exemplo, se estamos fazendo uma análise em que a distribuição t de Student apresenta 4 graus de liberdade e queremos usar um nível de confiança de 95% unicaudal, consultamos a tabela e percebemos que ${\displaystyle t\!}$ deve ser de 2,132. Isso quer dizer que a probabilidade de ${\displaystyle -\infty <t<2,132}$ é de 95%.

Unicaudal	75%	80%	85%	90%	95%	97,5%	99%	99,5%	99,75%	99,9%	99,95%
Bicaudal	50%	60%	70%	80%	90%	95%	98%	99%	99,5%	99,8%	99,9%
1	1,000	1,376	1,963	3,078	6,314	12,71	31,82	63,66	127,3	318,3	636,6
2	0,816	1,061	1,386	1,886	2,920	4,303	6,965	9,925	14,09	22,33	31,60
3	0,765	0,978	1,250	1,638	2,353	3,182	4,541	5,841	7,453	10,21	12,92
4	0,741	0,941	1,190	1,533	2,132	2,776	3,747	4,604	5,598	7,173	8,610
5	0,727	0,920	1,156	1,476	2,015	2,571	3,365	4,032	4,773	5,893	6,869
6	0,718	0,906	1,134	1,440	1,943	2,447	3,143	3,707	4,317	5,208	5,959
7	0,711	0,896	1,119	1,415	1,895	2,365	2,998	3,499	4,029	4,785	5,408
8	0,706	0,889	1,108	1,397	1,860	2,306	2,896	3,355	3,833	4,501	5,041
9	0,703	0,883	1,100	1,383	1,833	2,262	2,821	3,250	3,690	4,297	4,781
10	0,700	0,879	1,093	1,372	1,812	2,228	2,764	3,169	3,581	4,144	4,587
11	0,697	0,876	1,088	1,363	1,796	2,201	2,718	3,106	3,497	4,025	4,437
12	0,695	0,873	1,083	1,356	1,782	2,179	2,681	3,055	3,428	3,930	4,318
13	0,694	0,870	1,079	1,350	1,771	2,160	2,650	3,012	3,372	3,852	4,221
14	0,692	0,868	1,076	1,345	1,761	2,145	2,624	2,977	3,326	3,787	4,140
15	0,691	0,866	1,074	1,341	1,753	2,131	2,602	2,947	3,286	3,733	4,073
16	0,690	0,865	1,071	1,337	1,746	2,120	2,583	2,921	3,252	3,686	4,015
17	0,689	0,863	1,069	1,333	1,740	2,110	2,567	2,898	3,222	3,646	3,965
18	0,688	0,862	1,067	1,330	1,734	2,101	2,552	2,878	3,197	3,610	3,922
19	0,688	0,861	1,066	1,328	1,729	2,093	2,539	2,861	3,174	3,579	3,883
20	0,687	0,860	1,064	1,325	1,725	2,086	2,528	2,845	3,153	3,552	3,850
21	0,686	0,859	1,063	1,323	1,721	2,080	2,518	2,831	3,135	3,527	3,819
22	0,686	0,858	1,061	1,321	1,717	2,074	2,508	2,819	3,119	3,505	3,792
23	0,685	0,858	1,060	1,319	1,714	2,069	2,500	2,807	3,104	3,485	3,767
24	0,685	0,857	1,059	1,318	1,711	2,064	2,492	2,797	3,091	3,467	3,745
25	0,684	0,856	1,058	1,316	1,708	2,060	2,485	2,787	3,078	3,450	3,725
26	0,684	0,856	1,058	1,315	1,706	2,056	2,479	2,779	3,067	3,435	3,707
27	0,684	0,855	1,057	1,314	1,703	2,052	2,473	2,771	3,057	3,421	3,690
28	0,683	0,855	1,056	1,313	1,701	2,048	2,467	2,763	3,047	3,408	3,674
29	0,683	0,854	1,055	1,311	1,699	2,045	2,462	2,756	3,038	3,396	3,659
30	0,683	0,854	1,055	1,310	1,697	2,042	2,457	2,750	3,030	3,385	3,646
40	0,681	0,851	1,050	1,303	1,684	2,021	2,423	2,704	2,971	3,307	3,551
50	0,679	0,849	1,047	1,299	1,676	2,009	2,403	2,678	2,937	3,261	3,496
60	0,679	0,848	1,045	1,296	1,671	2,000	2,390	2,660	2,915	3,232	3,460
80	0,678	0,846	1,043	1,292	1,664	1,990	2,374	2,639	2,887	3,195	3,416
100	0,677	0,845	1,042	1,290	1,660	1,984	2,364	2,626	2,871	3,174	3,390
120	0,677	0,845	1,041	1,289	1,658	1,980	2,358	2,617	2,860	3,160	3,373
${\displaystyle \infty }$	0,674	0,842	1,036	1,282	1,645	1,960	2,326	2,576	2,807	3,090	3,291

Um fabricante de aparelhos celulares afirma que a duração média da bateria desses aparelhos nos primeiros 6 meses de uso é de 120 horas, ou seja, 5 dias. Analisando uma amostra de 25 aparelhos, obteve-se uma média de duração de 116 horas, com desvio padrão de 12 horas. Verifique se a afirmação é verdadeira, utilizando um nível de confiança de 95% bicaudal.

Resolução:

1º Utilizando a tabela de distribuição t student, definem-se os pontos críticos através do grau de liberdade (24) e o nível de confiança (95%).

Nesse caso, os pontos críticos são ± 2,064, ou seja, P(-2,064 < t < 2,064). Se o valor de t estiver dentro desses limites a afirmação é verdadeira.

2º Na sequência calcula-se o valor de t para a amostra:

Dados:

${\displaystyle {{\overline {X}}=116;}}$

${\displaystyle {\mu =120;}}$

${\displaystyle {S=12;}}$

${\displaystyle {n=25;}}$

Fórmula: ${\displaystyle t={\frac {{\overline {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}={\frac {{116}-120}{12/{\sqrt {25}}}}=-1,667}$

3º Conclusão: Como t = - 1,667, encontra-se dentro dos limites críticos, P(-2,064 < t < 2,064), a afirmação do fabricante de celular que a duração média da sua bateria é de 120 horas, a um nível de confiança de 95%, é verdadeira.

Importante:

Esse exemplo não serve para alegar que a bateria dura, pelo menos, 120 horas. Para determinar o desempenho esperado, a abordagem que tem mais correlação com a experiência dos consumidores é a do teste unicaudal. Analisando os dados de teste com a distribuição unicaudal, a média de 116 horas e desvio-padrão de 12 horas, para 24 graus de liberdade e um nível de confiança de 95%, vemos que a duração esperada para as baterias seria equivalente a ${\displaystyle t=-1,711}$. Nesse caso, a duração esperada para 95% das baterias seria de:

${\displaystyle x={\bar {X}}+t\times S=116-1,711\times 12=95,468\ horas}$

• Distribuição normal

Referências

• Portal da matemática