Осоэдр — Википедия

Множество правильных n-угольных осоэдров
Пример шестиугольного осоэдра на сфере
Пример шестиугольного осоэдра на сфере
Тип Регулярный многогранник[англ.] или сферическая мозаика
Комбинаторика
Элементы
n рёбер
2 вершины
Χ = 2
Грани n Двуугольников
Конфигурация вершины 2n
Двойственный многогранник диэдр
Классификация
Символ Шлефли {2,n}
Символ Витхоффа[англ.] n | 2 2
Диаграмма Дынкина node_12xnodennode
Группа симметрии Dnh, [2,n], (*22n), порядок 4n
Логотип Викисклада Медиафайлы на Викискладе
Этот пляжный мяч[англ.] показывает осоэдр с шестью серповидными гранями, если удалить два белых круга на концах.

n-угольный осоэдр — мозаика из двуугольников на сферической поверхности, где каждый такой двуугольник имеет две общие вершины (противоположные точки сферы) с другими двуугольниками.

Правильный n-угольный осоэдр имеет символ Шлефли {2, n}, а каждый двуугольник имеет внутренний угол 2π/n радиан (360/n градусов[1][2].

Осоэдры как правильные многогранники

[править | править код]

Для правильных многогранников, символ Шлефли которых равен {mn}, число многоугольных граней можно найти по формуле:

Правильные многогранники, известные с античных времён, являются единственными многогранниками, дающими в результате деления целое число для m ≥ 3 и n ≥ 3. Ограничение m ≥ 3 приводит к тому, что многоугольные грани должны иметь по меньшей мере три стороны.

Если рассматривать многогранники как сферическую мозаику, это ограничение может быть ослаблено, поскольку двуугольники можно рассматривать как сферические двуугольные фигуры, имеющие ненулевую площадь. Допущение m = 2 порождает новый бесконечный класс правильных многогранников, то есть осоэдров.


Правильный треугольный осоэдр, {2,3}, представленный в виде мозаики из трёх двуугольников на сфере.

Правильный четырёхугольный осоэдр, представленный в виде мозаики из четырёх двуугольников на сфере.
Семейство правильных осоэдров
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ...
Рисунок
Шлефли {2,1} {2,2} {2,3} {2,4} {2,5} {2,6} {2,7} {2,8} {2,9} {2,10} {2,11} {2,12}
Коксетер node_12xnode node_12xnode2xnode node_12xnode3node node_12xnode4node node_12xnode5node node_12xnode6node node_12xnode7node node_12xnode8node node_12xnode9node node_12xnode1x0xnode node_12xnode1x1xnode node_12xnode1x2xnode
Граней и
рёбер
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Вершин 2

Калейдоскопическая симметрия

[править | править код]

Двуугольные грани 2n-осоэдра , {2,2n}, представляют фундаментальные области диэдральной симметрии[англ.]: Cnv, [n], (*nn), порядок 2n. Области зеркального отражения можно показать, используя поочерёдную раскраску двуугольников. Рассечения двуугольников на два сферических треугольника создают бипирамиды и определяют диэдрическую симметрию Dnh, порядок 4n.

Симметрия C1v C2v C3v C4v C5v C6v
Осоэдр {2,2} {2,4} {2,6} {2,8} {2,10} {2,12}
Фундаментальные области

Связь с телами Штейнмеца

[править | править код]

Четырёхугольный осоэдр топологически эквивалентен бицилиндру, пересечению двух цилиндров под прямым углом[3].

Производные многогранники

[править | править код]

Двойственным многогранником n-угольного осоэдра {2, n} является n-угольный диэдр, {n, 2}. Многогранник {2,2} самодвойственен и является осоэдром и диэдром одновременно.

Осоэдр можно модифицировать тем же способом, что и другие многогранники, порождая усечённые[англ.] варианты. Усечённый n-угольный осоэдр — это n-угольная призма.

Бесконечноугольный осоэдр

[править | править код]

В пределе осоэдр становится бесконечноугольным и представляет собой двумерное замощение:

Многомерные аналоги, в общем случае, называются осотопами. Правильный осототоп с символом Шлефли {2,p,…,q} имеет две вершины и в обеих вершинах вершинной фигурой служит {p,…,q}.

Двумерный осотоп (многоугольник) {2} — это двуугольник.

Этимология

[править | править код]

Термин «осоэдр» (hosohedron) предложен Г. С. М. Коксетером и, возможно, происходит от др.-греч. ὅσος (осос) «сколь угодно», что указывает на возможность осоэдра иметь «сколь угодно много граней»[4].

Однородные шестиугольные диэдральные сферические многогранники
Симметрия: [6,2], (*622) [6,2]+, (622) [6,2+], (2*3)
node_16node2node node_16node_12node node6node_12node node6node_12node_1 node6node2node_1 node_16node2node_1 node_16node_12node_1 node_h6node_h2xnode_h node6node_h2xnode_h
{6,2} t{6,2} r{6,2} t{2,6} {2,6} rr{2,6} tr{6,2}[англ.] sr{6,2} s{2,6}
Двойственные им многогранники
V62 V122 V62 V4.4.6[англ.] V26 V4.4.6[англ.] V4.4.12 V3.3.3.6[англ.] V3.3.3.3
*n32 варианты симметрии правильных мозаик: n3 или {n,3}
Сферические Евклидовы Компактные
гиперболические.
Параком-
пактные.
Некомпактные гиперболические.
{2,3} {3,3} {4,3} {5,3} {6,3} {7,3} {8,3} {∞,3} {12i,3} {9i,3} {6i,3} {3i,3}

Примечания

[править | править код]
  1. Coxeter, 1973, p. 12.
  2. McMullen & Schulte, 2002, p. 161.
  3. Weisstein, Eric W. Steinmetz Solid (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  4. Schwartzman, 1994, p. 108–109.

Литература

[править | править код]
  • Coxeter H. S. M. . Regular Polytopes. — New York: Dover Publications Inc., 1973. — ISBN 0-486-61480-8.
  • McMullen, Peter; Schulte, Egon. . Abstract Regular Polytopes. 1st edition. — Cambridge University Press, 2002. — ISBN 0-521-81496-0.
  • Schwartzman, Steven. . The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English. — MAA, 1994. — ISBN 978-0-88385-511-9.