Пирамида (геометрия) — Википедия
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2a/Hexagonal_pyramid.png/300px-Hexagonal_pyramid.png)
Пирами́да (от др.-греч. πυραμίς, род. п. πυραμίδος) — многогранник, одна из граней которого (называемая основанием) — произвольный многоугольник, а остальные грани (называемые боковыми гранями) — треугольники, имеющие общую вершину[1]. По числу углов основания различают пирамиды треугольные (тетраэдр), четырёхугольные и т. д. Если в основании лежит -угольник, пирамида называется -угольной. Она имеет боковых граней.
Пирамида является частным случаем конуса[2].
История развития пирамиды в геометрии
[править | править код]Начало геометрии пирамиды было положено в Древнем Египте и Вавилоне, однако активное развитие получило в Древней Греции. Объём пирамиды был известен древним египтянам. Первым греческим математиком, кто установил, чему равен объём пирамиды, был Демокрит [3], а доказал Евдокс Книдский. Древнегреческий математик Евклид систематизировал знания о пирамиде в XII томе своих «Начал», а также вывел первое определение пирамиды: телесная фигура, ограниченная плоскостями, которые от одной плоскости сходятся в одной точке (книга XI, определение 12[4]).
Элементы пирамиды
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ca/%D0%90%D0%BF%D0%BE%D1%84%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BF%D0%B8%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%B4%D1%8B.TIF/lossy-page1-200px-%D0%90%D0%BF%D0%BE%D1%84%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BF%D0%B8%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%B4%D1%8B.TIF.jpg)
SF — апофема
OF — радиус вписанной в основание окружности
- вершина пирамиды — общая точка боковых граней, не лежащая в плоскости основания;
- основание — грань, которой не принадлежит вершина пирамиды;
- боковые грани — треугольные грани, сходящиеся в вершине;
- боковые рёбра — рёбра, являющиеся сторонами двух боковых граней (и, соответственно, не являющиеся сторонами основания);
- высота пирамиды — перпендикуляр из вершины пирамиды на её основание;
- апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины;
- диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через её вершину и диагональ основания.
Развёртка пирамиды
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7a/%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%B2%D1%91%D1%80%D1%82%D0%BA%D0%B0_%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%8F%D1%82%D0%B8%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D0%B8%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%B4%D1%8B.TIF/lossy-page1-300px-%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%B2%D1%91%D1%80%D1%82%D0%BA%D0%B0_%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%8F%D1%82%D0%B8%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D0%B8%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%B4%D1%8B.TIF.jpg)
1. в плоскости основания («звезда»)
2. в плоскости одной из боковых граней
Развёрткой называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с одной плоскостью (без наложения граней или иных элементов поверхности друг на друга). Приступая к изучению развёртки поверхности, последнюю целесообразно рассматривать как гибкую, нерастяжимую плёнку. Некоторые из представленных таким образом поверхностей можно путём изгибания совместить с плоскостью. При этом, если отсек поверхности может быть совмещён с плоскостью без разрывов и склеивания, то такую поверхность называют развёртывающейся, а полученную плоскую фигуру — её развёрткой.
Свойства
[править | править код]Если все боковые рёбра равны, то:
- вокруг основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
- боковые рёбра образуют с плоскостью основания равные углы;
- также верно и обратное, то есть если боковые рёбра образуют с плоскостью основания равные углы, или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые рёбра пирамиды равны.
Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то:
- в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
- высоты боковых граней равны;
- площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани.
Теоремы, связывающие пирамиду с другими геометрическими телами
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1b/%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0_%D0%B2%D0%BE%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%B3_%D0%BF%D0%B8%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%B4%D1%8B.tiff/lossy-page1-300px-%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0_%D0%B2%D0%BE%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%B3_%D0%BF%D0%B8%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%B4%D1%8B.tiff.jpg)
SD — высота пирамиды.
AD — радиус окружности, описывающей основание.
В — середина ребра боковой грани
С — точка пересечения плоскостей проходящих через середину рёбер перпендикулярно им.
AC=CS — радиус сферы описывающей пирамиду
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1b/%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0_%D0%B2%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%B0_%D0%B2_%D0%BF%D0%B8%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%B4%D1%83.TIF/lossy-page1-300px-%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0_%D0%B2%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%B0_%D0%B2_%D0%BF%D0%B8%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%B4%D1%83.TIF.jpg)
D — центр основания
SF — апофема
ASD — биссекторная плоскость угла между боковыми гранями
BCE — биссекторная плоскость угла между основанием и боковой гранью
С — точка пересечения всех биссекторных плоскостей
CK=CD — радиус сферы вписанной в пирамиду
- около пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит многоугольник, вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие)[5]. Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно им. Из этой теоремы следует, что как около любой треугольной, так и около любой правильной пирамиды можно описать сферу;
- в пирамиду можно вписать сферу тогда, когда биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.
- Конус называется вписанным в пирамиду, если вершины их совпадают, а его основание вписано в основание пирамиды. Причём вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие);[6]
- Конус называется описанным около пирамиды, когда их вершины совпадают, а его основание описано около основания пирамиды. Причём описать конус около пирамиды можно только тогда, когда все боковые рёбра пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие);
- Высоты у таких конусов и пирамид равны между собой.
- Цилиндр называется вписанным в пирамиду, если одно его основание совпадает с окружностью вписанной в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание принадлежит основанию пирамиды.
- Цилиндр называется описанным около пирамиды, если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а другое его основание описано около основания пирамиды. Причём описать цилиндр около пирамиды можно только тогда, когда в основании пирамиды — вписанный многоугольник (необходимое и достаточное условие).
Формулы, связанные с пирамидой
[править | править код]- Объём пирамиды может быть вычислен по формуле:
- Также объём треугольной пирамиды (тетраэдра) может быть вычислен по формуле[8]:
- где — скрещивающиеся рёбра , — расстояние между и , — угол между и ;
- Боковая поверхность — это сумма площадей боковых граней:
- Полная поверхность — это сумма площади боковой поверхности и площади основания:
- Для нахождения площади боковой поверхности в правильной пирамиде можно использовать формулы:
- где — апофема , — периметр основания, — число сторон основания, — боковое ребро, — плоский угол при вершине пирамиды.
Особые случаи пирамиды
[править | править код]Правильная пирамида
[править | править код]Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами:
- боковые рёбра правильной пирамиды равны;
- в правильной пирамиде все боковые грани — конгруэнтные равнобедренные треугольники;
- в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать вокруг неё сферу;
- если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна , а каждый из них соответственно , где — количество сторон многоугольника основания[9];
- площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
Прямоугольная пирамида
[править | править код]Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды.
Тетраэдром называется треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды. Кроме того, существует большое различие между понятиями «правильная треугольная пирамида» и «правильный тетраэдр». Правильная треугольная пирамида — это пирамида с правильным треугольником в основании (грани же должны быть равнобедренными треугольниками). Правильным тетраэдром является тетраэдр, у которого все грани являются равносторонними треугольниками.
См. также
[править | править код]Примечания
[править | править код]- ↑ Александров А. Д., Вернер А. Л. Геометрия. Учебник для 10—11 классов общеобразовательных учреждений. — 2-е изд. — М.: Просвещение, 2003. — 271 с. — ISBN 5-09-010773-4.
- ↑ Математика в понятиях, определениях и терминах. Ч. 1. Пособие для учителей. Под ред. Л. В. Сабинина. М., Просвещение, 1978. 320 с. С. 253.
- ↑ Б. Л. ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. — 3-е изд.. — М.: КомКнига, 2007. — 456 с. — ISBN 978-5-484-00848-3.
- ↑ М. Е. Ващенко-Захарченко. Начала Евклида с пояснительным введением и толкованиями. — Киев, 1880. — С. 473. — 749 с.
- ↑ Саакян С. М., Бутузов В. Ф. Изучение геометрии в 10—11-х классах: книга для учителя. — 4-е изд., дораб.. — М.: Просвещение, 2010. — 248 с. — (Математика и информатика). — ISBN 978-5-09-016554-9.
- ↑ Погорелов А. В. Геометрия: Учебник для 10—11 классов общеобразовательных учреждений. — 8-е изд. — М.: Просвещение, 2008. — 175 с. — 60 000 экз. — ISBN 978-5-09-019708-3.
- ↑ Геометрия по Киселёву Архивная копия от 1 марта 2021 на Wayback Machine, §357.
- ↑ Кушнир И. А. Триумф школьной геометрии. — К.: Наш час, 2005. — 432 с. — ISBN 966-8174-01-1.
- ↑ Готман Э. Свойства правильной пирамиды, вписанной в сферу Архивная копия от 22 января 2012 на Wayback Machine // Квант. — 1998. — № 4.
Литература
[править | править код]- Александров А. Д., Вернер А. Л. Геометрия. Учебник для 10—11 классов общеобразовательных учреждений. — 2-е изд. — М.: Просвещение, 2003. — 271 с. — ISBN 5-09-010773-4.
- Калинин А. Ю., Терешин Д. А. Стереометрия. 11 класс. — 2-е изд. — М.: Физматкнига, 2005. — 332 с. — ISBN 5-89155-134-9.
- А. П. Киселёв. "Геометрия по Киселёву". arXiv:1806.06942 [math.HO].
- Погорелов А. В. Геометрия: Учебник для 10—11 классов общеобразовательных учреждений. — 8-е изд. — М.: Просвещение, 2008. — 175 с. — 60 000 экз. — ISBN 978-5-09-019708-3.
Ссылки
[править | править код]- Бумажные модели пирамид Архивная копия от 4 января 2010 на Wayback Machine (англ.)
- «Начала» Евклида.