Графік функції помилок. Функція помилок або Функція помилок Гаусса [1] — це неелементарна функція , що використовується в теорії ймовірності , статистиці , математичній фізиці і визначається як
erf x = 2 π ∫ 0 x e − t 2 d t {\displaystyle \operatorname {erf} \,x={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t} . У багатьох із цих застосувань аргументом функції є дійсне число. Якщо аргумент функції є дійсним, то значення функції також є дійсним.
У статистиці для невід'ємних значень x функція помилок має таке трактування: для випадкової величини Y , яка має нормальний розподіл із математичним сподіванням 0 та дисперсією 1 ⁄√ 2 , erf x — це ймовірність того, що Y потрапляє в інтервал [−x , x ] .
Доповнювальна функція помилок , що позначається erfc x {\displaystyle \operatorname {erfc} \,x} (іноді застосовується позначення Erf x {\displaystyle \operatorname {Erf} \,x} ) визначається через функцію помилок:
erfc x = 1 − erf x = 2 π ∫ x ∞ e − t 2 d t {\displaystyle \operatorname {erfc} \,x=1-\operatorname {erf} \,x={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{x}^{\infty }e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t} . Уявна функція помилок , що позначається w ( x ) {\displaystyle w(x)} , також визначається через функцію помилок:
w ( x ) = e − x 2 erfc ( − i x ) {\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}}\operatorname {erfc} \,(-ix)} . Назва «функція помилок» та її абревіатура erf запропоновані Джеймсом Глейшером [en] в 1871 р. через її зв'язок з «теорією ймовірності, і особливо теорією помилок »[2] . Доповнювальні функції помилок також обговорювалося Глейшером того ж року в окремій публікації.[3] Для «закону об'єкта» помилок, щільність якого має вигляд
f ( x ) = ( c π ) 1 2 e − c x 2 {\displaystyle f(x)=\left({\frac {c}{\pi }}\right)^{\tfrac {1}{2}}{\rm {e}}^{-cx^{2}}} (нормальний розподіл ), Глейшер обчислював ймовірність помилки, що лежить між p {\displaystyle p} і q {\displaystyle q} , як
( c π ) 1 2 ∫ p q e − c x 2 d x = 1 2 ( erf ( q c ) − erf ( p c ) ) . {\displaystyle \left({\frac {c}{\pi }}\right)^{\tfrac {1}{2}}\int _{p}^{q}{\rm {e}}^{-cx^{2}}\,{\rm {d}}x={\tfrac {1}{2}}\left(\operatorname {erf} \left(q{\sqrt {c}}\right)-\operatorname {erf} \left(p{\sqrt {c}}\right)\right).} Якщо результати серії вимірювань описуються нормальним розподілом із середньоквадратичним відхиленням σ {\displaystyle \sigma } та математичним сподіванням 0, то erf ( a σ 2 ) {\displaystyle \operatorname {erf} \left({\frac {a}{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)} — це ймовірність того, що похибка одного вимірювання лежить між −a та +a , при додатному a . Це корисно, наприклад, при визначенні коефіцієнта бітових помилок цифрової системи зв'язку. Функцію помилок та доповнювальну функцію помилок застосовують, наприклад, у розв'язках рівняння теплопровідності , якщо граничні умови задаються функцією Гевісайда . Функцію помилок та її наближення можна використовувати для оцінки результатів, які мають місце з великою ймовірністю [en] або з низькою ймовірністю. Нехай задана випадкова величина X ∼ Norm [ μ , σ ] {\displaystyle X\sim \operatorname {Norm} [\mu ,\sigma ]} і константа L < μ {\displaystyle L<\mu } , тоді
Pr [ X ≤ L ] = 1 2 + 1 2 erf ( L − μ 2 σ ) ≈ A exp ( − B ( L − μ σ ) 2 ) {\displaystyle \Pr[X\leq L]={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {L-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)\approx A\exp \left(-B\left({\frac {L-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)} , де A і B — деякі числові константи. Якщо L достатньо далека від математичного сподівання, тобто μ − L ≥ σ ln k {\displaystyle \mu -L\geq \sigma {\sqrt {\ln {k}}}} , тоді
Pr [ X ≤ L ] ≤ A exp ( − B ln k ) = A k B {\displaystyle \Pr[X\leq L]\leq A\exp(-B\ln {k})={\frac {A}{k^{B}}}} , і ймовірність прямує до 0, якщо k → ∞ {\displaystyle k\to \infty } .
Інтеграл
exp ( − z 2 ) {\displaystyle \exp(-z^{2})} .
erf ( z ) {\displaystyle \operatorname {erf} (z)} erf ( − x ) = − erf x {\displaystyle \operatorname {erf} \,(-x)=-\operatorname {erf} \,x} . Для будь-якого комплексного x {\displaystyle x} виконується erf x ¯ = erf x ¯ {\displaystyle \operatorname {erf} \,{\bar {x}}={\overline {\operatorname {erf} \,x}}} де риска позначає комплексне спряження числа x {\displaystyle x} .
Підінтегральні функції f = exp ( − z 2 ) {\displaystyle f=\exp(-z^{2})} та f = erf ( z ) {\displaystyle f=\operatorname {erf} (z)} зображено в комплексній площині z на рисунках. Рівень Im ( f ) = 0 {\displaystyle \operatorname {Im} (f)=0} показано товстою зеленою лінією. Від'ємні цілі значення Im ( f ) {\displaystyle \operatorname {Im} (f)} показано товстими червоними лініями. Додатні цілі значення Im ( f ) {\displaystyle \operatorname {Im} (f)} показано товстими синіми лініями. Проміжні рівні Im ( f ) = c o n s t {\displaystyle \operatorname {Im} (f)={\rm {const}}} показано тонкими зеленими лініями. Проміжні рівні Re ( f ) = c o n s t {\displaystyle \operatorname {Re} (f)={\rm {const}}} показано тонкими червоними лініями для від'ємних значень і тонкими синіми лініями для додатних значень.
Функція помилок не може бути представлена через елементарні функції , але, розкладаючи інтегрований вираз в ряд Тейлора і інтегруючи почленно, ми можемо одержати її подання у вигляді ряду: erf x = 2 π ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 n ! ( 2 n + 1 ) = 2 π ( x − x 3 3 + x 5 10 − x 7 42 + x 9 216 − ⋯ ) {\displaystyle \operatorname {erf} \,x={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{n!(2n+1)}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{10}}-{\frac {x^{7}}{42}}+{\frac {x^{9}}{216}}-\ \cdots \right)} Ця рівність виконується (і ряд сходиться) як для будь-якого дійсного x {\displaystyle x} , так і на всій комплексній площині . Послідовність знаменників утворює послідовність A007680 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел , OEIS .
Для ітеративного обчислення елементів ряду корисно представити його в альтернативному вигляді: erf x = 2 π ∑ n = 0 ∞ ( x ∏ i = 1 n − ( 2 i − 1 ) x 2 i ( 2 i + 1 ) ) = 2 π ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 ∏ i = 1 n − x 2 i {\displaystyle \operatorname {erf} \,x={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }\left(x\prod _{i=1}^{n}{\frac {-(2i-1)x^{2}}{i(2i+1)}}\right)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x}{2n+1}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {-x^{2}}{i}}} , оскільки − ( 2 i − 1 ) x 2 i ( 2 i + 1 ) {\displaystyle {\frac {-(2i-1)x^{2}}{i(2i+1)}}} — співмножник, що перетворює i {\displaystyle i} -й член ряду в ( i + 1 ) {\displaystyle (i+1)} -й, вважаючи першим членом x {\displaystyle x} .
Уявна функція помилок має дуже схожий ряд Маклорена, а саме erfi ( z ) = 2 π ∑ n = 0 ∞ z 2 n + 1 n ! ( 2 n + 1 ) = 2 π ( z + z 3 3 + z 5 10 + z 7 42 + z 9 216 + ⋯ ) {\displaystyle \operatorname {erfi} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{2n+1}}{n!(2n+1)}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(z+{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{10}}+{\frac {z^{7}}{42}}+{\frac {z^{9}}{216}}+\cdots \right)} , для будь-якого комплексного числа z .
Функція помилок на нескінченності рівна одиниці; проте це справедливо тільки при наближенні до нескінченності по дійсній осі, оскільки: При розгляді функції помилок в комплексній площині точка z = ∞ {\displaystyle z=\infty } буде для неї істотно особливою. d d z erf ( z ) = 2 π e − z 2 {\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}{\rm {e}}^{-z^{2}}} . Звідси похідна уявної функції помилок:
d d z erfi ( z ) = 2 π e z 2 {\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\operatorname {erfi} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}{\rm {e}}^{z^{2}}} . Первісною функції помилок, яку можна отримати за допомогою інтегрування частинами , є
z erf ( z ) + e − z 2 π {\displaystyle z\operatorname {erf} (z)+{\frac {{\rm {e}}^{-z^{2}}}{\sqrt {\pi }}}} . Первісною уявної функції помилок, яку також можна отримати інтегруванням частинами, є
z erfi ( z ) − e z 2 π {\displaystyle z\operatorname {erfi} (z)-{\frac {{\rm {e}}^{z^{2}}}{\sqrt {\pi }}}} . Похідні вищих порядків задаються формулами
erf ( k ) ( z ) = 2 ( − 1 ) k − 1 π H k − 1 ( z ) e − z 2 = 2 π d k − 1 d z k − 1 ( e − z 2 ) , k = 1 , 2 , … {\displaystyle \operatorname {erf} ^{(k)}(z)={\frac {2(-1)^{k-1}}{\sqrt {\pi }}}{H}_{k-1}(z){\rm {e}}^{-z^{2}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}{\frac {{\rm {d}}^{k-1}}{{\rm {d}}z^{k-1}}}\left({\rm {e}}^{-z^{2}}\right),\qquad k=1,2,\dots } де H {\displaystyle {\mathit {H}}} — це поліноми Ерміта [4] .
Розклад[5] , який збігається швидше для всіх дійсних значень x {\displaystyle x} ніж ряд Тейлора, отримується за допомогою теореми Ганса Генріха Бюрмана [en] [6] : erf ( x ) = 2 π sgn ( x ) 1 − e − x 2 ( 1 − 1 12 ( 1 − e − x 2 ) − 7 480 ( 1 − e − x 2 ) 2 − 5 896 ( 1 − e − x 2 ) 3 − 787 276480 ( 1 − e − x 2 ) 4 − ⋯ ) = 2 π sgn ( x ) 1 − e − x 2 ( π 2 + ∑ k = 1 ∞ c k e − k x 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erf} (x)&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {sgn}(x){\sqrt {1-{\rm {e}}^{-x^{2}}}}\left(1-{\frac {1}{12}}\left(1-{\rm {e}}^{-x^{2}}\right)-{\frac {7}{480}}\left(1-{\rm {e}}^{-x^{2}}\right)^{2}-{\frac {5}{896}}\left(1-{\rm {e}}^{-x^{2}}\right)^{3}-{\frac {787}{276480}}\left(1-{\rm {e}}^{-x^{2}}\right)^{4}-\cdots \right)\\[10pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {sgn}(x){\sqrt {1-{\rm {e}}^{-x^{2}}}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}{\rm {e}}^{-kx^{2}}\right)\end{aligned}}} ( sgn {\displaystyle \operatorname {sgn} } — це signum-функція). Зберігаючи лише перші два коефіцієнти та вибираючи c 1 = 31 200 {\displaystyle c_{1}={\frac {31}{200}}} та c 2 = − 341 8000 {\displaystyle c_{2}=-{\frac {341}{8000}}} , отримане наближення показує свою найбільшу відносну похибку при x = ± 1,379 6 {\displaystyle x=\pm 1{,}3796} , яка менша ніж 3,612 7 ⋅ 10 − 3 {\displaystyle 3{,}6127\cdot 10^{-3}} :
erf ( x ) ≈ 2 π sgn ( x ) 1 − e − x 2 ( π 2 + 31 200 e − x 2 − 341 8000 e − 2 x 2 ) {\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {sgn} (x){\sqrt {1-{\rm {e}}^{-x^{2}}}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}+{\frac {31}{200}}{\rm {e}}^{-x^{2}}-{\frac {341}{8000}}{\rm {e}}^{-2x^{2}}\right)} . Обернена функція помилок є рядом erf − 1 x = ∑ k = 0 ∞ c k 2 k + 1 ( π 2 x ) 2 k + 1 {\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}\,x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{2k+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}x\right)^{2k+1}\,\!} , де c 0 = 1 і
c k = ∑ m = 0 k − 1 c m c k − 1 − m ( m + 1 ) ( 2 m + 1 ) = { 1 , 1 , 7 6 , 127 90 , … } {\displaystyle c_{k}=\sum _{m=0}^{k-1}{\frac {c_{m}c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)}}=\left\{1,1,{\frac {7}{6}},{\frac {127}{90}},\ldots \right\}} . Тому ряд можна подати в наступному вигляді (помітимо, що дроби скорочені):
erf − 1 x = 1 2 π ( x + π x 3 12 + 7 π 2 x 5 480 + 127 π 3 x 7 40320 + 4369 π 4 x 9 5806080 + 34807 π 5 x 11 182476800 + … ) {\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}\,x={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\left(x+{\frac {\pi x^{3}}{12}}+{\frac {7\pi ^{2}x^{5}}{480}}+{\frac {127\pi ^{3}x^{7}}{40320}}+{\frac {4369\pi ^{4}x^{9}}{5806080}}+{\frac {34807\pi ^{5}x^{11}}{182476800}}+\dots \right)\,\!} [1] . Послідовності чисельників і знаменників після скорочення — A092676 і A132467 у OEIS; послідовність чисельників до скорочення — A002067 у OEIS.
При |z | < 1 має місце співвідношення erf ( erf − 1 ( z ) ) = z {\displaystyle \operatorname {erf} \left(\operatorname {erf} ^{-1}(z)\right)=z} .
Обернена доповнювальна функція помилок визначається як
erfc − 1 ( 1 − z ) = erf − 1 ( z ) {\displaystyle \operatorname {erfc} ^{-1}(1-z)=\operatorname {erf} ^{-1}(z)} . Для дійсного x існує єдине дійсне число erfi − 1 ( x ) {\displaystyle \operatorname {erfi} ^{-1}(x)} , що erfi ( erfi − 1 ( x ) ) = x {\displaystyle \operatorname {erfi} \left(\operatorname {erfi} ^{-1}(x)\right)=x} . Обернена уявна функція помилок визначається як erfi − 1 ( x ) {\displaystyle \operatorname {erfi} ^{-1}(x)} [7] .
Для будь-якого дійсного x можна використовувати метод Ньютона для обчислення erfi − 1 ( x ) {\displaystyle \operatorname {erfi} ^{-1}(x)} , а при − 1 ≤ x ≤ 1 {\displaystyle -1\leq x\leq 1} наступний ряд Макролена є збіжним:
erfi − 1 ( z ) = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k c k 2 k + 1 ( π 2 z ) 2 k + 1 {\displaystyle \operatorname {erfi} ^{-1}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}c_{k}}{2k+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}z\right)^{2k+1}} , де коефіцієнти c k визначені вище.
Доповнювальна функція помилок Корисним асимптотичним розкладом доповнювальної функції помилок (а отже, і функції помилок) для великих дійсних x {\displaystyle x} є
erfc ( x ) = e − x 2 x π [ 1 + ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋯ ( 2 n − 1 ) ( 2 x 2 ) n ] = e − x 2 x π ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 x 2 ) n {\displaystyle \operatorname {erfc} (x)={\frac {{\rm {e}}^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{(2x^{2})^{n}}}\right]={\frac {{\rm {e}}^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{(2x^{2})^{n}}}} , де (2n – 1)!! — подвійний факторіал числа (2n – 1), який є добутком усіх непарних чисел до (2n – 1) включно. Цей ряд розбігається для будь-якого скінченного x {\displaystyle x} , і його зміст як асимптотичного розкладу полягає в тому, що для будь-якого N ∈ N {\displaystyle N\in \mathbb {N} }
erfc ( x ) = e − x 2 x π ∑ n = 0 N − 1 ( − 1 ) n ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 x 2 ) n + R N ( x ) {\displaystyle \operatorname {erfc} (x)={\frac {{\rm {e}}^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{N-1}(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{(2x^{2})^{n}}}+R_{N}(x)} , де залишок, в позначеннях O великого ,
R N ( x ) = O ( x 1 − 2 N e − x 2 ) {\displaystyle R_{N}(x)=O\left(x^{1-2N}{\rm {e}}^{-x^{2}}\right)} при x → ∞ . {\displaystyle x\to \infty .}
Дійсно, точне значення залишку становить
R N ( x ) = ( − 1 ) N π 2 1 − 2 N ( 2 N ) ! N ! ∫ x ∞ t − 2 N e − t 2 d t {\displaystyle R_{N}(x)={\frac {(-1)^{N}}{\sqrt {\pi }}}2^{1-2N}{\frac {(2N)!}{N!}}\int _{x}^{\infty }t^{-2N}{\rm {e}}^{-t^{2}}\,{\rm {d}}t} , яке легко отримується за допомогою індукції з використанням формули
e − t 2 = − ( 2 t ) − 1 ( e − t 2 ) ′ {\displaystyle {\rm {e}}^{-t^{2}}=-(2t)^{-1}\left({\rm {e}}^{-t^{2}}\right)'} та інтегрування частинами.
Для досить великих значень x {\displaystyle x} потрібні лише перші кілька членів цього асимптотичного розкладу, щоб отримати гарне наближення для функції erfc ( x ) {\displaystyle \operatorname {erfc} (x)} (тоді як для не надто великих значень x {\displaystyle x} вищенаведений ряд Тейлора у точці 0 {\displaystyle 0} забезпечує більш швидку збіжність).
Представлення доповнювальної функції помилок через ланцюговий дріб має вигляд[8] Ж
erfc ( z ) = z π e − z 2 1 z 2 + a 1 1 + a 2 z 2 + a 3 1 + ⋯ a m = m 2 . {\displaystyle \operatorname {erfc} (z)={\frac {z}{\sqrt {\pi }}}{\rm {e}}^{-z^{2}}{\cfrac {1}{z^{2}+{\cfrac {a_{1}}{1+{\cfrac {a_{2}}{z^{2}+{\cfrac {a_{3}}{1+\dotsb }}}}}}}}\qquad a_{m}={\frac {m}{2}}.} Інтеграл функції помилок з функцією розподілу Гаусса[ ред. | ред. код ] ∫ − ∞ ∞ erf ( a x + b ) 1 2 π σ 2 e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 d x = erf [ a μ + b 1 + 2 a 2 σ 2 ] , a , b , μ , σ ∈ R {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {erf} \left(ax+b\right){\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}{\rm {e}}^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,{\rm {d}}x=\operatorname {erf} \left[{\frac {a\mu +b}{\sqrt {1+2a^{2}\sigma ^{2}}}}\right],\qquad a,b,\mu ,\sigma \in \mathbb {R} } який отриманий Нг та Геллером за допомогою зміни змінних, формула 13 у параграфі 4.3[9] .
Обернений факторіальний ряд erfc z = e − z 2 π z ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n Q n ( z 2 + 1 ) n ¯ = e − z 2 π z ( 1 − 1 2 1 ( z 2 + 1 ) + 1 4 1 ( z 2 + 1 ) ( z 2 + 2 ) − ⋯ ) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} z&={\frac {{\rm {e}}^{-z^{2}}}{{\sqrt {\pi }}\,z}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}Q_{n}}{{(z^{2}+1)}^{\bar {n}}}}\\&={\frac {{\rm {e}}^{-z^{2}}}{{\sqrt {\pi }}\,z}}\left(1-{\frac {1}{2}}{\frac {1}{(z^{2}+1)}}+{\frac {1}{4}}{\frac {1}{(z^{2}+1)(z^{2}+2)}}-\cdots \right)\end{aligned}}} є збіжним при Re ( z 2 ) > 0 {\displaystyle \operatorname {Re} (z^{2})>0} . Тут
Q n = def 1 Γ ( 1 / 2 ) ∫ 0 ∞ τ ( τ − 1 ) ⋯ ( τ − n + 1 ) τ − 1 / 2 e − τ d τ = ∑ k = 0 n ( 1 2 ) k ¯ s ( n , k ) , {\displaystyle Q_{n}{\stackrel {\text{def}}{=}}{\frac {1}{\Gamma (1/2)}}\int _{0}^{\infty }\tau (\tau -1)\cdots (\tau -n+1)\tau ^{-1/2}{\rm {e}}^{-\tau }\,{\rm {d}}\tau =\sum _{k=0}^{n}\left({\frac {1}{2}}\right)^{\bar {k}}s(n,k),} через z n ¯ {\displaystyle z^{\bar {n}}} позначено зростаючий факторіал , а s ( n , k ) {\displaystyle s(n,k)} — число Стірлінга першого роду [10] [11]
erf ( z ) = 2 π ∑ n = 0 ∞ ( − 2 ) n ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n + 1 ) ! z 2 n + 1 {\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-2)^{n}(2n-1)!!}{(2n+1)!}}z^{2n+1}} . З точністю до масштабу і зсуву, функція помилок збігається з функцією розподілу ймовірностей нормального розподілу , що позначається Φ ( x ) {\displaystyle \Phi (x)} :
Φ ( x ) = 1 2 ( 1 + erf x 2 ) {\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {erf} \,{\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\,} . Зворотна функція до Φ {\displaystyle \Phi } , відома як нормальна квантильна функція , іноді позначається probit {\displaystyle \operatorname {probit} } і виражається через нормальну функцію помилок як
probit p = Φ − 1 ( p ) = 2 , erf − 1 ( 2 p − 1 ) {\displaystyle \operatorname {probit} \,p=\Phi ^{-1}(p)={\sqrt {2}},\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1)} . Нормальний інтегральний розподіл частіше застосовується в теорії ймовірності і математичній статистиці, тоді як функція помилок частіше застосовується в інших розділах математики.
Функція помилок є окремим випадком функції Міттаг-Лефлера , а також може бути представлена як вироджена гіпергеометрична функція (функція Куммера ):
erf x = 2 x π 1 F 1 ( 1 2 , 3 2 , − x 2 ) {\displaystyle \operatorname {erf} \,x={\frac {2x}{\sqrt {\pi }}}\,_{1}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},-x^{2}\right)} . Функція помилок виражається також через інтеграл Френеля . У термінах регуляризованої неповної гамма-функції P і неповної гамма-функції
erf x = sign x P ( 1 2 , x 2 ) = sign x π γ ( 1 2 , x 2 ) {\displaystyle \operatorname {erf} \,x=\operatorname {sign} \,x\,P\left({\frac {1}{2}},x^{2}\right)={\operatorname {sign} \,x \over {\sqrt {\pi }}}\gamma \left({\frac {1}{2}},x^{2}\right)} . Графік узагальнених функцій помилок E n ( x ) {\displaystyle E_{n}(x)} : сіра лінія: E 1 ( x ) = ( 1 − e − x ) / π {\displaystyle E_{1}(x)=(1-e^{-x})/{\sqrt {\pi }}} червона лінія: E 2 ( x ) = erf , x {\displaystyle E_{2}(x)=\operatorname {erf} ,x} зелена лінія: E 3 ( x ) {\displaystyle E_{3}(x)} синя лінія: E 4 ( x ) {\displaystyle E_{4}(x)} жовта лінія: E 5 ( x ) {\displaystyle E_{5}(x)} . Також можна розглянути загальніші функції:
E n ( x ) = n ! π ∫ 0 x e − t n , d t = n ! π ∑ p = 0 ∞ ( − 1 ) p x n p + 1 ( n p + 1 ) p ! , . {\displaystyle E_{n}(x)={\frac {n!}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{0}^{x}e^{-t^{n}},\mathrm {d} t={\frac {n!}{\sqrt {\pi }}}\sum _{p=0}^{\infty }(-1)^{p}{\frac {x^{np+1}(np+1)p!}{,}}.} Окремими вартими уваги випадками є:
E 0 ( x ) {\displaystyle E_{0}(x)} — пряма лінія, що проходить через початок координат : E 0 ( x ) = x e π {\displaystyle E_{0}(x)={\frac {x}{e}}{\sqrt {\pi }}} E 2 ( x ) {\displaystyle E_{2}(x)} — функція помилок erf , x {\displaystyle \operatorname {erf} ,x} . Після ділення на n ! {\displaystyle n!} всі E n {\displaystyle E_{n}} з непарними n {\displaystyle n} виглядають схоже (але не ідентично). Всі E n {\displaystyle E_{n}} з парними n {\displaystyle n} теж виглядають схоже, але не ідентично, після ділення на n ! {\displaystyle n!} . Всі узагальнені функції помилок з n > 0 {\displaystyle n>0} виглядають схоже на напівосі x > 0 {\displaystyle x>0} .
На напівосі x > 0 {\displaystyle x>0} всі узагальнені функції можуть бути виражені через гамма-функцію :
E n ( x ) = x ( x n ) − 1 / n Γ ( n ) ( Γ ( 1 n ) − Γ ( 1 n , x n ) ) π , x > 0 {\displaystyle E_{n}(x)={\frac {x\left(x^{n}\right)^{-1/n}\Gamma (n)\left(\Gamma \left({\frac {1}{n}}\right)-\Gamma \left({\frac {1}{n}},x^{n}\right)\right)}{\sqrt {\pi }}},\qquad x>0} Отже, ми можемо виразити функцію помилок через гамма-функцію:
erf x = 1 − Γ ( 1 2 , x 2 ) π {\displaystyle \operatorname {erf} \,x=1-{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}},x^{2}\right)}{\sqrt {\pi }}}} . Ітеровані інтеграли додаткової функції помилок[ ред. | ред. код ] Ітеровані інтеграли додаткової функції помилок визначаються як
i n erfc , z = ∫ z ∞ i n − 1 , erfc , ζ d ζ . {\displaystyle i^{n}\,\operatorname {erfc} ,z=\int \limits _{z}^{\infty }i^{n-1},\operatorname {erfc} ,\zeta \,\mathrm {d} \zeta .\,} Їх можна розкласти в ряд:
i n erfc z = ∑ j = 0 ∞ ( − z ) j 2 n − j j ! Γ ( 1 + n − j 2 ) {\displaystyle i^{n}\,\operatorname {erfc} \,z=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-z)^{j}}{2^{n-j}j!\,\Gamma \left(1+{\frac {n-j}{2}}\right)}}\,} . звідки випливають властивості симетрії
i 2 m erfc ( − z ) = − i 2 m erfc z + ∑ q = 0 m z 2 q 2 2 ( m − q ) − 1 ( 2 q ) ! ( m − q ) ! {\displaystyle i^{2m}\,\operatorname {erfc} \,(-z)=-i^{2m}\,\operatorname {erfc} \,z+\sum _{q=0}^{m}{\frac {z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)!(m-q)!}}} і
i 2 m + 1 erfc ( − z ) = i 2 m + 1 erfc z + ∑ q = 0 m z 2 q + 1 2 2 ( m − q ) − 1 ( 2 q + 1 ) ! ( m − q ) ! {\displaystyle i^{2m+1}\,\operatorname {erfc} \,(-z)=i^{2m+1}\,\operatorname {erfc} \,z+\sum _{q=0}^{m}{\frac {z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)!(m-q)!}}\,} . ↑ Модуль math. Спеціальні функції та константи . bestprog.net/uk (укр.) . 1 листопада 2019. Процитовано 7 жовтня 2023 . ↑ Glaisher, James Whitbread Lee (July 1871). On a class of definite integrals . London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science . 4. 42 (277): 294—302. doi :10.1080/14786447108640568 . Процитовано 6 грудня 2017 . ↑ Glaisher, James Whitbread Lee (September 1871). On a class of definite integrals. Part II . London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science . 4. 42 (279): 421—436. doi :10.1080/14786447108640600 . Процитовано 6 грудня 2017 . ↑ Weisstein, Eric W. Erf . MathWorld . Wolfram. ↑ H. M. Schöpf and P. H. Supancic, "On Bürmann's Theorem and Its Application to Problems of Linear and Nonlinear Heat Transfer and Diffusion, " The Mathematica Journal, 2014. doi:10.3888/tmj.16–11.Schöpf, Supancic ↑ Weisstein, E. W. Bürmann's Theorem . Wolfram MathWorld—A Wolfram Web Resource . ↑ Bergsma, Wicher (2006). On a new correlation coefficient, its orthogonal decomposition and associated tests of independence. arXiv :math/0604627 . ↑ Cuyt, Annie A. M. ; Petersen, Vigdis B.; Verdonk, Brigitte; Waadeland, Haakon; Jones, William B. (2008). Handbook of Continued Fractions for Special Functions . Springer-Verlag. ISBN 978-1-4020-6948-2 . ↑ Ng, Edward W.; Geller, Murray (January 1969). A table of integrals of the Error functions. Journal of Research of the National Bureau of Standards Section B . 73B (1): 1. doi :10.6028/jres.073B.001 . ↑ Schlömilch, Oskar Xavier (1859). Ueber facultätenreihen . Zeitschrift für Mathematik und Physik [de] (нім.) . 4 : 390—415. Процитовано 4 грудня 2017 . ↑ Eq (3) on page 283 of Nielson, Niels (1906). Handbuch der Theorie der Gammafunktion (нім.) . Leipzig: B. G. Teubner. Процитовано 4 грудня 2017 . Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972.