Картина взаємодії (картина Дірака) — спосіб опису квантовомеханічних явищ, проміжний між картиною Шредінгера й картиною Гейзенберга . Така картина закладає залежність від часу й до хвильових функцій, і до операторів.
Для переходу до картини взаємодії необхідно гамільтоніан системи розділити на дві частини:
H ^ = H ^ 0 + V ^ , {\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}},} H ^ 0 {\displaystyle {\hat {H}}_{0}} — гамільтоніан системи без врахування взаємодії між певними її частинами, V ^ {\displaystyle {\hat {V}}} відповідає за опис цієї взаємодії. Часто таке розділення виконують із тих міркувань, що задача з гамільтоніаном H ^ 0 {\displaystyle {\hat {H}}_{0}} розв'язується точно, а V ^ {\displaystyle {\hat {V}}} є малим збуренням . Зокрема, якщо вихідний гамільтоніан H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} явно залежить від часу, то часто залежність від часу переносять на V ^ {\displaystyle {\hat {V}}} , залишаючи H 0 ^ {\displaystyle {\hat {H_{0}}}} незалежним від часу.
Унітарний оператор еволюції U ^ 0 ( t ) {\displaystyle {\hat {U}}_{0}(t)} вводиться таким чином:
| ψ S ( t ) ⟩ = U ^ 0 ( t ) | ψ I ( t ) ⟩ , {\displaystyle |\psi _{S}(t)\rangle ={\hat {U}}_{0}(t)|\psi _{I}(t)\rangle ,} де | ψ S ( t ) ⟩ {\displaystyle |\psi _{S}(t)\rangle } — хвильова функція в картині Шредінгера. Якщо гамільтоніан H 0 ^ {\displaystyle {\hat {H_{0}}}} явно не залежить від часу, то:
U ^ 0 ( t ) = e − i H 0 ^ t ℏ , {\displaystyle {\hat {U}}_{0}(t)=e^{-{\frac {i{\hat {H_{0}}}t}{\hbar }}},} що випливає з рівняння:
i ℏ d U ^ 0 d t = H ^ 0 U ^ 0 . {\displaystyle i\hbar {\frac {d{\hat {U}}_{0}}{dt}}={\hat {H}}_{0}{\hat {U}}_{0}.} Часова залежність закладається до операторів фізичних величин за допомогою оператора еволюції (аналогічно до картини Гейзенберга):
A ^ I ( t ) = U ^ 0 † ( t ) A ^ U ^ 0 ( t ) . {\displaystyle {\hat {A}}_{I}(t)={\hat {U}}_{0}^{\dagger }(t){\hat {A}}{\hat {U}}_{0}(t).} Далі, якщо записати повну похідну від оператора A ^ I ( t ) {\displaystyle {\hat {A}}_{I}(t)} :
d A ^ I ( t ) d t = ∂ A ^ I ( t ) ∂ t + i ℏ H ^ 0 e i H ^ 0 t ℏ A ^ e − i H ^ 0 t ℏ − i ℏ e i H ^ 0 t ℏ A ^ e − i H ^ 0 t ℏ H ^ 0 = ∂ A ^ I ( t ) ∂ t + i ℏ H ^ 0 A ^ I ( t ) − i ℏ A ^ I ( t ) H ^ 0 . {\displaystyle {\frac {d{\hat {A}}_{I}(t)}{dt}}={\frac {\partial {\hat {A}}_{I}(t)}{\partial t}}+{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}_{0}e^{\frac {i{\hat {H}}_{0}t}{\hbar }}{\hat {A}}e^{-{\frac {i{\hat {H}}_{0}t}{\hbar }}}-{\frac {i}{\hbar }}e^{\frac {i{\hat {H}}_{0}t}{\hbar }}{\hat {A}}e^{-{\frac {i{\hat {H}}_{0}t}{\hbar }}}{\hat {H}}_{0}={\frac {\partial {\hat {A}}_{I}(t)}{\partial t}}+{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}_{0}{\hat {A}}_{I}(t)-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {A}}_{I}(t){\hat {H}}_{0}.} Остаточно, якщо записати отриманий вираз через комутатор , маємо рівняння руху для операторів:
i ℏ d A ^ I ( t ) d t = i ℏ ∂ A ^ I ( t ) ∂ t + [ A ^ I ( t ) , H ^ 0 ] . {\displaystyle i\hbar {\frac {d{\hat {A}}_{I}(t)}{dt}}=i\hbar {\frac {\partial {\hat {A}}_{I}(t)}{\partial t}}+[{\hat {A}}_{I}(t),{\hat {H}}_{0}].} Якщо оператор A ^ I {\displaystyle {\hat {A}}_{I}} явно не залежить від часу, рівняння руху має вигляд:
i ℏ d A ^ I d t = [ A ^ I , H ^ 0 ] . {\displaystyle i\hbar {\frac {d{\hat {A}}_{I}}{dt}}=[{\hat {A}}_{I},{\hat {H}}_{0}].} Записавши оператор взаємодії V ^ {\displaystyle {\hat {V}}} у картині взаємодії:
V ^ I ( t ) = U ^ 0 † ( t ) V ^ U ^ 0 ( t ) , {\displaystyle {\hat {V}}_{I}(t)={\hat {U}}_{0}^{\dagger }(t){\hat {V}}{\hat {U}}_{0}(t),} можна отримати рівняння для хвильових функцій:
i ℏ ∂ | ψ I ( t ) ⟩ ∂ t = V ^ I ( t ) | ψ I ( t ) ⟩ . {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial |\psi _{I}(t)\rangle }{\partial t}}={\hat {V}}_{I}(t)|\psi _{I}(t)\rangle .} Зв'язок із картинами Шредінгера й Гейзенберга[ ред. | ред. код ] Картина взаємодії — проміжна між картинами Шредінгера й Гейзенберга. Перехід від картини Шредінгера до картини взаємодії виконується за допомогою оператора еволюції U ^ 0 {\displaystyle {\hat {U}}_{0}} , що задається опорним гамільтоніаном U ^ 0 {\displaystyle {\hat {U}}_{0}} . Перейти від картини взаємодії до картини Гейзенберга можна, ввівши ще один оператор еволюції σ ^ {\displaystyle {\hat {\sigma }}} , який діє наступним чином:
| ψ I ( t ) ⟩ = σ ^ ( t ) | ψ H ⟩ {\displaystyle |\psi _{I}(t)\rangle ={\hat {\sigma }}(t)|\psi _{H}\rangle } і задається рівнянням:
i ℏ d σ ^ ( t ) d t = V ^ I ( t ) σ ^ ( t ) . {\displaystyle i\hbar {\frac {d{\hat {\sigma }}(t)}{dt}}={\hat {V}}_{I}(t){\hat {\sigma }}(t).} Таким чином, можна ввести повний оператор еволюції U ^ ( t ) = U ^ 0 ( t ) σ ^ ( t ) {\displaystyle {\hat {U}}(t)={\hat {U}}_{0}(t){\hat {\sigma }}(t)} , який переводить хвильову функцію з картини Гейзенберга до картини Шредінгера через картину взаємодії:
| ψ S ( t ) ⟩ = U ^ ( t ) | ψ H ⟩ = U ^ 0 ( t ) | ψ I ( t ) ⟩ . {\displaystyle |\psi _{S}(t)\rangle ={\hat {U}}(t)|\psi _{H}\rangle ={\hat {U}}_{0}(t)|\psi _{I}(t)\rangle .} Вакарчук І. О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — : ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с. Мессиа А. Квантовая механика. — : Наука, 1978. — Т. 1. — 480 с.