Ознака д'Аламбера — Вікіпедія

Ознака Д’Аламбера — ознака збіжності числових рядів встановлена Жаном Д’Аламбером в 1768 році:

Зокрема, якщо існує границя

${\displaystyle \rho =\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|,}$

(1)

то ряд, що розглядається, абсолютно збіжний якщо ${\displaystyle \rho <1}$, а якщо ${\displaystyle \rho >1}$ — розбіжний (ознака збіжності Д’Аламбера у граничній формі). Якщо ${\displaystyle \rho =1}$ або границя не існує - тест не дає результату, бо ряди які відповідають таким випадкам можуть бути як збіжні, так і розбіжні.

Ознаку д'Аламбера можна застосувати і в випадках, коли границя ${\displaystyle \rho }$ не існує або дорівнює одиниці, якщо використати верхню і нижню границі. Нехай:

${\displaystyle R=\varlimsup _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}$

${\displaystyle r=\varliminf _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}$.

Тоді:^[1][2]

• якщо R < 1, ряд абсолютно збіжний;
• якщо r > 1, ряд розбіжний;
• якщо ${\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\geq 1}$ для всіх великих n (незалежно від значення r), ряд теж розбіжний тому що ${\displaystyle |a_{n}|}$ ненульове і зрозстаюче, а тому a_n не наближається до нуля;
• інакше результат не визначений.

Якщо границя ${\displaystyle \rho }$ в (1) існує, то ${\displaystyle \rho =R=r}$. Таким чином ознака з верхньою і нижньою границею включає в себе ознаку зі звичайною границею.

1. Ряд

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}}$

абсолютно збіжний для всіх комплексних ${\displaystyle z}$, бо

${\displaystyle \lim \left|{\frac {{z^{n+1}}/{(n+1)!}}{{z^{n}}/{n!}}}\right|=\lim {\frac {|z|}{n+1}}=0,}$

2. Ряд

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }n!\;z^{n}}$

розбігається при всіх ${\displaystyle z\not =0}$, бо

${\displaystyle \lim \left|{\frac {(n+1)!\;z^{n+1}}{n!\;z^{n}}}\right|=\lim |(n+1)z|=\infty .}$

3. Якщо ${\displaystyle \rho =1}$, то ряд може як збігатися, так і розбігатися: обидва ряди

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$     і     ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$

задовольняють цю умову, причому перший ряд розбіжний, а другий збіжний.

Як було видно вище, ознака не визначена коли границя дорівнює 1. Розширення ознаки д'Аламбера іноді дозволяють розібратися з такими випадками.^{[3][4][5][6][7][8][9][10]}

У всіх ознаках нижче, вважаємо що Σa_n це сума додатніх a_n. Такі ознаки можна також застосовувати до будь-яких рядів зі скінченним числом від'ємних членів. Такі ряди можна записати як:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=1}^{N}a_{n}+\sum _{n=N+1}^{\infty }a_{n}}$

де a_N - це від'ємний елемент з найбільшим індексом.

Цей розділ потребує доповнення.

• Радикальна ознака Коші

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
• Ознака Даламбера (теорема) // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 505. — 594 с.
• d'Alembert, J. (1768), Opuscules, т. V, с. 171—183.
• Apostol, Tom M. (1974), Mathematical analysis (вид. 2nd), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-00288-1: §8.14.
• Knopp, Konrad (1956), Infinite Sequences and Series, New York: Dover Publications, Bibcode:1956iss..book.....K, ISBN 978-0-486-60153-3: §3.3, 5.4.
• Rudin, Walter (1976), Principles of Mathematical Analysis (вид. 3rd), New York: McGraw-Hill, Inc., ISBN 978-0-07-054235-8: §3.34.
• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), criterion Bertrand criterion, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), criterion Gauss criterion, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), criterion Kummer criterion, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Watson, G. N.; Whittaker, E. T. (1963), A Course in Modern Analysis (вид. 4th), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-58807-2: §2.36, 2.37.