Число Пелля — Вікіпедія
Число Пелля | |
![]() | |
Названо на честь | Джон Пелл |
---|---|
Формула | |
Підтримується Вікіпроєктом | Вікіпедія:Проєкт:Математика |
Число Пелля — ціле число, що є знаменником у нескінченній послідовності ланцюгових дробів для квадратного кореня з двох. Ця послідовність наближень починається дробами: , тобто перші числа Пелля — 1, 2, 5, 12 і 29. Чисельники тієї самої послідовності наближень є половинами супутних чисел Пелля або числами Пелля — Люка — нескінченої послідовності, що починається з 2, 6, 14, 34 і 82.
Обидві послідовності — числа Пелля і супутні числа Пелля — можуть бути обчислені за допомогою рекурентної формули, схожої на формули для чисел Фібоначчі, і обидві послідовності чисел зростають експоненціально, пропорційно степеню срібного перетину . Крім використання в ланцюговому дробу наближень до квадратного кореня з двох, числа Пелля можна застосувати для пошуку квадратних трикутних чисел і для вирішення деяких комбінаторних задач перерахування.[1]
Послідовність чисел Пелля відома з давніх часів, хоча Леонард Ейлер помилково приписав їх відкриття Джону Пеллю (як і рівняння Пелля). Числа Пелля — Люка названі на честь Едуарда Люка, який вивчав ці послідовності. І числа Пелля, і супутні числа Пелля є окремими випадками послідовностей Люка.
Числа Пелля задаються лінійним рекурентним співвідношенням:
і є окремим випадком послідовності Люка.
Перші кілька чисел Пелля
- 9, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, … (послідовність A000129 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).
Числа Пелля можна виразити формулою
Для великих значень n член домінує в цьому виразі, так що числа Пелля приблизно пропорційні ступені срібного перетину , також як швидкість росту чисел Фібоначчі дорівнює ступені золотого перетину.
Можливо і третє визначення — у вигляді матричної формули
Багато тотожностей можуть бути доведені з цих визначень, наприклад тотожність, аналогічне тотожності Кассіні[ru] для чисел Фібоначчі,
як негайний наслідок матричної формули (підставляючи визначники матриць ліворуч і праворуч).[2]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4b/Pell_octagons.svg/300px-Pell_octagons.svg.png)
Числа Пелля виникли історично з раціональних наближень до квадратного кореня з двох. Якщо два великих цілих x і y дають рішення рівняння Пелля
то їх відношення дає близьке наближення до . Послідовність наближень цього виду
де знаменник кожного дробу — число Пелля, а чисельник дорівнює сумі числа Пелля і його попередника в послідовності. Таким чином, наближення мають вигляд .
Наближення
цього типу було відомо математикам Індії в третьому-четвертому столітті до нашої ери.[3] Грецькі математики п'ятого століття до нашої ери також знали про це наближення.[4] Платон посилається на чисельники як раціональні діаметри.[5] У другому столітті нашої ери Теон Смирнський[ru] використовував терміни сторона і діаметр для опису знаменника і чисельника цієї послідовності.[6]
Ці наближення можуть бути отримані з ланцюгового дробу :
Скінчена частина ланцюгового дробу дає апроксимацію у вигляді чисел Пелля. Наприклад,
Як писав Кнут (1994), факт апроксимації числами Пелля дозволяє використовувати їх для раціонального наближення до правильного восьмикутника з координатами вершин и . Усі вершини цього восьмикутника однаково віддалені від центру і формують майже однакові кути. Водночас точки , и формують восьмикутник, у якого вершини майже однаково віддалені від центру та мають однакові кути.
Простим числом Пелля називається число Пелля, що є також простим. Кілька перших простих чисел Пелля
- 2, 5, 29, 5741, … (послідовність A086383 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)
Як і у випадку з числами Фібоначчі, число Пелля може бути простим тільки якщо n просте.
Є всього три числа Пелля, які є квадратами, кубами та іншими вищими ступенями, — це 0, 1, і 169 = 132. [7]
Попри те, що серед чисел Пелля настільки мало квадратів та інших степенів, вони мають близький зв'язок із квадратними трикутними числами.[8] Ці числа виникають із наступної тотожності:
Ліва частина цієї тотожності дає квадратне число, у той час як права частина дає трикутне число, так що в результаті отримаємо квадратне трикутне число.
Сантана (Santana) і Діац-Барреро (Diaz-Barrero) (2006) довели іншу тотожність, що пов'язує числа Пелля з квадратами. Вони показали, що сума чисел Пелля до завжди є квадратом:
Наприклад, сума чисел Пелля до , , є квадратом числа .
Числа , які утворюють квадратні корені таких сум,
- 1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47321, … (послідовність A002315 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS), відомі як прості числа Ньюмена—Шенкса—Вільямса[ru].
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/74/Pell_right_triangles.svg/300px-Pell_right_triangles.svg.png)
Якщо прямокутний трикутник має сторони a, b, c (по теоремі Піфагора a2+b2=c2), то (a,b,c) відомі як піфагорові трійки. Мартін (Martin) (1875) писав, що числа Пелля можна застосувати для формування піфагорових трійок, в яких a і b відрізняються на одиницю, що відповідає майже рівнобедреному прямокутному трикутнику. Кожна така трійка має вигляд
Послідовність піфагорових трійок, отримана таким способом: (4,3,5), (20,21,29), (120,119,169), (696,697,985), ….
Супутні числа Пелля або числа Пелля — Люка визначаються лінійним рекурентним співвідношенням:
Тобто, перші два числа в послідовності рівні 2, а всі інші формуються як сума подвоєного попереднього числа Пелля—Люка та попереднього до нього, або, що еквівалентно, як сума наступного та попереднього чисел Пелля. Так, супутнім для 82 є число 29, і 82 = 2 · 34 + 14 = 70 + 12.
Супутні числа Пелля утворюють послідовність:
- 2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, … (послідовність A002203 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)
Супутні числа Пелля можна подати формулою:
Усі ці числа парні, кожне з них є подвоєним чисельником у наближенні раціональними числами до .
Наступна таблиця дає декілька перших степенів срібного перетину і пов'язаного з ним .
0 | ||
1 | ||
2 | ||
3 | ||
4 | ||
5 | ||
6 | ||
7 | ||
8 | ||
9 | ||
10 | ||
11 | ||
12 |
Коефіцієнти являють собою половини супутніх чисел Пелля і числа Пелля , є невід'ємними розв'язками рівняння .
Квадратне трикутне число — це число , яке є як трикутним числом так і квадратним. Майже рівнобедрені піфагорові трійки є цілими розв'язками , де .
Наступна таблиця показує розкладання непарних на дві майже однакові половинки, що дає квадратне трикутне число, коли n парне, і майже рівнобедрену піфагорову трійку, коли n непарне.
t | t+1 | s | a | b | c | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | |||
1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | |||
2 | 3 | 2 | 1 | 2 | 1 | |||
3 | 7 | 5 | 3 | 4 | 5 | |||
4 | 17 | 12 | 8 | 9 | 6 | |||
5 | 41 | 29 | 20 | 21 | 29 | |||
6 | 99 | 70 | 49 | 50 | 35 | |||
7 | 239 | 169 | 119 | 120 | 169 | |||
8 | 577 | 408 | 288 | 289 | 204 | |||
9 | 1393 | 985 | 696 | 697 | 985 | |||
10 | 3363 | 2378 | 1681 | 1682 | 1189 | |||
11 | 8119 | 5741 | 4059 | 4060 | 5741 | |||
12 | 19601 | 13860 | 9800 | 9801 | 6930 |
Половини супутніх чисел Пелля і числа Пелля можна отримати декількома еквівалентними шляхами:
Піднесення до степеня:
Звідки випливає:
і
Парні рекурентні відношення:
або, в матричному вигляді:
Таким чином
Різниця і дорівнює , що швидко наближається до нуля.
Таким чином дуже близьке до .
Із цього спостереження випливає, що відношення цілих швидко наближається до у той час як и швидко наближається до .
Оскільки є ірраціональним, неможливо отримати , тобто . Найкраще, що ми можемо отримати, це або або .
Невід'ємними рішеннями є пари з парним n, і рішеннями є пари з n непарним.
Щоб зрозуміти це, зауважимо
так що, починаючи з знак чергується (). Зауважимо тепер, що кожне позитивне рішення можна отримати з рішення з меншим індексом завдяки рівності .
Необхідну рівність еквівалентно , що перетворюється в при підстановці і . Звідси n-м рішенням буде і
Зауважимо, що і взаємно прості, так що можливо тільки тоді, коли вони є сусідніми цілими, одне — квадрат й інше — подвоєний квадрат .
Оскільки ми знаємо всі рішення рівняння, ми отримуємо
і
t | t+1 | s | a | b | c | |||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 0 | ||||||||
1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 1 | 0 | 1 | ||
2 | 3 | 2 | 8 | 9 | 6 | 3 | 4 | 5 | ||
3 | 7 | 5 | 49 | 50 | 35 | 21 | 20 | 29 | ||
4 | 17 | 12 | 288 | 289 | 204 | 119 | 120 | 169 | ||
5 | 41 | 29 | 1681 | 1682 | 1189 | 697 | 696 | 985 | ||
6 | 99 | 70 | 9800 | 9801 | 6930 | 4059 | 4060 | 5741 |
Рівність вірно тільки при , що перетворюється в при підстановці . Тоді n-м рішенням є і
Таблиця вище показує, що з точністю до порядку і дорівнює і , в той час як
- ↑ Наприклад, Селлерс (Sellers) в 2002 році показав, що кількість досконалих паросполучень в декартовому добутку шляхів і графу K4-e може бути обчислена як добуток числа Пелля на відповідне число Фібоначчі
- ↑ Про матричну формулу і її наслідках дивіться Ерколано (Ercolano) (1979), Кілік (Kilic) і Таскі (Tasci) (2005). Інші тотожності для чисел Пелля наведені Хорадамом (Horadam) (1971) і Бікнелл (Bicknell) (1975).
- ↑ Це записано в Shulba Sutras. Дивіться, наприклад, Дутка (Dutka) (1986), який цитував Тібаута (Thibaut) (1875)
- ↑ Дивись Кнорра (Knorr) (1976) з посиланням на п'яте століття, що відповідає твердженням Прокла, що числа відкрили піфагорійці. Повніші дослідження щодо знань давніх греків про ці числа дивись у Томпсона (Thompson) (1929), Ведова (Vedova) (1951), Ріденхоура (Ridenhour) (1986), Кнорра (Knorr) (1998), і Філепа (Filep) (1999).
- ↑ Наприклад, у «Державі» Платона є посилання на «раціональний діаметр пчті», під яким Платон мав на увазі 7, чисельник наближення 7/5.
- ↑ A History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid - Sir Thomas Little Heath - Google Books. Процитовано 28 січня 2013.
- ↑ Pethő (1992); Cohn (1996). Хоча числа Фібоначчі визначаються рекурентними формулами, дуже схожими на формули для чисел Пелля, Кон (Cohn) писав, що аналогічні результати для чисел Фібоначчі набагато складніше довести. Утім, їх довів у 2006 році Бюжо (Bugeaud).
- ↑ Sesskin (1962).
- Bicknell, Marjorie (1975). A primer on the Pell sequence and related sequences. Fibonacci Quarterly. 13 (4): 345—349. MR 0387173.
- Cohn, J. H. E. (1996). Perfect Pell powers. Glasgow Mathematical Journal. 38 (1): 19—20. doi:10.1017/S0017089500031207. MR 1373953.
- Dutka, Jacques (1986). On square roots and their representations. Archive for History of Exact Sciences. 36 (1): 21—39. doi:10.1007/BF00357439. MR 0863340.
- Ercolano, Joseph (1979). Matrix generators of Pell sequences. Fibonacci Quarterly. 17 (1): 71—77. MR 0525602.
- Filep, László (1999). Pythagorean side and diagonal numbers (PDF). Acta Mathematica Academiae Paedagogiace Nyíregyháziensis. 15: 1—7.
- Horadam, A. F. (1971). Pell identities. Fibonacci Quarterly. 9 (3): 245—252, 263. MR 0308029.
- Kilic, Emrah; Tasci, Dursun (2005). The linear algebra of the Pell matrix. Boletín de la Sociedad Matemática Mexicana, Tercera Serie. 11 (2): 163—174. MR 2207722.
- Knorr, Wilbur (1976). Archimedes and the measurement of the circle: A new interpretation. Archive for History of Exact Sciences. 15 (2): 115—140. doi:10.1007/BF00348496. MR 0497462.
- Knorr, Wilbur (1998). "Rational diameters" and the discovery of incommensurability. American Mathematical Monthly. 105 (5): 421—429. doi:10.2307/3109803. JSTOR 3109803.
- Knuth, Donald E. (1994). Leaper graphs. The Mathematical Gazette. 78 (483): 274—297. arXiv:math.CO/9411240. doi:10.2307/3620202. JSTOR 3620202.
- Martin, Artemas (1875). Rational right angled triangles nearly isosceles. The Analyst. 3 (2): 47—50. doi:10.2307/2635906. JSTOR 2635906.
- Pethő, A. (1992). The Pell sequence contains only trivial perfect powers. Sets, graphs, and numbers (Budapest, 1991). Colloq. Math. Soc. János Bolyai, 60, North-Holland. с. 561—568. MR 1218218.
- Ridenhour, J. R. (1986). Ladder approximations of irrational numbers. Mathematics Magazine. 59 (2): 95—105. doi:10.2307/2690427. JSTOR 2690427.
- Santana, S. F.; Diaz-Barrero, J. L. (2006). Some properties of sums involving Pell numbers (PDF). Missouri Journal of Mathematical Sciences. 18 (1). Архів оригіналу (PDF) за 8 травня 2007. Процитовано 25 травня 2015.
- Sellers, James A. (2002). Domino tilings and products of Fibonacci and Pell numbers (PDF). Journal of Integer Sequences. 5. MR 1919941.
- Sesskin, Sam (1962). A "converse" to Fermat's last theorem?. Mathematics Magazine. 35 (4): 215—217. doi:10.2307/2688551. JSTOR 2688551.
- Thibaut, George (1875). On the Súlvasútras. Journal of the Royal Asiatic Society of Bengal. 44: 227—275.
- Thompson, D'Arcy Wentworth (1929). III.—Excess and defect: or the little more and the little less. Mind: New Series. 38 (149): 43—55. JSTOR 2249223.
- Vedova, G. C. (1951). Notes on Theon of Smyrna. American Mathematical Monthly. 58 (10): 675—683. doi:10.2307/2307978. JSTOR 2307978.