Шостий степінь — Вікіпедія
У арифметиці та алгебрі шостий степінь числа n є результатом множення шести екземплярів n разом. Так:
- n6 = n × n × n × n × n × n.
Шостий степінь можна утворити, помноживши число на його п'ятий степінь, помноживши квадрат числа на його четвертий степінь, піднесенням квадрата у куб або піднесенням куба у квадрат.
Послідовність шостих степенів цілих така:
- 0, 1, 64, 729, 4096, 15625, 46656, 117649, 262144, 531441, 1000000, 1771561, 2985984, 4826809, 7529536, 11390625, 16777216, 24137569, 34012224, 47045881, 64000000, 85766121, 113379904, 148035889, 191102976, 244140625, 308915776, 387420489, 481890304, … (послідовність A001014 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)
Шостий степінь цілих чисел можна схарактеризувати як числа, які одночасно є квадратами і кубами.[1] Таким чином, вони аналогічні двом іншим класам фігурних чисел: квадратним трикутним числам, які одночасно є квадратними та трикутними, і розв'язання задачі про гарматні ядра, які одночасно є квадратними та квадратно-пірамідальними.
Через їх зв'язок із квадратами та кубами шостий степінь відіграє важливу роль у вивченні кривої Морделла[en], які є еліптичною кривою виду
Коли ділиться на шостий степінь, це рівняння можна зменшити, поділивши на цей степінь, щоб отримати простіше рівняння такого ж вигляду. Добре відомий результат у теорії чисел, доведений Рудольфом Футером[en] і Луїсом Морделлом[en] стверджує, що коли це ціле число, яке не ділиться на шостий степінь (крім виняткових випадків і ), це рівняння не має раціональних розв'язків з і відмінними від нуля або їх нескінченна кількість.[2]
У архаїчній нотації[en] Роберта Рекорда шостий степінь числа називався «zenzicube», що означає квадрат куба. Аналогічне позначення шостих степеней, використане в 12 столітті індійським математиком[en] Бхаскара II, також називало їх або квадратом куба, або кубом квадрата.[3]
Відомі численні приклади шостого степеня, які можна виразити як суму семи інших шостих степенів, але поки невідомо жодного прикладу шостого степеня, вираженого як сума лише шести шостих степенів.[4] Це робить його унікальним серед степенів з показником k = 1, 2, … , 8, інші з яких можуть бути виражені як сума k інших k-го степеня, і деякі з яких (порушуючи гіпотезу Ейлера) можуть бути виражені як сума ще меншої кількості k-их степенів.
У зв'язку з проблемою Воринга, кожне досить велике ціле число можна представити як суму щонайбільше 24 шостих степенів цілих чисел.[5]
Існує нескінченно багато різних нетривіальних рішень діофантового рівняння[6]
Не доведено чи рівняння
має нетривіальне рішення,[7] але гіпотеза Ландера, Паркіна та Селфріджа[en] означала б, що це не так.
- ↑ Dowden, Richard (30 квітня 1825), (untitled), Mechanics' Magazine and Journal of Science, Arts, and Manufactures, Knight and Lacey, т. 4, № 88, с. 54
- ↑ Ireland, Kenneth F.; Rosen, Michael I. (1982), A classical introduction to modern number theory, Graduate Texts in Mathematics, т. 84, Springer-Verlag, New York-Berlin, с. 289, ISBN 0-387-90625-8, MR 0661047.
- ↑ Cajori, Florian (2013), A History of Mathematical Notations, Dover Books on Mathematics, Courier Corporation, с. 80, ISBN 9780486161167
- ↑ Quoted in Meyrignac, Jean-Charles (14 лютого 2001). Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers: Best Known Solutions. Процитовано 17 липня 2017.
- ↑ Vaughan, R. C.; Wooley, T. D. (1994), Further improvements in Waring's problem. II. Sixth powers, Duke Mathematical Journal, 76 (3): 683—710, doi:10.1215/S0012-7094-94-07626-6, MR 1309326
- ↑ Brudno, Simcha (1976), Triples of sixth powers with equal sums, Mathematics of Computation, 30 (135): 646—648, doi:10.1090/s0025-5718-1976-0406923-6, MR 0406923
- ↑ Bremner, Andrew; Guy, Richard K. (1988), Unsolved Problems: A Dozen Difficult Diophantine Dilemmas, American Mathematical Monthly, 95 (1): 31—36, doi:10.2307/2323442, JSTOR 2323442, MR 1541235
- Weisstein, Eric W. Diophantine Equation—6th Powers(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.