八元数 (英語:Octonion )是以實數構建的8維度賦範可除代數 ,為四元数 非结合 推广的超複數 ,通常记为O 或 O {\displaystyle \mathbb {O} } 。八元數的8個維度可以視為2個4維度之四元數 的組合。八元數不具備結合律 和交換律 ,但具備交错代数 的特性,並保有冪結合性 。
也许是因为八元数的乘法不具備结合性,因此它们作為超複數 而言受關注的程度較四元数低。尽管如此,八元数仍然与数学中的一些例外结构有关,其中包括例外李群。此外,八元数在诸如弦理论 、狭义相对论 和量子逻辑 中也有应用。
八元數第一次被描述於1843年,於一封约翰·格雷夫斯 給威廉·盧雲·哈密頓 的信中。格雷夫斯稱其為「octaves」。[1] :168 後來八元數由阿瑟·凯莱 在1845年獨自發表。[2] 格雷夫斯發表結果的時間點比阿瑟·凯莱 發表的時間稍晚一些[3] 。阿瑟·凯莱發表的八元數和约翰·格雷夫斯給威廉·盧雲·哈密頓的信中所提及的並無關係。阿瑟·凯莱是獨自發現八元數的,[2] 因此八元數又被稱為凯莱數 或凯莱代數 。哈密頓則描述了八元數被發現並描述的早期歷史。[4]
八元数可以视为实数 的八元组。八元数有多種構造方式。以凯莱-迪克森结构 為例,八元数可以表達為2個四元數 P 與Q 的組合,即 P +Q l 或 p 0 + p 1 i + p 2 j + p 3 k + ( q 0 + q 1 i + q 2 j + q 3 k ) l {\displaystyle p_{0}+p_{1}i+p_{2}j+p_{3}k+\left(q_{0}+q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k\right)l\,} ,其中,量l 為其中一個八元数單位並滿足:[5]
i 2 = j 2 = k 2 = l 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=l^{2}=-1\,} 在這種定義下每一个八元数都是单位八元数 {1, i , j , k , l , il , jl , kl } 的线性组合 。也就是说,每一个八元数x 都可以写成[6]
x = x 0 + x 1 i + x 2 j + x 3 k + x 4 l + x 5 i l + x 6 j l + x 7 k l {\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,l+x_{5}\,il+x_{6}\,jl+x_{7}\,kl} 其中系数x a 是实数。 這些八元数單位亦滿足:[5]
i 2 = j 2 = k 2 = l 2 = ( i l ) 2 = ( j l ) 2 = ( k l ) 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=l^{2}=(il)^{2}=(jl)^{2}=(kl)^{2}=-1\,} 八元数的加法是把对应的系数相加,就像复数 和四元数 一样。根据线性,八元数的乘法完全由以下单位八元数的乘法表 来决定。[6]
× {\displaystyle \times } 1 {\displaystyle 1} i {\displaystyle i} j {\displaystyle j} k {\displaystyle k} l {\displaystyle l} i l {\displaystyle il} j l {\displaystyle jl} k l {\displaystyle kl} 1 {\displaystyle 1} 1 {\displaystyle 1} i {\displaystyle i} j {\displaystyle j} k {\displaystyle k} l {\displaystyle l} i l {\displaystyle il} j l {\displaystyle jl} k l {\displaystyle kl} i {\displaystyle i} i {\displaystyle i} − 1 {\displaystyle -1} k {\displaystyle k} − j {\displaystyle -j} i l {\displaystyle il} − l {\displaystyle -l} − k l {\displaystyle -kl} j l {\displaystyle jl} j {\displaystyle j} j {\displaystyle j} − k {\displaystyle -k} − 1 {\displaystyle -1} i {\displaystyle i} j l {\displaystyle jl} k l {\displaystyle kl} − l {\displaystyle -l} − i l {\displaystyle -il} k {\displaystyle k} k {\displaystyle k} j {\displaystyle j} − i {\displaystyle -i} − 1 {\displaystyle -1} k l {\displaystyle kl} − j l {\displaystyle -jl} i l {\displaystyle il} − l {\displaystyle -l} l {\displaystyle l} l {\displaystyle l} − i l {\displaystyle -il} − j l {\displaystyle -jl} − k l {\displaystyle -kl} − 1 {\displaystyle -1} i {\displaystyle i} j {\displaystyle j} k {\displaystyle k} i l {\displaystyle il} i l {\displaystyle il} l {\displaystyle l} − k l {\displaystyle -kl} j l {\displaystyle jl} − i {\displaystyle -i} − 1 {\displaystyle -1} − k {\displaystyle -k} j {\displaystyle j} j l {\displaystyle jl} j l {\displaystyle jl} k l {\displaystyle kl} l {\displaystyle l} − i l {\displaystyle -il} − j {\displaystyle -j} k {\displaystyle k} − 1 {\displaystyle -1} − i {\displaystyle -i} k l {\displaystyle kl} k l {\displaystyle kl} − j l {\displaystyle -jl} i l {\displaystyle il} l {\displaystyle l} − k {\displaystyle -k} − j {\displaystyle -j} i {\displaystyle i} − 1 {\displaystyle -1}
一些不同的定義方式會將八元數的單位元素表達為e a 的線性組合,其中 a =0, 1,..., 7 :[7]
{ e 0 , e 1 , e 2 , e 3 , e 4 , e 5 , e 6 , e 7 } , {\displaystyle \{e_{0},e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5},e_{6},e_{7}\},} 當中的 e 0 {\displaystyle e_{0}} 為實數單位。每個八元數單位元素皆不相等,而其平方為實數。也就是說,每個八元數 x 都可以寫成以下形式[8] :
x = x 0 e 0 + x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 + x 4 e 4 + x 5 e 5 + x 6 e 6 + x 7 e 7 , {\displaystyle x=x_{0}e_{0}+x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}+x_{4}e_{4}+x_{5}e_{5}+x_{6}e_{6}+x_{7}e_{7},\,} [9] :5 其中xi 為單位元素ei 的係數,且必為實數。八元數的加法和減法是通過加減相應的項以及它們的係數來完成的,與四元數 的加減法類似。 乘法則較為複雜。 八元數的乘法是對加法的分配,所以兩個八元數的乘積可以通過對所有項的乘積求和來計算,再次如同四元數一般。 每對項的乘積可以通過係數的乘積和單位八元數的乘法表給出[7] ,其乘法表的結構與{1, i , j , k , l , il , jl , kl } 的模式( p 0 + p 1 i + p 2 j + p 3 k + ( q 0 + q 1 i + q 2 j + q 3 k ) l {\displaystyle p_{0}+p_{1}i+p_{2}j+p_{3}k+\left(q_{0}+q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k\right)l\,} )類似。這個乘法表先後由Graves於1843年和Cayley於1845年描述:[10]
e i e j {\displaystyle e_{i}e_{j}} [11] e j {\displaystyle e_{j}} e 0 {\displaystyle e_{0}} e 1 {\displaystyle e_{1}} e 2 {\displaystyle e_{2}} e 3 {\displaystyle e_{3}} e 4 {\displaystyle e_{4}} e 5 {\displaystyle e_{5}} e 6 {\displaystyle e_{6}} e 7 {\displaystyle e_{7}} e i {\displaystyle e_{i}} e 0 {\displaystyle e_{0}} e 0 {\displaystyle e_{0}} e 1 {\displaystyle e_{1}} e 2 {\displaystyle e_{2}} e 3 {\displaystyle e_{3}} e 4 {\displaystyle e_{4}} e 5 {\displaystyle e_{5}} e 6 {\displaystyle e_{6}} e 7 {\displaystyle e_{7}} e 1 {\displaystyle e_{1}} e 1 {\displaystyle e_{1}} − e 0 {\displaystyle -e_{0}} e 3 {\displaystyle e_{3}} − e 2 {\displaystyle -e_{2}} e 5 {\displaystyle e_{5}} − e 4 {\displaystyle -e_{4}} − e 7 {\displaystyle -e_{7}} e 6 {\displaystyle e_{6}} e 2 {\displaystyle e_{2}} e 2 {\displaystyle e_{2}} − e 3 {\displaystyle -e_{3}} − e 0 {\displaystyle -e_{0}} e 1 {\displaystyle e_{1}} e 6 {\displaystyle e_{6}} e 7 {\displaystyle e_{7}} − e 4 {\displaystyle -e_{4}} − e 5 {\displaystyle -e_{5}} e 3 {\displaystyle e_{3}} e 3 {\displaystyle e_{3}} e 2 {\displaystyle e_{2}} − e 1 {\displaystyle -e_{1}} − e 0 {\displaystyle -e_{0}} e 7 {\displaystyle e_{7}} − e 6 {\displaystyle -e_{6}} e 5 {\displaystyle e_{5}} − e 4 {\displaystyle -e_{4}} e 4 {\displaystyle e_{4}} e 4 {\displaystyle e_{4}} − e 5 {\displaystyle -e_{5}} − e 6 {\displaystyle -e_{6}} − e 7 {\displaystyle -e_{7}} − e 0 {\displaystyle -e_{0}} e 1 {\displaystyle e_{1}} e 2 {\displaystyle e_{2}} e 3 {\displaystyle e_{3}} e 5 {\displaystyle e_{5}} e 5 {\displaystyle e_{5}} e 4 {\displaystyle e_{4}} − e 7 {\displaystyle -e_{7}} e 6 {\displaystyle e_{6}} − e 1 {\displaystyle -e_{1}} − e 0 {\displaystyle -e_{0}} − e 3 {\displaystyle -e_{3}} e 2 {\displaystyle e_{2}} e 6 {\displaystyle e_{6}} e 6 {\displaystyle e_{6}} e 7 {\displaystyle e_{7}} e 4 {\displaystyle e_{4}} − e 5 {\displaystyle -e_{5}} − e 2 {\displaystyle -e_{2}} e 3 {\displaystyle e_{3}} − e 0 {\displaystyle -e_{0}} − e 1 {\displaystyle -e_{1}} e 7 {\displaystyle e_{7}} e 7 {\displaystyle e_{7}} − e 6 {\displaystyle -e_{6}} e 5 {\displaystyle e_{5}} e 4 {\displaystyle e_{4}} − e 3 {\displaystyle -e_{3}} − e 2 {\displaystyle -e_{2}} e 1 {\displaystyle e_{1}} − e 0 {\displaystyle -e_{0}}
除了主對角線上以及 e 0 {\displaystyle e_{0}} 作為操作數的行和列的元素之外,乘法表中的大多數非對角元素都是反對稱的,這使得這個乘法表幾乎是一個斜對稱矩陣。
該表可總結如下:[12]
e i e j = { e j , if i = 0 e i , if j = 0 − δ i j e 0 + ε i j k e k , otherwise {\displaystyle e_{i}e_{j}={\begin{cases}e_{j},&{\text{if }}i=0\\e_{i},&{\text{if }}j=0\\-\delta _{ij}e_{0}+\varepsilon _{ijk}e_{k},&{\text{otherwise}}\end{cases}}} 其中δij 為克罗内克δ函数 (當且僅當i = j 時為1)、 εijk 為完全反對稱張量 ,且當ijk = 123, 145, 176, 246, 257, 347, 365 時,值為1。[9]
然而,上述定義並不是唯一的。這些定義只是 e 0 = 1 {\displaystyle e_{0}=1} 八元數乘法的480個可能定義之一。其他的八元數乘法定義可以透過置換和改變非標量基元素 { e 0 , e 1 , e 2 , e 3 , e 4 , e 5 , e 6 , e 7 } , {\displaystyle \{e_{0},e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5},e_{6},e_{7}\},} 的符號來獲得。[13] 這480個不同乘法定義對應的代數結構是同構的,很少需要考慮使用哪個特定的乘法規則。
這480個八元數乘法定義中,每一定義的正負號在7循環(1234567)下的特定點上都是不變的,並且對於每個7循環有四個定義,它們的區別在於正負號和順序的反轉。 一個常見的選擇是使用 e 1 e 2 = e 4 的7循環(1234567)下的定義不變量 — 通過使用三角乘法圖或下面的 法诺平面,該平面還顯示了基於124的7循環三元組及其相關乘法的排序列表e n 和 i j k l {\displaystyle ijkl} 格式的矩陣。[14]
此外,亦有一些文獻會將八元數的單位定義為 1 , i , j , k , L , m , n , o {\displaystyle 1,i,j,k,L,m,n,o} 。[15]
凯莱-迪克松构造 [ 编辑 ] 一个更加系统的定义八元数的方法,是通过凯莱-迪克松构造 。就像四元数可以用一对复数来定义一样,八元数可以用一对四元数来定义。两对四元数 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 和 ( c , d ) {\displaystyle (c,d)} 的乘积定义为:[8] :153
( a , b ) ( c , d ) = ( a c − d ∗ b , d a + b c ∗ ) {\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})} 其中 z ∗ {\displaystyle z^{*}} 表示四元数 z {\displaystyle z} 的共轭。这个定义与上面给出的定义是等价的。[16]
法诺平面记忆 [ 编辑 ] 八元数的乘积的简单记忆。 一个用来记忆八元数的乘积的方便办法,由右面的图给出。这个图中有七个点和七条直线(经过i 、j 和k 的圆也視為一条直线),称为法诺平面 。[17] 这些直线是有向的。七个点对应于Im( O {\displaystyle \mathbb {O} } ) 的七个标准基元素。每一对不同的点位于唯一的一条直线上,而每一条直线正好通过三个点。[18]
设(a , b , c ) 为位于一条给定的直线上的三个有序点,其顺序由箭头的方向指定。那么,乘法由下式给出:[18]
ab = c ,ba = −c 以及它们的循环置换 。这些规则[18]
1是乘法单位元, 对于图中的每一个点,都有 e 2 = − 1 {\displaystyle e^{2}=-1} 完全定义了八元数的乘法结构。七条直线的每一条都生成了 O {\displaystyle \mathbb {O} } 的一个子代数,与四元数 H {\displaystyle \mathbb {H} } 同构。[8] :151-152
共轭、範数和逆元素 [ 编辑 ] 八元数
x = x 0 + x 1 i + x 2 j + x 3 k + x 4 l + x 5 i l + x 6 j l + x 7 k l {\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,l+x_{5}\,il+x_{6}\,jl+x_{7}\,kl} 的共轭为:
x ∗ = x 0 − x 1 i − x 2 j − x 3 k − x 4 l − x 5 i l − x 6 j l − x 7 k l . {\displaystyle x^{*}=x_{0}-x_{1}\,i-x_{2}\,j-x_{3}\,k-x_{4}\,l-x_{5}\,il-x_{6}\,jl-x_{7}\,kl.} 當中除了實數項外,其餘項正負號皆相反 。因此若將八元數單位表達為{e 1 , e 2 ... e 7 } ,則八元数的共轭可以簡化表示為:[9] :6
x ∗ = x ¯ = x 0 e 0 − x i e i , i = 1 , 2 ⋯ 7 {\displaystyle x^{*}={\overline {x}}=x_{0}e_{0}-x_{i}e_{i},\ i=1,2\cdots 7} 共轭是 O {\displaystyle \mathbb {O} } 的一个对合 ,满足 ( x y ) ∗ = y ∗ x ∗ {\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}} (注意次序的变化)。[16]
x 的实数部分定义为 R e ( x ) = x + x ∗ 2 = x 0 {\displaystyle \mathrm {Re} \left(x\right)={\tfrac {x+x^{*}}{2}}=x_{0}} ,虚数部分定义为 I m ( x ) = x − x ∗ 2 {\displaystyle \mathrm {Im} \left(x\right)={\tfrac {x-x^{*}}{2}}} 。[16] 所有纯虚的八元数生成了 O {\displaystyle \mathbb {O} } 的一个七维子空间,记为Im( O {\displaystyle \mathbb {O} } ) 。[8] :186
八元数x 的範数 可用與自身共軛的積 ‖ x ‖ 2 = x ∗ x {\displaystyle \|x\|^{2}=x^{*}x} 來定義[16] :
‖ x ‖ = x ∗ x {\displaystyle \|x\|={\sqrt {x^{*}x}}} 在这里,平方根 是定义良好的,因为 x ∗ x = x x ∗ {\displaystyle x^{*}x=xx^{*}} 总是非负实数:[註 1]
‖ x ‖ 2 = x ∗ x = x 0 2 + x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + x 4 2 + x 5 2 + x 6 2 + x 7 2 {\displaystyle \|x\|^{2}=x^{*}x=x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}} 这个範数与 R 8 {\displaystyle \mathbb {R} ^{8}} 上的标准欧几里得範数 是一致的。
O {\displaystyle \mathbb {O} } 上範数的存在,意味着 O {\displaystyle \mathbb {O} } 的所有非零元素都存在逆元素 。x ≠ 0 的逆元素为:[16] [9] :6
x − 1 = x ∗ ‖ x ‖ 2 {\displaystyle x^{-1}={\frac {x^{*}}{\|x\|^{2}}}} 它满足 x x − 1 = x − 1 x = 1 {\displaystyle xx^{-1}=x^{-1}x=1} 。
八元数的乘法既不是交换 的:[9] :6
i j = − j i ≠ j i {\displaystyle ij=-ji\neq ji\,} 也不是结合 的:[5] :41
( i j ) l = − i ( j l ) ≠ i ( j l ) {\displaystyle (ij)l=-i(jl)\neq i(jl)\,} 然而,八元数确实满足结合性的一个较弱形式──交错性 [9] :2 。这就是说,由任何两个元素所生成的子代数 是结合的。[9] :3 实际上,我们可以证明,由 O {\displaystyle \mathbb {O} } 的任何两个元素所生成的子代数都与 R {\displaystyle \mathbb {R} } 、 C {\displaystyle \mathbb {C} } 或 H {\displaystyle \mathbb {H} } 同构,它们都是结合的。由于八元数不满足结合性,因此它们没有矩阵的表示法,与四元数 不一样。[9]
八元数确实保留了 R {\displaystyle \mathbb {R} } 、 C {\displaystyle \mathbb {C} } 和 H {\displaystyle \mathbb {H} } 共同拥有的一个重要的性质: O {\displaystyle \mathbb {O} } 上的範数满足
‖ x y ‖ = ‖ x ‖ ‖ y ‖ {\displaystyle \|xy\|=\|x\|\|y\|} 这意味着八元数形成了一个非结合的赋範可除代数 。所有由凯莱-迪克松构造 所定义的更高维代数都不满足这个性质,因為它们都存在零因子 。[19]
这样,实数域上唯一的赋範可除代数是 R {\displaystyle \mathbb {R} } 、 C {\displaystyle \mathbb {C} } 、 H {\displaystyle \mathbb {H} } 和 O {\displaystyle \mathbb {O} } 。这四个代数也形成了实数域上唯一的交错的、有限维的可除代数 。[8] :155
由于八元数不是结合的,因此 O {\displaystyle \mathbb {O} } 的非零元素不形成一个群。然而,它们形成一个拟群 。
自同构 [ 编辑 ] 八元数的自同构 A ,是 O {\displaystyle \mathbb {O} } 的可逆线性变换 ,满足:
A ( x y ) = A ( x ) A ( y ) . {\displaystyle A(xy)=A(x)A(y).\,} O {\displaystyle \mathbb {O} } 的所有自同构的集合组成了一个群 ,称为G 2 。[21] [9] 群G 2 是一个单连通 、紧致 、14维的实李群 。[22] 这个群是例外李群 中最小的一个。[23]
^ 在範数可良好定義的前提下, x + x ∗ 2 ∈ R {\displaystyle {\frac {x+x^{*}}{2}}\in \mathbb {R} } ,且 x ∗ x > 0 {\displaystyle x^{*}x>0} [16] ,因此可以得到 x ∗ x = x x ∗ {\displaystyle x^{*}x=xx^{*}} 总是非负实数的結論。 参考文献 [ 编辑 ] ^ Sabadini, I. and Shapiro, M. and Sommen, F. Hypercomplex Analysis . Trends in Mathematics. Birkhäuser Basel. 2009 [2022-04-27 ] . ISBN 9783764398934 . LCCN 2008942605 . (原始内容 存档于2021-10-26). ^ 2.0 2.1 Cayley, Arthur, On Jacobi's elliptic functions, in reply to the Rev.; and on quaternions , Philosophical Magazine , 1845, 26 : 208–211 [2022-04-22 ] , doi:10.1080/14786444508645107 , (原始内容 存档于2022-04-22) . Appendix reprinted in The Collected Mathematical Papers , Johnson Reprint Co., New York, 1963, p. 127 ^ Graves, On a Connection between the General Theory of Normal Couples and the Theory of Complete Quadratic Functions of Two Variables , Phil. Mag., 1845, 26 : 315–320 [2022-04-22 ] , doi:10.1080/14786444508645136 , (原始内容 存档于2015-04-04) ^ Hamilton , Note, by Sir W. R. Hamilton, respecting the researches of John T. Graves, Esq. , Transactions of the Royal Irish Academy, 1848, 21 : 338–341 ^ 5.0 5.1 5.2 S. V. Ludkovsky. Meta-Invariant Operators over Cayley-Dickson Algebras and Spectra . Advances in Pure Mathematics. 2013, 03 (01): 41–69 [2022-04-22 ] . ISSN 2160-0368 . doi:10.4236/apm.2013.31008 . (原始内容 存档于2022-04-27). ^ 6.0 6.1 State Enterprise National Power Company “UkrEnergo”, S.I. Klipkov. Some Features of the Matrix Representations of the Octonions . Èlektronnoe modelirovanie. 2019-08-08, 41 (4): 19–34 [2022-04-22 ] . doi:10.15407/emodel.41.04.019 . (原始内容 存档于2022-04-22). ^ 7.0 7.1 Baez, John C. The Octonions.[8] p. 150 ^ 8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 Baez, John C. The Octonions . Bulletin of the American Mathematical Society. 2002, 39 (2): 145–205 [2022-04-20 ] . ISSN 0273-0979 . MR 1886087 . S2CID 586512 . arXiv:math/0105155 . doi:10.1090/S0273-0979-01-00934-X . (原始内容 存档于2008-10-09). ^ 9.0 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 A.K.Waldron, G.C.Joshi. Gauging octonion algebra . arXiv preprint hep-th/9211123. 1992 [2022-04-26 ] . arXiv:hep-th/9211123v1 . doi:10.48550/arXiv.hep-th/9211123 . (原始内容 存档于2022-04-22) (英语) . 論文全文 (PDF) . [2022-04-27 ] . (原始内容 (PDF) 存档于2019-10-17). ^ G Gentili; C Stoppato; DC Struppa; F Vlacci, Recent developments for regular functions of a hypercomplex variable , Irene Sabadini ; M Shapiro; F Sommen (编), Hypercomplex analysis, Birkhäuser: 168, 2009 [2022-04-20 ] , ISBN 978-3-7643-9892-7 , (原始内容 存档于2016-12-04) ^ John Baez. Constructing the Octonions . math.ucr.edu. 2001 [2022-04-22 ] . (原始内容 存档于2022-01-13). ^ L. V. Sabinin; L. Sbitneva; I. P. Shestakov, §17.2 Octonion algebra and its regular bimodule representation , Non-associative algebra and its applications, CRC Press: 235, 2006 [2022-04-20 ] , ISBN 0-8247-2669-3 , (原始内容 存档于2016-12-04) ^ 480 varieties of octonion multiplication . tamivox.org. 2015-12-08 [2022-04-22 ] . (原始内容 存档于2021-05-16). ^ J. Gregory Moxness. The Comprehensive Split Octonions and their Fano Planes. viXra. 2015. ^ 穆大禄. 三十二元數乘法表 . 信陽師范學院學報(自然科學版). 2017年4月, 第30卷 (第2期) [2022-04-26 ] . doi:10.3969/j.issn.1003-0972.2017.02.001 . (原始内容 存档于2022-04-27) (中文(简体)) . 論文全文 (PDF) . [2022-04-27 ] . (原始内容 (PDF) 存档于2022-04-27). ^ 16.0 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 Baez, John C. The Octonions.[8] p. 154 ^ John Baez. The Fano plane . math.ucr.edu. 2001 [2022-04-22 ] . (原始内容 存档于2022-01-13). ^ 18.0 18.1 18.2 Baez, John C. The Octonions.[8] p. 152 ^ Schafer, Richard D., An introduction to non-associative algebras , Dover Publications , 1995 [1966], ISBN 0-486-68813-5 , Zbl 0145.25601 ^ Conway, John Horton ; Smith, Derek A., On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry, A. K. Peters, Ltd., 2003, ISBN 1-56881-134-9 . (Review . (原始内容 存档于2016-09-10). ) ^ Conway & Smith 2003,[20] Chapter 8.6 ^ Agricola, Ilka. Old and new on the exceptional group G 2 (PDF) . Notices of the American Mathematical Society. 2008, 55 (8): 922–929 [2022-04-22 ] . MR 2441524 . (原始内容 (PDF) 存档于2022-01-15). ^ Adams, J. Frank, Lectures on exceptional Lie groups , Chicago Lectures in Mathematics, University of Chicago Press , 1996, ISBN 978-0-226-00526-3 , MR 1428422 延伸閱讀 [ 编辑 ] Baez, John , The Octonions , Bull. Amer. Math. Soc., 2002, 39 : 145–205 [2008-12-01 ] , (原始内容存档 于2008-12-09) . Online HTML version at math.ucr.edu . (原始内容 存档于2008-10-09). Conway, John Horton ; Smith, Derek A., On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry, A. K. Peters, Ltd., 2003, ISBN 1-56881-134-9 . (Review . (原始内容 存档于2016-09-10). ) 可數集 自然数 ( N {\displaystyle \mathbb {N} } ) 整数 ( Z {\displaystyle \mathbb {Z} } ) 有理数 ( Q {\displaystyle \mathbb {Q} } ) 規矩數 代數數 ( A {\displaystyle \mathbb {A} } ) 周期 可計算數 可定义数 高斯整數 ( Z [ i ] {\displaystyle \mathbb {Z} [i]} ) 艾森斯坦整数 合成代數 可除代數 :实数 ( R {\displaystyle \mathbb {R} } ) 複數 ( C {\displaystyle \mathbb {C} } ) 四元數 ( H {\displaystyle \mathbb {H} } ) 八元数 ( O {\displaystyle \mathbb {O} } ) 凯莱-迪克森结构 实数 ( R {\displaystyle \mathbb {R} } ) 複數 ( C {\displaystyle \mathbb {C} } ) 四元數 ( H {\displaystyle \mathbb {H} } ) 八元数 ( O {\displaystyle \mathbb {O} } ) 十六元數 ( S {\displaystyle \mathbb {S} } ) 三十二元數 六十四元數 一百二十八元數 二百五十六元數…… 分裂 形式 其他超複數 其他系統