超複數 是複數 在抽象代數中的引申，通常是實數 域 上某個有限維的單位 代數 的元素。19世紀後期對超複數的研究，成為現代群表示論 的根基。 此種代數舉例如下：
19世紀，實數系 和複數系 之外的若干數系 ，如四元數系 、雙複數系 、分裂四元數系 、複四元數系 、八元數系 ，成為數學文獻中完善的概念。超複數是涵蓋該些數系的概念，吸引學者研究和分類。
分類工作始於本傑明·皮爾士 的1872年文章〈線性結合代數〉[ 1] 查爾斯·桑德斯·皮爾士 接續。重要的是，二人認定冪零元 和冪等元 皆對分類有用。凱萊－迪克森構造 利用對合 ，從實數系開始，生成複數系、四元數系、八元數系。赫維茲 和弗羅貝尼烏斯 證明超複數的若干限制：赫維茲定理 斷言有限維的實複合代數 R {\displaystyle \mathbb {R} } C {\displaystyle \mathbb {C} } H {\displaystyle \mathbb {H} } O {\displaystyle \mathbb {O} } 弗羅貝尼烏斯定理 結合除代數 R {\displaystyle \mathbb {R} } C {\displaystyle \mathbb {C} } H {\displaystyle \mathbb {H} } 弗蘭克·亞當斯 H -空間（有具單位元的連續 乘法的拓撲空間 ）的霍普夫不變量 ，發表推廣的結果，該結果仍將維數限制在1、2、4、8。[ 2]
矩陣代數 對研究超複數系幫助很大。首先，矩陣提供新的超複數系，例如 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} 分裂四元數 ）。很快，矩陣方法解明其他超複數系，因為該些超複數系也可以用矩陣及其運算表示 。1907年，約瑟夫·韋德伯恩 證明，滿足結合律的超複數系可表示為方陣 代數或其直積 。[ 3] [ 註 1] 結合代數 成為較常用來稱呼超複數系的術語，例如韋德伯恩在愛丁堡大學 的學位論文標題便用了此術語。然而，也有不可結合的數系，例如八元數系和雙曲四元數系
湯馬士·霍金斯（Thomas Hawkins）[ 4] 李群 和群表示論 的踏腳石。例如，1929年，埃米·諾特 發表〈超複量與表示論〉[ 5] 以賽亞·坎托爾 [ 6] [ 7]
凱倫·帕歇爾 [ 8] 特奧多爾·莫林 [ 9] 愛德華·斯圖迪 [ 10] 近世代數 的過渡，巴爾特·倫德特·范德瓦爾登 [ 11]
Kantor & Solodovnikov (1989) harvtxt模板錯誤: 多個指向目標 (2個): CITEREFKantorSolodovnikov1989 (幫助 ) 定義超複數 為實域上某個有限維代數的元素，而該代數要有單位 ，但無需可結合 或可交換 。[ 12] 基 { 1 , i 1 , … , i n } {\displaystyle \{1,i_{1},\dots ,i_{n}\}} ( a 0 , … , a n ) {\displaystyle (a_{0},\dots ,a_{n})} n + 1 {\displaystyle n+1} 正規化 ，即選取 i k {\displaystyle i_{k}} i k 2 ∈ { − 1 , 0 , + 1 } {\displaystyle i_{k}^{2}\in \{-1,0,+1\}} 維 超複數（即 n = 1 {\displaystyle n=1}
關於二維實代數有以下定理：[ 6] :14,15 [ 13] [ 14] 複數系 、雙曲複數系 、二元數系 。於是，實域上的所有二維單位代數皆可結合和可交換。
下段簡述定理的證明。
因為給定的代數是二維，可選一組基 { 1 , u } {\displaystyle \{1,u\}} 封閉 ， u {\displaystyle u}
u 2 = a 0 + a 1 u , {\displaystyle u^{2}=a_{0}+a_{1}u,} 其中 a 0 , a 1 {\displaystyle a_{0},a_{1}}
運用常見的配方法 ，兩邊減走 a 1 u {\displaystyle a_{1}u} a 1 2 / 4 {\displaystyle a_{1}^{2}/4}
u 2 − a 1 u + a 1 2 4 = a 0 + a 1 2 4 . {\displaystyle u^{2}-a_{1}u+{\frac {a_{1}^{2}}{4}}=a_{0}+{\frac {a_{1}^{2}}{4}}.} 所以 ( u − a 1 2 ) 2 = u ~ 2 {\displaystyle \left(u-{\frac {a_{1}}{2}}\right)^{2}={\tilde {u}}^{2}} u ~ 2 = a 0 + a 1 2 4 {\displaystyle {\tilde {u}}^{2}=a_{0}+{\frac {a_{1}^{2}}{4}}}
若 4 a 0 = − a 1 2 {\displaystyle 4a_{0}=-a_{1}^{2}} u ~ 2 = 0 {\displaystyle {\tilde {u}}^{2}=0} u ~ {\displaystyle {\tilde {u}}} { 1 , ε } {\displaystyle \{1,\varepsilon \}} 冪零元 ε {\displaystyle \varepsilon } 若 4 a 0 > − a 1 2 {\displaystyle 4a_{0}>-a_{1}^{2}} u ~ 2 > 0 {\displaystyle {\tilde {u}}^{2}>0} 雙曲複數 的標準基 { 1 , j } {\displaystyle \{1,j\}} j 2 = + 1 {\displaystyle j^{2}=+1} u ~ {\displaystyle {\tilde {u}}} a := a 0 + a 1 2 4 {\displaystyle a:={\sqrt {a_{0}+{\frac {a_{1}^{2}}{4}}}}} u ~ {\displaystyle {\tilde {u}}} j {\displaystyle j} 若 4 a 0 < − a 1 2 {\displaystyle 4a_{0}<-a_{1}^{2}} u ~ 2 < 0 {\displaystyle {\tilde {u}}^{2}<0} { 1 , i } {\displaystyle \{1,i\}} i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} u ~ {\displaystyle {\tilde {u}}} a := a 1 2 4 − a 0 {\displaystyle a:={\sqrt {{\frac {a_{1}^{2}}{4}}-a_{0}}}} u ~ {\displaystyle {\tilde {u}}} i {\displaystyle i} 從而定理成立。
複數系是以上三個二維實代數中唯一一個域 。若代數具有1的非實平方根 j {\displaystyle j} 冪等元 1 2 ( 1 ± j ) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(1\pm j)} 零因子 （因為 ( 1 + j ) ( 1 − j ) = 0 {\displaystyle (1+j)(1-j)=0} 除代數 狹義相對論 的勞侖茲變換 。
《數學雜誌 》在2004年的某版中，稱二維實代數為「廣義複數」（generalized complex numbers）。[ 15] 交比 的概念也可以推廣到其他二維實代數。[ 16]
克里福代數 是由賦有二次型 的向量空間所生成的單位結合代數 。在實域上，其等價於可以定義對稱純量積 u ⋅ v = 1 2 ( u v + v u ) {\displaystyle u\cdot v={\tfrac {1}{2}}(uv+vu)} 正交化 該二次型，以得到基 { e 1 , … , e k } {\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{k}\}}
1 2 ( e i e j + e j e i ) = { − 1 , 0 , + 1 , i = j , 0 , i ≠ j . {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(e_{i}e_{j}+e_{j}e_{i})=\left\{{\begin{matrix}-1,0,+1,&i=j,\\0,&i\not =j.\end{matrix}}\right.} 由乘法封閉性，該向量空間的基相乘得到 2 k {\displaystyle 2^{k}} 克里福數 1 , e 1 , e 2 , e 3 , … , e 1 e 2 , … , e 1 e 2 e 3 , … , e 1 e 2 ⋯ e k {\displaystyle 1,\ e_{1},\ e_{2},\ e_{3},\ \ldots ,\ e_{1}e_{2},\ \ldots ,\ e_{1}e_{2}e_{3},\ \ldots ,\ e_{1}e_{2}\cdots e_{k}} { e 1 , … , e k } {\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{k}\}} 反交換 ，而是取決於將兩個因子對調時，會交換的簡單因子（即 e i {\displaystyle e_{i}} e 1 e 2 = − e 2 e 1 {\displaystyle e_{1}e_{2}=-e_{2}e_{1}} e 1 ( e 2 e 3 ) = + ( e 2 e 3 ) e 1 {\displaystyle e_{1}(e_{2}e_{3})=+(e_{2}e_{3})e_{1}}
若不允許 e i 2 = 0 {\displaystyle e_{i}^{2}=0} 非退化 C l p , q ( R ) {\displaystyle \mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {R} )} p {\displaystyle p} e i 2 = + 1 {\displaystyle e_{i}^{2}=+1} q {\displaystyle q} e i 2 = − 1 {\displaystyle e_{i}^{2}=-1} R {\displaystyle \mathbb {R} }
該些代數稱為幾何代數 轉動 、相位 、自旋 ，因此在古典 和量子力學 、電磁學 、相對論 方面很有用。
此族代數包括：複數系 C l 0 , 1 ( R ) {\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,1}(\mathbb {R} )} 雙曲複數系 C l 1 , 0 ( R ) {\displaystyle \mathrm {Cl} _{1,0}(\mathbb {R} )} 四元數系 C l 0 , 2 ( R ) {\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,2}(\mathbb {R} )} 分裂複四元數系 C l 0 , 3 ( R ) {\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,3}(\mathbb {R} )} 分裂四元數系 C l 1 , 1 ( R ) ≅ C l 2 , 0 ( R ) {\displaystyle \mathrm {Cl} _{1,1}(\mathbb {R} )\cong \mathrm {Cl} _{2,0}(\mathbb {R} )} C l 3 , 0 ( R ) {\displaystyle \mathrm {Cl} _{3,0}(\mathbb {R} )} 包立矩陣 生成的代數）、時空代數 C l 1 , 3 ( R ) {\displaystyle \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )}
代數 C l p , q ( R ) {\displaystyle \mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {R} )} C l q + 1 , p ( R ) {\displaystyle \mathrm {Cl} _{q+1,p}(\mathbb {R} )} C l q + 1 , p [ 0 ] ( R ) {\displaystyle \mathrm {Cl} _{q+1,p}^{[0]}(\mathbb {R} )} C l q + 1 , p ( R ) {\displaystyle \mathrm {Cl} _{q+1,p}(\mathbb {R} )} 洛侖茲變換 ），餘可類推。
雖然八維或以上時，凱萊-迪克森結構 和分裂複數構造的乘法不可結合，任意維數的克里福代數皆可結合。
1995年，伊恩·波蒂厄斯 [ 17]
設 A {\displaystyle A} 1 {\displaystyle 1} 1 {\displaystyle 1} R {\displaystyle \mathbb {R} } 實子代數 ），若 e 0 ∈ A {\displaystyle e_{0}\in A} e 0 2 = − 1 {\displaystyle e_{0}^{2}=-1} C {\displaystyle \mathbb {C} } 複子代數 ）， 若 e 0 ∈ A {\displaystyle e_{0}\in A} e 0 2 = + 1 {\displaystyle e_{0}^{2}=+1} R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 雙曲複代數 同構）， 若 e 0 2 = e 1 2 = − 1 {\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=-1} e 0 , e 1 {\displaystyle e_{0},e_{1}} { e 0 , e 1 } {\displaystyle \{e_{0},e_{1}\}} H {\displaystyle \mathbb {H} } 四元數代數 ）， 若 e 0 2 = e 1 2 = 1 {\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=1} e 0 , e 1 {\displaystyle e_{0},e_{1}} { e 0 , e 1 } {\displaystyle \{e_{0},e_{1}\}} M 2 ( R ) {\displaystyle {\mathcal {M}}_{2}(\mathbb {R} )} 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} 實矩陣 ，或分裂四元數 ）， 若 e 0 2 = e 1 2 = e 2 2 = − 1 {\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=-1} e 0 , e 1 , e 2 {\displaystyle e_{0},e_{1},e_{2}} 2 H {\displaystyle \ {}^{2}\mathbb {H} } 分裂複四元數代數 若 e 0 2 = e 1 2 = e 2 2 = 1 {\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=1} e 0 , e 1 , e 2 {\displaystyle e_{0},e_{1},e_{2}} M 2 ( C ) {\displaystyle {\mathcal {M}}_{2}(\mathbb {C} )} 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} 複矩陣 ，亦可視為複四元數 或包立代數 ）。 超出該些古典代數的延伸，見克里福代數的分類
撇除實數系、複數系、四元數系不計，其他克里福代數 C l p , q ( R ) {\displaystyle \mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {R} )} + 1 {\displaystyle +1} 凱萊－迪克森構造 是另一個擴展複數系的方法，其給出維數為 2 n ( n = 2 , 3 , 4 , … ) {\displaystyle 2^{n}\ (n=2,\ 3,\ 4,\ldots )} { 1 , i 1 , … , i 2 n − 1 } {\displaystyle \{1,i_{1},\dots ,i_{2^{n}-1}\}} i m 2 = − 1 {\displaystyle i_{m}^{2}=-1} n ≥ 3 {\displaystyle n\geq 3} n ≥ 4 {\displaystyle n\geq 4} 零因子 。
此構造得到的前幾個代數是4維的四元數系 、8維的八元數系 、16維的十六元數系 。隨維數上升，其代數結構的對稱性逐一失去：四元數乘法不可交換 ，八元數乘法不可結合 ，而十六元數的範數 不具積性。
凱萊－迪克森構造的某些步驟中，若插入額外的符號，則得到複合代數
分裂複數系 ：有基 { 1 , i 1 } {\displaystyle \{1,i_{1}\}} i 1 2 = + 1 {\displaystyle \ i_{1}^{2}=+1} 分裂四元數系 ：有基 { 1 , i 1 , i 2 , i 3 } {\displaystyle \{1,i_{1},i_{2},i_{3}\}} i 1 2 = − 1 , i 2 2 = i 3 2 = + 1 {\displaystyle \ i_{1}^{2}=-1,i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=+1} 分裂八元數系 { 1 , i 1 , … , i 7 } {\displaystyle \{1,i_{1},\dots ,i_{7}\}} i 1 2 = i 2 2 = i 3 2 = − 1 {\displaystyle \ i_{1}^{2}=i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=-1} i 4 2 = i 5 2 = i 6 2 = i 7 2 = + 1 {\displaystyle \ i_{4}^{2}=i_{5}^{2}=i_{6}^{2}=i_{7}^{2}=+1} 與複數系不同，分裂複數系並非代數閉 ，甚至包含非平凡的零因子 和冪等元 。與四元數系類似，分裂四元數系亦不可交換，但同時還含有冪零元 。分裂四元數與二階方陣 的代數同構。分裂八元數系不可結合，也含有冪零元。
兩個代數的張量積 仍為代數，如此可構造更多超複數系。
作為例子，取2維實代數 C {\displaystyle \mathbb {C} } H {\displaystyle \mathbb {H} } O {\displaystyle \mathbb {O} } C {\displaystyle \mathbb {C} } 雙複數系 C ⊗ R C {\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} } 複四元數系 C ⊗ R H {\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {H} } C ⊗ R O {\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {O} }
多重複數 ：其組成複域上的 2 n − 1 {\displaystyle 2^{n-1}} 複合代數 二次型 的代數，其中二次型與乘法可互換次序。 ^ Peirce, Benjamin, Linear Associative Algebra, American Journal of Mathematics, 1881, 4 (1): 221–6, JSTOR 2369153 （英语） ^ Adams, J. F., On the Non-Existence of Elements of Hopf Invariant One (PDF) , Annals of Mathematics, July 1960, 72 (1): 20–104 [2021-07-28 ] , JSTOR 1970147 doi:10.2307/1970147 原始内容 (PDF) 存档于2016-01-25） （英语） ^ J.H.M. Wedderburn , On Hypercomplex Numbers , Proceedings of the London Mathematical Society, 1908, 6 : 77–118 [2021-07-28 ] , doi:10.1112/plms/s2-6.1.77 原始内容 存档于2021-08-03） （英语） ^ Hawkins, Thomas, Hypercomplex numbers, Lie groups, and the creation of group representation theory, Archive for History of Exact Sciences, 1972, 8 (4): 243–287, S2CID 120562272 doi:10.1007/BF00328434 （英语） ^ Noether, Emmy, Hyperkomplexe Größen und Darstellungstheorie [Hypercomplex Quantities and the Theory of Representations] , Mathematische Annalen, 1929, 30 : 641–92 [2016-01-14 ] , S2CID 120464373 doi:10.1007/BF01187794 原始内容 存档于2016-03-29） （德语） ^ 6.0 6.1 Kantor, I. L.; Solodownikow, A. S., Hyperkomplexe Zahlen, Leipzig: BSB B.G. Teubner Verlagsgesellschaft, 1978 （德语） ^ Kantor, I. L.; Solodovnikov, A. S., Hypercomplex numbers , Berlin, New York: Springer-Verlag , 1989, ISBN 978-0-387-96980-0MR 0996029 （英语） ^ Parshall, Karen, Wedderburn and the Structure of Algebras, Archive for History of Exact Sciences, 1985, 32 : 223–349, S2CID 119888377 doi:10.1007/BF00348450 （英语） ^ Molien, Theodor, Ueber Systeme höherer complexer Zahlen , Mathematische Annalen, 1893, 41 (1): 83–156 [2021-07-28 ] , S2CID 122333076 doi:10.1007/BF01443450 原始内容 存档于2021-08-03） （德语） ^ Study, Eduard, Theorie der gemeinen und höhern komplexen Grössen, Encyclopädie der mathematischen Wissenschaften I A (4): 147–183, 1898 （德语） ^ van der Waerden, B.L., 10. The discovery of algebras, 11. Structure of algebras, A History of Algebra, Springer, 1985, ISBN 3-540-13610X（英语） ^ Kantor, I. L.; Solodovnikov, A. S., Hypercomplex numbers , Berlin, New York: Springer-Verlag , 1989, ISBN 978-0-387-96980-0MR 0996029 （英语） ^ Yaglom, Isaak, Complex Numbers in Geometry: 10–14, 1968 （英语） ^ Ewing, John H. (编), Numbers, Springer: 237, 1991, ISBN 3-540-97497-0（英语） ^ Harkin, Anthony A.; Harkin, Joseph B., Geometry of Generalized Complex Numbers (PDF) , Mathematics Magazine , 2004, 77 (2): 118–129 [2021-07-27 ] , S2CID 7837108 doi:10.1080/0025570X.2004.11953236 原始内容 (PDF) 存档于2017-08-29） （英语） ^ Brewer, Sky, Projective Cross-ratio on Hypercomplex Numbers, Advances in Applied Clifford Algebras, 2013, 23 (1): 1–14, S2CID 119623082 arXiv:1203.2554 doi:10.1007/s00006-012-0335-7 （英语） ^ Porteous, Ian R., Clifford Algebras and the Classical Groups, Cambridge University Press : 88–89, 1995, ISBN 0-521-55177-3（英语）
可數集 自然数 ( N {\displaystyle \mathbb {N} } 整数 ( Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 有理数 ( Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 規矩數 代數數 ( A {\displaystyle \mathbb {A} } 周期 可計算數 可定义数 高斯整數 ( Z [ i ] {\displaystyle \mathbb {Z} [i]} 艾森斯坦整数 合成代數 可除代數 实数 ( R {\displaystyle \mathbb {R} } 複數 ( C {\displaystyle \mathbb {C} } 四元數 ( H {\displaystyle \mathbb {H} } 八元数 ( O {\displaystyle \mathbb {O} } 凯莱－迪克森结构 实数 ( R {\displaystyle \mathbb {R} } 複數 ( C {\displaystyle \mathbb {C} } 四元數 ( H {\displaystyle \mathbb {H} } 八元数 ( O {\displaystyle \mathbb {O} } 十六元數 ( S {\displaystyle \mathbb {S} } 三十二元數 六十四元數 一百二十八元數 二百五十六元數…… 分裂 其他超複數 其他系統
French
Deutsch
![{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ffa94e9e2e6d9e5e5373d5fafb954b902743fde)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ae955a9a0d0f342fc73aaafe28af604d23267f7)
![{\displaystyle \mathrm {Cl} _{q+1,p}^{[0]}(\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61eefe084d8524aba709891b00d5acc2b3fa43ec)
, doi:10.1007/s00006-012-0335-7 （英语） 
