八面半八面體 - 维基百科，自由的百科全书

八面半無窮星形八面體
類別	無窮星形多面體
對偶多面體	八面半八面體
識別
名稱	八面半無窮星形八面體
參考索引	DU3
數學表示法
考克斯特符號; （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
性質
面	12
邊	24
頂點	12
歐拉特徵數	F=12, E=24, V=12 （χ=0）
組成與佈局
面的種類	12個四條稜的抽象多胞形（英语：Abstract_polytope）
頂點圖	每個頂點周圍都有3個面
對稱性
對稱群	Oh, [4,3], *432
圖像
	; 八面半八面體; （對偶多面體）
	; 八面半八面體; （對偶多面體）
	查; 论; 编;

八面半八面體
類別	星形均勻多面體
對偶多面體	八面半無窮星形八面體
識別
名稱	八面半八面體
參考索引	U3, C37, W68
鮑爾斯縮寫; （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	oho
數學表示法
考克斯特符號; （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
威佐夫符號; （英语：Wythoff symbol）	3/2 3 \| 3
性質
面	12
邊	24
頂點	12
歐拉特徵數	F=12, E=24, V=12 （χ=0）
虧格	-1
組成與佈局
面的種類	8個三角形{3}; 4個六邊形{6}; 存在半三角形{3/2}; 一種抽象多胞形（英语：Abstract_polytope）
面的佈局; （英语：Face configuration）	8{3}+4{6}
頂點圖	3.6.3/2.6
對稱性
對稱群	Oh, [4,3], *432
特性
	均勻
圖像
	; 3.6.3/2.6; （頂點圖）
; 八面半無窮星形八面體; （對偶多面體）	; （展開圖）
	查; 论; 编;

在幾何學中，八面半八面體是一種非凸多面體，屬於星形多面體及均勻多面體^[1]，也可以歸類在非凸均勻多面體，其索引為U₃。八面半八面體由8個正三角形和4個正六邊形組成，且每個頂點對應的角皆相等，因此也可以被歸類為擬正多面體^[2]，然而由於這個立體同時具備半多面體的特性，因此被部分學者分成一類新的立體，即擬正半多面體（Versi-Regular Polyhedra），這類立體共有九個，最早在1881年由亞伯特·巴杜羅（Albert Badoureau）發現並描述^[3]。特別地，這個立體的邊長與外接球半徑相等^[4]。八面半八面體可以與星形八面體共同堆砌填滿空間，因此曾應用於建築結構中。^[5]

性質

八面半八面體共有12個面、24條邊和12個頂點^[6]^[7]，是一種十二面體，每個頂點都是2個正三角形和2個六邊形的公共頂點。^[6]

定向性

八面半八面體是唯一可定向且歐拉示性數為零的半多面體，^[8]這意味著其具有拓撲環面的性質。^[9]

八面半八面體	八面半八面體在拓樸上的展開圖可以排佈為分割成8個正三角形和4個正六邊形的菱形。所有頂點的角虧為零	這個展開圖是截半六邊形鑲嵌的一部份，在威佐夫符號（英语：Wythoff symbol）中計為3 3 \| 3、考克斯特-狄肯記號（英语：Coxeter-Dynkin diagram）計為

二面角

八面半八面體僅有一種二面角，為三角形和六邊形的棱之交角，其值為三分之一的反餘弦值^[10]^[11]：

\cos ^{-1}({\frac {1}{3}})\approx 1.230959417\approx 70.5287^{\circ }

其值約為70度31分43.6秒

頂點座標

由於其凸包為截半立方體，因此其12頂點會與截半立方體相同，為(0, ±1, ±1),(±1, 0, ±1),(±1, ±1, 0)，若邊長為a，則座標要縮放 ${\frac {\sqrt {2}}{2}}a$ 倍。^[12]

作為簡單多面體

八面半八面體具有抽象多胞形半三角形面和互相相交的六邊形面，但若去除相交的面作為一個簡單多面體，則其可以視為由32個正三角形組成的凹多面體^[13]^[14]。這種多面體共有32個面、48條邊和13個頂點，其結構與四角化截半立方體拓樸同構，不過四角化截半立方體有18個頂點而這種多面體僅有13個頂點是因為有6個頂點在中心共用。另一方面，這個立體也可以視為由8個正四面體組合而成。^[15]^:103

四角化截半立方體
截半立方體
倒四角化截半立方體
八面半八面體

對偶多面體

八面半八面體的對偶多面體是八面半無窮星形八面體。其外觀與立方半無窮星形八面體相同^[16]。

從定義上來看，對偶多面體的面會與原始立體的頂點圖相同，同時頂點周圍之面的排列方式會和原始立體的面之邊相同，也就是說對偶多面體的頂點圖為原始立體的面^[17]。由於八面半無窮星形八面體是八面半八面體的對偶多面體，而八面半八面體的12個頂點皆為4個面的公共頂點，因此八面半無窮星形八面體的面理應具有12個面，每個面由4個邊組成^[7]。然而八面半八面體有部分面幾何中心落在整個立體的幾何中心上，因此其對偶多面體的頂點會落在無窮遠處，即無窮实射影平面上的點。^[18]一般來說，這樣的立體無法被具象化^[7]。為了具像化這種立體，溫尼爾在著作《對偶模型》中將其描述為由無限高的柱體組合構成的立體，在這樣的視覺化方式下，八面半八面體外觀為由4個無限高的六角柱構成的立體^[18]。

中心八面半八面體數

中心八面半八面體數是一種排列成八面半八面體的有形數。第n個中心八面半八面體數可以表示為 ${\tfrac {4n^{3}+24n^{2}+8n+3}{3}}$ ^[23]。由於八面半八面體數與截半立方體共用相同的頂點排列方式，因此數列前兩項與中心截半立方體數（OEIS數列A005902）相同，第三項開始少去了八面半八面體數相對於截半立方體缺少的6個四角錐^[23]

前幾個中心八面半八面體數為：

1, 13, 49, 117, 225, 381, 593, 869, 1217, 1645, 2161, 2773, 3489, 4317, 5265, 6341....（OEIS數列A274974）

參見

五複合八面半八面體（英语：Compound of five octahemioctahedra）

參考文獻

^ Wolfram, Stephen. "Octahemioctahedron". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）.
^ George W. Hart. Quasi-Regular Polyhedra. 1996 [2021-09-05]. （原始内容存档于2021-08-30）.
^ Jean Paul Albert Badoureau. Mémoire sur les Figures Isocèles. Journal de l'École polytechnique. 1881, (49): 47-172.
^ ^4.0 ^4.1 Weisstein, Eric W. (编). Octahemioctahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
^ Hisarligil, Hakan and Hisarligil, Beyhan Bolak. The Geometry of Cuboctahedra in Medieval Art in Anatolia. Nexus Network Journal (Springer). 2018, 20 (1): 125–152.
^ ^6.0 ^6.1 Uniform Polyhedra 03: Octahemioctahedron. mathconsult. [2016-08-31]. （原始内容存档于2020-02-17）.
^ ^7.0 ^7.1 ^7.2 Vladimir Bulatov. octahemioctacron. Polyhedra Collection, bulatov.org. [2021-07-30]. （原始内容存档于2020-02-23）.
^ The Octahemioctahedron. 西密西根大學. [2016-08-31]. （原始内容存档于2016-03-14）.
^ David A. Richter. The Octahemioctahedron. [2016-08-31]. （原始内容存档于2016-03-14）.
^ Jean Paul Albert Badoureau, Mémoire sur les Figures Isocèles, Journal de l'École polytechnique 49 (1881), 47-172.
^ Versi-Regular Polyhedra: Octahemioctahedron. dmccooey.com. [2016-08-31]. （原始内容存档于2019-10-03）.
^ Klitzing, Richard. octahemioctahedron, oho. bendwavy.org. [2021-09-06]. （原始内容存档于2021-01-23）.
^ Gijs Korthals Altes. 作為簡單多面體的八面半八面體展開圖 (PDF). korthalsaltes.com. [2016-08-31]. （原始内容 (PDF)存档于2016-06-15）.
^ Robert Webb. Octahemioctahedron. software3d.com. [2021-09-07]. （原始内容存档于2021-07-29）.
^ Wenninger, M.J. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974 [2021-09-06]. ISBN 9780521098595. LCCN 69010200. （原始内容存档于2021-08-31）.
^ Weisstein, Eric W. (编). Octahemioctacron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
^ Weisstein, Eric W. (编). Dual Polyhedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
^ ^18.0 ^18.1 Wenninger, Magnus, Dual Models, Cambridge University Press, 2003 [1983], ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208, doi:10.1017/CBO9780511569371 (Page 101, Duals of the (nine) hemipolyhedra)
^ HİSARLIGİL, Hakan and HİSARLIGİL, Beyhan BOLAK. The third dimension of the Magdouh Mosaic in Antioch. Journal of Mosaic Research. 2019, (12): 107-118},.
^ {6,3}_(2,2), Petrie dual of the cube. Regular Map database - map details. [2021-07-30].
^ octahemioctahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-30]. （原始内容存档于2021-07-25）.
^ Weisstein, Eric W. (编). Cubohemioctahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
^ ^23.0 ^23.1 Sloane, N.J.A. (编). Sequence A274974 (Centered octahemioctahedral numbers). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

外部連結

[3] Wolfram, Stephen. "Octahemioctahedron". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）.

[George_1996-4] George W. Hart. Quasi-Regular Polyhedra. 1996 [2021-09-05]. （原始内容存档于2021-08-30）.

[Jean_Paul_Albert_1881-5] Jean Paul Albert Badoureau. Mémoire sur les Figures Isocèles. Journal de l'École polytechnique. 1881, (49): 47-172.

[mathworld,_Octahemioctahedron-6] 4.0 ^4.1 Weisstein, Eric W. (编). Octahemioctahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.

[hisarligil2018geometry-7] Hisarligil, Hakan and Hisarligil, Beyhan Bolak. The Geometry of Cuboctahedra in Medieval Art in Anatolia. Nexus Network Journal (Springer). 2018, 20 (1): 125–152.

[mathconsult-8] 6.0 ^6.1 Uniform Polyhedra 03: Octahemioctahedron. mathconsult. [2016-08-31]. （原始内容存档于2020-02-17）.

[bulatov.org-9] 7.0 ^7.1 ^7.2 Vladimir Bulatov. octahemioctacron. Polyhedra Collection, bulatov.org. [2021-07-30]. （原始内容存档于2020-02-23）.

[10] The Octahemioctahedron. 西密西根大學. [2016-08-31]. （原始内容存档于2016-03-14）.

[11] David A. Richter. The Octahemioctahedron. [2016-08-31]. （原始内容存档于2016-03-14）.

[12] Jean Paul Albert Badoureau, Mémoire sur les Figures Isocèles, Journal de l'École polytechnique 49 (1881), 47-172.

[13] Versi-Regular Polyhedra: Octahemioctahedron. dmccooey.com. [2016-08-31]. （原始内容存档于2019-10-03）.

[14] Klitzing, Richard. octahemioctahedron, oho. bendwavy.org. [2021-09-06]. （原始内容存档于2021-01-23）.

[15] Gijs Korthals Altes. 作為簡單多面體的八面半八面體展開圖 (PDF). korthalsaltes.com. [2016-08-31]. （原始内容 (PDF)存档于2016-06-15）.

[16] Robert Webb. Octahemioctahedron. software3d.com. [2021-09-07]. （原始内容存档于2021-07-29）.

[wenninger1974polyhedron-17] Wenninger, M.J. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974 [2021-09-06]. ISBN 9780521098595. LCCN 69010200. （原始内容存档于2021-08-31）.

[20] Weisstein, Eric W. (编). Octahemioctacron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.

[21] Weisstein, Eric W. (编). Dual Polyhedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.

[Wenninger_2003-22] 18.0 ^18.1 Wenninger, Magnus, Dual Models, Cambridge University Press, 2003 [1983], ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208, doi:10.1017/CBO9780511569371 (Page 101, Duals of the (nine) hemipolyhedra)

[hisarligil2019third-23] HİSARLIGİL, Hakan and HİSARLIGİL, Beyhan BOLAK. The third dimension of the Magdouh Mosaic in Antioch. Journal of Mosaic Research. 2019, (12): 107-118},.

[Regular_Map_Petrial_cube-24] {6,3}_(2,2), Petrie dual of the cube. Regular Map database - map details. [2021-07-30].

[Regular_Map_octahemioctahedron-25] tahemioctahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-30]. （原始内容存档于2021-07-25）.

[26] Weisstein, Eric W. (编). Cubohemioctahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.

[oeis-27] 23.0 ^23.1 Sloane, N.J.A. (编). Sequence A274974 (Centered octahemioctahedral numbers). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

[1]

[2]

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截半立方體		立方半八面體	八面半八面體
八面體對稱	四面體對稱	立方半八面體	八面體對稱	四面體對稱

2 \| 3 4	3 3 \| 2	4/3 4 \| 3		3/2 3 \| 3

查论编半多面體
擬正半多面體	四面半六面體八面半八面體立方半八面體小二十面半十二面體大二十面半十二面體大十二面半十二面體小十二面半二十面體小十二面半二十面體大十二面半二十面體
擬正半多面體對偶（無窮星形多面體）	四面半無窮星形六面體八面半無窮星形八面體（章節）立方半無窮星形八面體小二十面半無窮星形十二面體（英语：Small icosihemidodecacron）小十二面半無窮星形十二面體（英语：Small dodecahemidodecacron）大二十面半無窮星形十二面體（英语：Great icosihemidodecacron）大十二面半無窮星形十二面體（英语：Great dodecahemidodecacron）小十二面半無窮星形二十面體（英语：Small dodecahemicosacron）大十二面半無窮星形二十面體（英语：Great dodecahemicosacron）
半刻面多面體	半刻面立方體五複合半刻面立方體半刻面八面體
擬正半鑲嵌圖	雙三角形半無限邊形鑲嵌正方形半無限邊形鑲嵌三角形半無限邊形鑲嵌六邊形半無限邊形鑲嵌
其他有面通過整體幾何中心的立體	大二重斜方截半二十面體大二重扭稜二重斜方十二面體

查论编均勻多面體
四面體群對稱	正四面體截角四面體四面半六面體
八面體群對稱	立方體正八面體截角立方体截角八面體截半立方體小斜方截半立方体大斜方截半立方体扭棱立方体八面半八面體立方半八面體小斜方立方體小立方立方八面體非凸大斜方截半立方體星形截角立方体大斜方立方體大立方截半立方體立方截角立方八面體星形截角截半立方體
二十面體群對稱	正十二面體正二十面體小星形十二面體大十二面體大星形十二面體大二十面體截角十二面体截半二十面体截角二十面體小斜方截半二十面体大斜方截半二十面体扭棱十二面体大雙三斜三十二面體小十二面半十二面體大十二面半十二面體小十二面半二十面體大十二面半二十面體小二十面半十二面體大二十面半十二面體小十二面二十面體大十二面二十面體斜方二十面體小斜方十二面體大斜方十二面體小十二面截半二十面體大十二面截半二十面體小雙三角十二面截半二十面體大雙三角十二面截半二十面體小二十面化截半二十面體大二十面化截半二十面體雙三斜十二面體小雙三斜三十二面體大截半二十面体截角大十二面體截半大十二面體小星形截角十二面體大星形截角十二面体截角大二十面體斜方截半大十二面體非凸大斜方截半二十面體二十面截角十二面十二面體二十面化截半大十二面體截角截半大十二面體大截角截半二十面體大二重斜方截半二十面體大二重扭稜二重斜方十二面體完全扭稜二十面體小反屈扭稜二十面截半二十面體大反屈扭稜截半二十面體扭稜小星形十二面體反扭稜小星形十二面體扭稜大星形十二面體反扭稜大星形十二面體大扭稜十二面截半二十面體扭稜二十面化截半大十二面體
其他	柱狀均勻多面體星形均勻多面體