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角 (消歧义) 」。
Unicode 中的角符號,碼位為U+2220 在几何学 中,角 ( jiǎo ) (英語:angle )或精确用语平面角 ,是由两条有公共端点的射线 组成的几何对象。这两条射线叫做角的边 ,它们的公共端点叫做角的顶点 。一般的角會假設在欧几里得平面 上,但在非欧几里得几何 中也可以定義角,特別是在球面幾何學 中的球面角 是用大圓 的圓弧代替射线。角在几何学 和三角学 中有着广泛的应用。
几何之父欧几里得 曾定义角为在平面 中两条不平行 的直线 的相对斜度。普罗克鲁斯 認為角可能是一種特質、一種可量化的量、或是一種關係。歐德謨 認為角是相對一直線 的偏差,安提阿的卡布斯 認為角是二條相交直線之間的空間。欧几里得認為角是一種關係,不過他對直角、銳角或鈍角的定義都是量化的[ 1] 。
平面角大小的计量单位制 常用的有360度制 、弧度制 等[ 2] [ 3] 。
角通常用三个字母表示:两条边上的点的字母写在两旁,顶点上的字母写在中间。图中的角用∠AOB或 A O B ^ {\displaystyle {\widehat {AOB}}} 表示。但若在不會產生混淆的情形下,也會直接用顶点的字母表示,例如角∠O。
在數學式中,一般會用希臘字母 ( α , β , γ , θ , φ , . . . {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\theta ,\varphi ,...} )表示角的大小。為避免混淆,符號π 一般不用來表示角度。
以角的端点为圆心 做圆弧 。由于圆弧的半径 和弧长成正比 ,而角是长度的比例 ,所以圆的大小不会影响角的测量。
角度 :由角在圆上所切出的圆弧的长度除以圆的周长再乘以360的结果,一般用°来标记,读作“度”。一度可以继续分为60“分”或3600“秒”。角度 在天文学 和全球定位系统 中有重要应用。 弧度 :用角在圆上所切出的圆弧 的长度除以圆的半径,單位是rad(中文名:弳)。弧度在数学 中有广泛的应用。弧度 還是国际单位制 中规定的角的標準度量,但却不是中国法定计量单位,角度 则是角在中国的法定计量单位。 採用弧度時,通常不會標示單位,例如: sin π = sin 180 ∘ = 0 {\displaystyle \sin \pi =\sin 180^{\circ }=0} 百分度 :是角在圆上所切出的圆弧的长度除以圆的周长再乘以400的结果。 角度的量測可以視為弧長s 和半徑r 的比例,再依選用單位乘以一比例係數 2 π n {\displaystyle {\frac {2\pi }{n}}} 。
θ = n 2 π s r {\displaystyle \theta ={\frac {n}{2\pi }}{\frac {s}{r}}} 例如以上的弧度、角度和百分度,其轉換係數 n {\displaystyle n} 分別為 2 π {\displaystyle 2\pi } 、360和400。
以下是一些其他的测量单位,對應不同的 n {\displaystyle n} 值。
圈數或轉數 ( n = 1 {\displaystyle n=1} ):是指完整旋轉一圈,依應用的不同,會簡寫為cyc 、rev 或rot ,不過在每分鐘轉速 (RPM)的單位中,只用一個字母r表示。 直角 ( n = 4 {\displaystyle n=4} ):是 1 4 {\displaystyle {\frac {1}{4}}} 圈,是幾何原本 中用的角度單位,直角 = 90 ∘ = π 2 r a d = 1 4 t u r n = 100 g r a d {\displaystyle =90^{\circ }={\frac {\pi }{2}}\mathrm {rad} ={\frac {1}{4}}\mathrm {turn} =100\mathrm {grad} } 。在德文中曾用 ⌞ {\displaystyle \llcorner } 表示直角。 時角 ( n = 24 {\displaystyle n=24} ):)常用在天文學 中,是 1 24 {\displaystyle {\frac {1}{24}}} 圈。此系統是用在一天一個週期的循環(例如星星的相對位置),其六十進制下的子單位稱為「時間分角」及「時間秒角」,這兩個單位和角度的角分 及角秒 不同,前者大小為後者的十五倍。1時角 = 15 ∘ = π 12 r a d = 1 6 q u a d = 1 24 t u r n ≈ 16.667 g r a d {\displaystyle =15^{\circ }={\frac {\pi }{12}}\mathrm {rad} ={\frac {1}{6}}\mathrm {quad} ={\frac {1}{24}}\mathrm {turn} \approx 16.667\mathrm {grad} } 。 密位 ( n = 6000 ∼ 6400 {\displaystyle n=6000\sim 6400} ):此單位是指一個單位大約等於毫弧度 的角度,有許多不同的定義,其數值從0.05625度到0.06度(3.375至3.6角分),而毫弧度約為0.05729578度(3.43775角分)。在北大西洋公約組織 的國家中,密位定義為圓的 1 6400 {\displaystyle {\frac {1}{6400}}} 。其數值大約等於一個角度的弧長為一公尺,其半徑為一公里的角度( 2 π 6400 = 0.0009817... ≑ 1 1000 {\displaystyle {\frac {2\pi }{6400}}=0.0009817...\doteqdot {\frac {1}{1000}}} )。瑞典歷史上以圓周爲6300密位(最接近),但在2007年同北約一致。 角分 ( n = 21600 {\displaystyle n=21600} ):定義為一度的 1 60 {\displaystyle {\frac {1}{60}}} ,是 1 21600 {\displaystyle {\frac {1}{21600}}} 圈,會用 ′ 表示,例如3° 30′ 等於 3 + 30 60 {\displaystyle 3+{\frac {30}{60}}} 度,也就是3.5度,有時也會出現小數,例如 3 ∘ 5.72 ′ = 3 + 5.72 60 {\displaystyle 3^{\circ }5.72'=3+{\frac {5.72}{60}}} 度。海里 曾定義為在地球的大圓 上一角分的弧長。 角秒 ( n = 1296000 {\displaystyle n=1296000} ):定義為一角分的 1 60 {\displaystyle {\frac {1}{60}}} ,會用 ″ 表示,例如3° 7′ 30″等於 3 + 7 60 + 30 3600 {\displaystyle 3+{\frac {7}{60}}+{\frac {30}{3600}}} 度,或是3.125 度。 以上角的定義均未考慮數值為負的角。不過在一些應用時,會將角的數值加上正負號,以標明是相對參考物不同方向的旋轉。
在二維的笛卡兒坐標系 中,角一般是以x軸的正向為基準,若往y軸的正向旋轉,則其角為正角,若往y軸的負向旋轉,則其角為負角。若二維的笛卡兒坐標系也是x軸朝右,y軸朝上,則逆時針的旋轉對應正角,順時針 的旋轉對應負角。
一般而言, − θ {\displaystyle -\theta } 角和一圈減去 θ {\displaystyle \theta } 所得的角等效。例如 − 45 ∘ {\displaystyle -45^{\circ }} 和 360 ∘ − 45 ∘ ( = 315 ∘ ) {\displaystyle 360^{\circ }-45^{\circ }(=315^{\circ })} 等效,但這只適用在用角表示相對位置,不是旋轉概念時。旋轉 − 45 ∘ {\displaystyle -45^{\circ }} 和旋轉315°是不同的。
在三維的幾何中,順時針及逆時針沒有絕對的定義,因此定義正角及負角時均需列出其參考的基準,一般會以一個通過角的頂點,和角所在平面垂直的向量 為基準。
在導航 時,導向 是以北方為基準,正向表示順時針,因此導向45°對應東北方。導向沒有負值,西北方對應的導向為315°。
除了量測角本身的大小外.也有其他的方式,可以量測角的大小。
坡度 等於一個角的正切值,常用百分比或千分比來表示。當一個角的坡度小於5%時,其坡度近似於角以弧度表示的數值。
在有理幾何學 中,一個角的大小是以伸展度(spread)來表示,伸展度定義為角對應正弦的平方,而任一角正弦的平方和該角補角正弦的平方相等。因此任一角和其補角在有理幾何學中是等同的。
零角 角度等於0°,或弧度為0的角。 锐角 角度大于0°且小于90°,或弧度大于0且小于 π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} 的角。 直角 角度等於90°,或弧度为 π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} 的角。 钝角 角度大于90°且小于180°,或弧度大于 π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} 且小于 π {\displaystyle \pi } 的角。 平角 角度等於180°,或弧度为 π {\displaystyle \pi } 的角。 優角或反角 角度大於180°且小於360°,或弧度大於 π {\displaystyle \pi } 且小於 2 π {\displaystyle 2\pi } 的角。 周角 角度等於360°,或弧度為 2 π {\displaystyle 2\pi } 的角。 三个零角
直角
優角(或作反角)
周角
銳角(a )、鈍角(b )和平角(c )
以下是各角度的名稱及不同單位下的數值:
名稱 零角 銳角 直角 鈍角 平角 優角 周角 單位 範圍 轉 0 {\displaystyle 0} ( 0 , 1 4 ) {\displaystyle (0,{\tfrac {1}{4}})} 1 4 {\displaystyle {\tfrac {1}{4}}} ( 1 4 , 1 2 ) {\displaystyle ({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}})} 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} ( 1 2 , 1 ) {\displaystyle ({\tfrac {1}{2}},1)} 1 {\displaystyle 1} 弧度 0 π {\displaystyle 0\pi \,} ( 0 , 1 2 π ) {\displaystyle (0,{\tfrac {1}{2}}\pi )} 1 2 π {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi } ( 1 2 π , π ) {\displaystyle ({\tfrac {1}{2}}\pi ,\pi )} π {\displaystyle \pi } ( π , 2 π ) {\displaystyle (\pi ,2\pi )} 2 π {\displaystyle 2\pi \,} 度 0 ∘ {\displaystyle 0^{\circ }} ( 0 ∘ , 90 ∘ ) {\displaystyle (0^{\circ },90^{\circ })} 90 ∘ {\displaystyle 90^{\circ }} ( 90 ∘ , 180 ∘ ) {\displaystyle (90^{\circ },180^{\circ })} 180 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }} ( 180 ∘ , 360 ∘ ) {\displaystyle (180^{\circ },360^{\circ })} 360 ∘ {\displaystyle 360^{\circ }}
令x為該角度數。
有三種特殊角的組合,其度數和均為特殊的值:
餘角 :當兩個角的度數之和等於90°,即一個直角 ,這兩個角便是餘角。若兩個相鄰的角互為餘角,兩個非共用邊會形成直角。在欧几里得几何 中,非直角的兩角即互為餘角。 若角A 和B 互為餘角,以下的數學式會成立: sin 2 A + sin 2 B = 1 cos 2 A + cos 2 B = 1 tan A = cot B sec A = csc B . {\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}A+\sin ^{2}B&=1\\\cos ^{2}A+\cos ^{2}B&=1\\\tan A&=\cot B\\\sec A&=\csc B\end{aligned}}.} (一角的正切 等於其餘角的餘切 ,一角的正割 等於其餘角的餘割 ) 三角函數中的餘函數 ,其前綴「co-」就是餘角的意思。 補角 :當兩個角的度數之和等於180°,即一個平角 ,這兩個角便是互補角。若兩個相鄰的角互為餘角,兩個非共用邊會形成一直線。不過兩個不相鄰的角也可以是補角,例如平行四邊形中,任兩鄰角為互補角。圆内接四边形 的對角也是互補角。 若點P為圓O外的一點,而過點P作圓的切線,切點分別在點T和點Q,則∠TPQ和∠TOQ為互補角。 兩互補角的正弦相等,其餘弦及正切(若有定義義)大小相等,但符號異號。 在欧几里得几何中,三角形兩角的和為第三角的補角。 explementary angles or conjugate angles. 當兩個角的度數之和等於360°
互為餘角的角a 和角b 圖中的銳角和鈍角形成一組互補角
同頂角 a + b + c = 360 ∘ {\displaystyle a+b+c=360^{\circ }}
直線上的鄰角 a + b + c = 180 ∘ {\displaystyle a+b+c=180^{\circ }}
與平行線有關的定理 當 A E {\displaystyle AE} 平行於 B D {\displaystyle BD} ,
a = c {\displaystyle a=c} (同位角 , A E / / B D {\displaystyle AE//BD} ) b = d {\displaystyle b=d} (內錯角 , A E / / B D {\displaystyle AE//BD} ) b + c = 180 ∘ {\displaystyle b+c=180^{\circ }} (同旁內角 , A E / / B D {\displaystyle AE//BD} ) 由角度的關係也可以推得兩直線平行
當 a = c {\displaystyle a=c} , A E {\displaystyle AE} 平行於 B D {\displaystyle BD} (同位角相等) 當 b = d {\displaystyle b=d} , A E {\displaystyle AE} 平行於 B D {\displaystyle BD} (內錯角相等) 當 b + c = 180 ∘ {\displaystyle b+c=180^{\circ }} , A E {\displaystyle AE} 平行於 B D {\displaystyle BD} (同旁內角互補) 二曲線在P點的夾角定義為二曲線在P點切線A 和B 的夾角 曲線和直線的夾角或是二曲線間的夾角定義為二曲線在交點處切線 的夾角。
在欧几里得空间 中,二個向量 u 及v 的角和其點積 及向量的長度有關:
u ⋅ v = cos ( θ ) ‖ u ‖ ‖ v ‖ . {\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\cos(\theta )\ \|\mathbf {u} \|\ \|\mathbf {v} \|.} 依上式可以用二個平面(或曲面)的法向量 ,計算二者之間的夾角,也可以根據二歪斜線 的向量計算其夾角。
在一個抽象的實數内积空间 中,在定義角時可以用內積 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } 取代欧几里得空间的點積( · ):
⟨ u , v ⟩ = cos ( θ ) ‖ u ‖ ‖ v ‖ . {\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\cos(\theta )\ \|\mathbf {u} \|\ \|\mathbf {v} \|.} 在複數的内积空间中,為了使餘弦的數值仍維持實數,因此需修改為
Re ( ⟨ u , v ⟩ ) = cos ( θ ) ‖ u ‖ ‖ v ‖ . {\displaystyle \operatorname {Re} (\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle )=\cos(\theta )\ \|\mathbf {u} \|\ \|\mathbf {v} \|.} 或者使用絕對值的標示:
| ⟨ u , v ⟩ | = cos ( θ ) ‖ u ‖ ‖ v ‖ . {\displaystyle |\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |=\cos(\theta )\ \|\mathbf {u} \|\ \|\mathbf {v} \|.} 後者不考慮向量的方向,因此是描述由向量 u {\displaystyle \mathbf {u} } 及 v {\displaystyle \mathbf {v} } 所生成的二個一維子空間 span ( u ) {\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {u} )} 及 span ( v ) {\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {v} )} 之間的夾角。
在黎曼几何 中,利用度量张量 來定義二條切線 之間的夾角,其中U 及V 是切線向量,g ij 是度量张量G 的分量。
cos θ = g i j U i V j | g i j U i U j | | g i j V i V j | . {\displaystyle \cos \theta ={\frac {g_{ij}U^{i}V^{j}}{\sqrt {\left|g_{ij}U^{i}U^{j}\right|\left|g_{ij}V^{i}V^{j}\right|}}}.} 以地理 的觀點,地球上任何一個位置都可以用地理座標系統 來表示,此系統標示位置的經度 及緯度 ,兩者都以此點連至地球球心連線的角度來表示,經度是以格林威治子午線 為參考基準,而緯度是以赤道 為參考基準。
在天文學 中,天球 的一點可以用任何一種天球坐标系统 來表示,不過其基準則因坐标系统不同而不同。天文學量測二顆星星的角距離 時,會假想分別有二顆星星分別和地球 連成的直線,再量測這二條直線的夾角,即為角距離。
天文學家也會用角直徑 量測一物體的表觀大小。例如滿月 的角直徑約為0.5°。小角公式 可以將上述的角測量轉換為距離和大小的比值。
线性(平动)的量 角度(转动)的量 量纲 — L L2 量纲 — — — T 时间 : t s 位移积分 : A m s T 时间 : t s — 距离 : d , 位矢 : r , s , x , 位移 m 面积 : A m2 — 角度 : θ , 角移 : θ rad 立體角 : Ω rad2 , sr T−1 頻率 : f s−1 , Hz 速率 : v , 速度 : v m s−1 面積速率 : ν m2 s−1 T−1 頻率 : f s−1 , Hz 角速率 : ω , 角速度 : ω rad s−1 T−2 加速度 : a m s−2 T−2 角加速度 : α rad s−2 T−3 加加速度 : j m s−3 T−3 角加加速度 : ζ rad s−3 M 质量 : m kg ML2 轉動慣量 : I kg m2 MT−1 动量 : p , 冲量 : J kg m s−1 , N s 作用量 : 𝒮 , actergy : ℵ kg m2 s−1 , J s ML2 T−1 角动量 : L , 角衝量 : ι kg m2 s−1 作用量 : 𝒮 , actergy : ℵ kg m2 s−1 , J s MT−2 力 : F , 重量 : F g kg m s−2 , N 能量 : E , 功 : W kg m2 s−2 , J ML2 T−2 力矩 : τ , moment : M kg m2 s−2 , N m 能量 : E , 功 : W kg m2 s−2 , J MT−3 加力 : Y kg m s−3 , N s−1 功率 : P kg m2 s−3 , W ML2 T−3 rotatum : P kg m2 s−3 , N m s−1 功率 : P kg m2 s−3 , W