在数学 中,特别是在泛函分析 中,投影值测度 (或谱测度 )是一种映射 ,其将给定集合的特定子集映射为给定的希尔伯特空间 上的一个自伴 投影算子 。 投影值测度 (projection-valued measure, PVM) 在形式上类似于实值 测度 ,不过其值是自伴投影而不是实数。与普通测度一样,也可以关于PVM进行复 值函数的积分 ;这种积分的结果是给定希尔伯特空间上的线性算子 。
投影值测度用于表达谱理论 中的结果,例如自伴算子 的谱定理 ,在这种情况下 PVM 有时被称为谱测度。自伴算子的博雷尔函数演算 是通过关于 PVM 的积分构造的。在量子力学 中,PVM 提供了投影测量 的数学表述,它们可推广为正算子值测度 (POVM),正如混合態 或密度矩阵 推广了純態 的概念一样。
设 H {\displaystyle H} 是一可分 复 希尔伯特空间 ,而 ( X , M ) {\displaystyle (X,M)} 是一(博雷尔)可测空间 ,其中 X {\displaystyle X} 是一集合而 M {\displaystyle M} 是 X {\displaystyle X} 上的博雷尔σ-代数 。投影值测度 π {\displaystyle \pi } 是定义于 M {\displaystyle M} 上、而取值为 H {\displaystyle H} 上有界 自伴算子 的一类特定映射,其须满足以下性质:
对任一 E ∈ M {\displaystyle E\in M} , π ( E ) {\displaystyle \pi (E)} 是一正交投影 。 π ( ∅ ) = 0 {\displaystyle \pi (\emptyset )=0} 且 π ( X ) = I {\displaystyle \pi (X)=I} ,其中 ∅ {\displaystyle \emptyset } 表示空集 、 I {\displaystyle I} 为恒等算子 。 若 M {\displaystyle M} 中有不交 的子集 E 1 , E 2 , E 3 , … {\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},\dotsc } ,那么对于任一 v ∈ H {\displaystyle v\in H} , π ( ⋃ j = 1 ∞ E j ) v = ∑ j = 1 ∞ π ( E j ) v . {\displaystyle \pi \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }E_{j}\right)v=\sum _{j=1}^{\infty }\pi (E_{j})v.} 对任意 E 1 , E 2 ∈ M {\displaystyle E_{1},E_{2}\in M} , π ( E 1 ∩ E 2 ) = π ( E 1 ) π ( E 2 ) . {\displaystyle \pi (E_{1}\cap E_{2})=\pi (E_{1})\pi (E_{2}).} 第二、四个性质表明,如果 E 1 {\displaystyle E_{1}} 和 E 2 {\displaystyle E_{2}} 不相交(即 E 1 ∩ E 2 = ∅ {\displaystyle E_{1}\cap E_{2}=\emptyset } ), 则像 π ( E 1 ) {\displaystyle \pi (E_{1})} 和 π ( E 2 ) {\displaystyle \pi (E_{2})} 之间正交 。
令 V E = im ( π ( E ) ) {\displaystyle V_{E}=\operatorname {im} (\pi (E))} 及其正交补 V E ⊥ = ker ( π ( E ) ) {\displaystyle V_{E}^{\perp }=\ker(\pi (E))} 分别表示 π ( E ) {\displaystyle \pi (E)} 的像 和核 。若 V E {\displaystyle V_{E}} 是 H {\displaystyle H} 的闭 子空间,则 H {\displaystyle H} 可以写成如下的正交分解 H = V E ⊕ V E ⊥ {\displaystyle H=V_{E}\oplus V_{E}^{\perp }} ,而 π ( E ) ≜ I E {\displaystyle \pi (E)\triangleq I_{E}} 是 V E {\displaystyle V_{E}} 上唯一满足所有四个性质的恒等算子 。
对于任意 ξ , η ∈ H {\displaystyle \xi ,\eta \in H} 和 E ∈ M {\displaystyle E\in M} ,可由投影值测度导出一个 H {\displaystyle H} 上的复值测度 ,其定义为
μ ξ , η ( E ) := ⟨ π ( E ) ξ | η ⟩ , {\displaystyle \mu _{\xi ,\eta }(E):=\langle \pi (E)\xi |\eta \rangle ,} 而其总变差 至多为 ‖ ξ ‖ ‖ η ‖ {\displaystyle \|\xi \|\|\eta \|} 。 投影值测度亦可导出下面的实值测度 :
μ ξ ( E ) := ⟨ π ( E ) ξ | ξ ⟩ . {\displaystyle \mu _{\xi }(E):=\langle \pi (E)\xi |\xi \rangle .} 当 ξ {\displaystyle \xi } 是单位向量 时,其成为一个概率测度 。
设 ( X , M , μ ) {\displaystyle (X,M,\mu )} 是一个 σ-有限测度空间 ,且对于任一 E ∈ M {\displaystyle E\in M} ,可有一相应的映射
π ( E ) : L 2 ( X ) → L 2 ( X ) {\displaystyle \pi (E):L^{2}(X)\to L^{2}(X)} 定义为
ψ ↦ π ( E ) ψ = 1 E ψ , {\displaystyle \psi \mapsto \pi (E)\psi =1_{E}\psi ,} 即L2 (X ) 上关于指示函数 1 E {\displaystyle 1_{E}} 的乘法算子 。那么 π ( E ) = 1 E {\displaystyle \pi (E)=1_{E}} 定义了一个投影值测度。作为一个例子,若 X = R {\displaystyle X=\mathbb {R} } 、 E = ( 0 , 1 ) {\displaystyle E=(0,1)} 、 ϕ , ψ ∈ L 2 ( R ) {\displaystyle \phi ,\psi \in L^{2}(\mathbb {R} )} ,于是就有这样一个复值测度 μ ϕ , ψ {\displaystyle \mu _{\phi ,\psi }} ,使得可测函数 f : R → R {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } 关于该测度的积分为
∫ E f d μ ϕ , ψ = ∫ 0 1 f ( x ) ψ ( x ) ϕ ( x ) ¯ d x . {\displaystyle \int _{E}f\,d\mu _{\phi ,\psi }=\int _{0}^{1}f(x)\psi (x){\overline {\phi (x)}}\,dx.} 如果 π 是博雷尔可测空间 ( X , M ) {\displaystyle (X,M)} 上的投影值测度,则映射
χ E ↦ π ( E ) {\displaystyle \chi _{E}\mapsto \pi (E)} 可扩张 到 X {\displaystyle X} 上阶跃函数 所构成的向量空间上的线性映射。事实上,容易验证这个映射是一个环同态 。该映射以一种典范的方式扩张到 X {\displaystyle X} 上的全体有界复值博雷尔函数 ,并且有:
该定理对于无界可测函数 f {\displaystyle f} 也成立,但是此时 T {\displaystyle T} 将是希尔伯特空间上 H {\displaystyle H} 的无界线性算子。
这允许为此类算子定义博雷尔函数演算 ,然后通过里斯-马尔可夫-角谷表示定理 使其可用于可测函数。也就是说,若有可测函数 g : R → C {\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {C} } ,则存在唯一测度使得
g ( T ) := ∫ R g ( x ) d π ( x ) . {\displaystyle g(T):=\int _{\mathbb {R} }g(x)\,d\pi (x).} 设 H {\displaystyle H} 是一个可分 复 希尔伯特空间 , A : H → H {\displaystyle A:H\to H} 是有界自伴算子 ,而 A {\displaystyle A} 的谱 是 σ ( A ) {\displaystyle \sigma (A)} 。谱定理 说明,存在唯一的投影值测度 π A {\displaystyle \pi _{A}} ,其定义于博雷尔子集 E ⊂ σ ( A ) {\displaystyle E\subset \sigma (A)} 上,而使得
A = ∫ σ ( A ) λ d π A ( λ ) , {\displaystyle A=\int _{\sigma (A)}\lambda \,d\pi _{A}(\lambda ),} 当谱 σ ( A ) {\displaystyle \sigma (A)} 无界时,积分须推广到 λ {\displaystyle \lambda } 为无界函数的情况。
首先我们给出一个基于直积分 的投影值测度的一般例子。设 ( X , M , μ ) {\displaystyle (X,M,\mu )} 是测度空间,且令 { H x } x ∈ X {\displaystyle \{H_{x}\}_{x\in X}} 是 μ {\displaystyle \mu } -可测的一族可分希尔伯特空间。对于每个 E ∈ M {\displaystyle E\in M} ,令 π ( E ) {\displaystyle \pi (E)} 为希尔伯特空间
∫ X ⊕ H x d μ ( x ) {\displaystyle \int _{X}^{\oplus }H_{x}\ d\mu (x)} 上关于 1 E {\displaystyle 1_{E}} 的乘法算子,那么 π {\displaystyle \pi } 就是 ( X , M ) {\displaystyle (X,M)} 上的一个投影值测度。
设 π , ρ {\displaystyle \pi ,\rho } 是 ( X , M ) {\displaystyle (X,M)} 上的投影值测度,其值分别为 H , K {\displaystyle H,K} 的投影算子。称 π , ρ {\displaystyle \pi ,\rho } 是幺正等价的, 当且仅当存在一个幺正算子 U : H → K {\displaystyle U:H\to K} 满足
∀ E ∈ M , π ( E ) = U ∗ ρ ( E ) U . {\displaystyle \forall E\in M,\quad \pi (E)=U^{*}\rho (E)U.} μ {\displaystyle \mu } 的测度类 以及测度按重数 映射 x ↦ dim H x {\displaystyle x\mapsto \dim H_{x}} 之结果归并而来的等价类 完全刻画了投影值测度(在幺正等价的意义上 ,也就是说凡不能区分的PVM都幺正等价)。
一个投影值测度 π {\displaystyle \pi } 称为是n重齐次(homogeneous) 的,当且仅当重数函数具有常数值 n {\displaystyle n} 。显然,
定理 — 任何在可分希尔伯特空间的投影中取值的投影值测度 π {\displaystyle \pi } 都是齐次投影值测度的正交直和 :
π = ⨁ 1 ≤ n ≤ ω ( π ∣ H n ) {\displaystyle \pi =\bigoplus _{1\leq n\leq \omega }(\pi \mid H_{n})} 其中
H n = ∫ X n ⊕ H x d ( μ ∣ X n ) ( x ) {\displaystyle H_{n}=\int _{X_{n}}^{\oplus }H_{x}\ d(\mu \mid X_{n})(x)} 以及
X n = { x ∈ X : dim H x = n } . {\displaystyle X_{n}=\{x\in X:\dim H_{x}=n\}.} 在量子力学中,给定一个投影值测度,其定义域为一个可测空间 X {\displaystyle X} ,陪域 是希尔伯特空间 H {\displaystyle H} 上的连续自同态所构成的向量空间,
希尔伯特空间 H {\displaystyle H} 的射影空间 被解释为量子系统的可能状态集 Φ {\displaystyle \Phi } , 可测空间 X {\displaystyle X} 是系统某些量子性质(可观测量 )的值空间, 投影值测度 π {\displaystyle \pi } 表示可观测量 取各种值的概率。 X {\displaystyle X} 的常见选择是实数集,但也可能是
R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} (三维中的位置或动量), 离散集(用于角动量、束缚态能量等), 关于 φ ∈ Φ {\displaystyle \varphi \in \Phi } 的任意命题的真值 的二元素集,即“真”和“假”。 令 E {\displaystyle E} 为可测空间 X {\displaystyle X} 的可测子集, φ {\displaystyle \varphi } 为 H {\displaystyle H} 中的归一化态矢,且其范数为一,即 ‖ φ ‖ = ⟨ φ , φ ⟩ = 1 {\displaystyle \|\varphi \|={\sqrt {\langle \varphi ,\varphi \rangle }}=1} 。对于处于状态 φ {\displaystyle \varphi } 的系统,其可观测量的值落在子集 E {\displaystyle E} 中的概率为
P π ( φ ) ( E ) = ⟨ φ | π ( E ) ( φ ) ⟩ = ⟨ φ | π ( E ) | φ ⟩ , {\displaystyle P_{\pi }(\varphi )(E)=\langle \varphi |\pi (E)(\varphi )\rangle =\langle \varphi |\pi (E)|\varphi \rangle ,} 其中,物理学中更倾向于使用后一种符号。
我们可以用两种方式来解析这一点。
其一,对于给定的 E {\displaystyle E} ,投影 π ( E ) {\displaystyle \pi (E)} 是 H {\displaystyle H} 上的一个自伴算子,其 1-本征空间(本征值 1 所对应的子空间)由可观测量的值始终落在 E {\displaystyle E} 中的态矢构成,其 0-特征空间则由可观测量的值永不落在 E {\displaystyle E} 中的态矢构成。
其二,对于任一给定的归一化态矢 ψ {\displaystyle \psi } ,
P π ( ψ ) : E ↦ ⟨ ψ ∣ π ( E ) ψ ⟩ {\displaystyle P_{\pi }(\psi ):E\mapsto \langle \psi \mid \pi (E)\psi \rangle } 是 X {\displaystyle X} 上的概率测度,从而使得可观测量的值成为随机变量。
可以用投影值测度 π {\displaystyle \pi } 来进行的测量称为投影测量 [需要解释 ] 。
如果 X {\displaystyle X} 是实数集,则存在关联于 π {\displaystyle \pi } 的 H {\displaystyle H} 上的厄米算子 A {\displaystyle A} ,其将态矢 φ ∈ H {\displaystyle \varphi \in H} 映射为
A ( φ ) = ∫ R λ d π ( λ ) ( φ ) , {\displaystyle A(\varphi )=\int _{\mathbb {R} }\lambda \,\mathrm {d} \pi (\lambda )(\varphi ),} 或者若 π {\displaystyle \pi } 的支撑集 是 R {\displaystyle \mathbb {R} } 的一个离散子集,则可用更易读的形式写作
A ( φ ) = ∑ i λ i π ( λ i ) ( φ ) {\displaystyle A(\varphi )=\sum _{i}\lambda _{i}\pi ({\lambda _{i}})(\varphi )} 上述算子 A {\displaystyle A} 被称为关联于该谱测度的可观测量。
投影值测度的概念可推广到正算子值测度 (POVM)。对于POVM,将恒等算子划分为投影算子所蕴含的正交性的要求不再是必要的,恒等算子转而被分解为一族不必正交的算子[需要解释 ] 。这一推广的动机源于在量子信息理论 上的应用。
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