無理數 - 维基百科,自由的百科全书
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無理數(irrational number)是指有理数以外的实数,當中的「理」字来自于拉丁语的rationalis,意思是「理解」,实际是拉丁文对于logos「说明」的翻译,是指无法用两整数之比来说明的无理数。
非有理數之實數不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式,小數點後有無限多位,並且不會循環,即无限不循环小数(任何有限或无限循环小数可表示成两整数的比)。常見無理數有大部分的平方根、π和e(後兩者同時為超越數)等。無理數另一特徵是無限的連分數表達式。
傳說中,无理数最早由畢達哥拉斯學派弟子希伯斯发现,他以幾何方法證明無法用整数及分數表示;而畢達哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示,不相信無理數存在,後來希伯斯触犯学派章程,将无理数透露给外人,因而被扔进海中处死,其罪名竟然等同于“渎神”。另見第一次數學危機。
無理數可以通過有理數的分划的概念來定義。
举例
[编辑]- =1.73205080…
- 3=0.47712125…
- e=2.71828182845904523536…
- sin 45°==0.70710678…
- π=3.141592653589793238462…
性质
[编辑]不知是否是無理數的數
[编辑]π+e、π-e等,事实上,對于任何非零整數及,不知道是否無理數。
無理數與無理數的四則運算的結果往往不知道是否無理數,只有π-π=0、等除外。
我們亦不知道、、、欧拉-马歇罗尼常数、卡塔兰常数和费根鲍姆常数是否無理數。
無理數集的特性
[编辑]無理數集是不可數集(有理數集是可數集而實數集是不可數集)。無理數集是不完備的拓撲空間,它與所有正數數列的集拓撲同構,當中的同構映射是無理數的連分數開展,因而贝尔纲定理可應用於無數間的拓撲空間。
無理化作連分數的表達式
[编辑]- ,
選取正實數使
- 。
經由遞迴處理
無理數之證
[编辑]證明是无理数
[编辑]假设是有理数,且,是最简分数。
两边平方,得。将此式改写为,可见为偶数。
因为平方运算保持奇偶性,所以只能为偶数。设,其中为整数。
代入可得。同理可得亦为偶数。
这与为最简分数的假设矛盾,所以是有理数的假设不成立。
證明是无理数
[编辑]假設是有理數,兩邊平方得
其中因為是有理數,所以也是有理數。
透過證明為無理數的方法,其中為一非完全平方数
可以證明是無理數
同樣也推出是無理數
但這又和是有理數互相矛盾
所以是一無理數
證明是无理数
[编辑]證一
同樣,假設是有理數,兩邊平方得
,
於是是有理數。兩邊再次平方,得:
,
於是
由於是有理數,所以
透過證明形如的數是無理數的方法,得出也是一無理數
但這結果明顯和與皆為有理數出現矛盾,故為無理數
證二
同樣假設是有理數,
,兩邊平方:
證明形式的數是無理數的方法,得出是無理數
也是矛盾的。
證明是无理数
[编辑]
,兩邊平方得
,得到為一有理數
,兩邊繼續平方:
由於,皆為有理數
設,亦為有理數
證明形式的數是無理數的方法可知為無理數
這和是有理數衝突
所以得證為無理數
参见
[编辑]外部連結
[编辑]- 從畢氏學派到歐氏幾何的誕生,蔡聰明 (页面存档备份,存于互联网档案馆),有畢氏弄石法的證明
- 是無理數的六個證明,香港大學數學系蕭文強 (页面存档备份,存于互联网档案馆)(Mathematical Excalibur Vol.3 No.1 Page 2)
- 舊題新解—根號2是無理數,張海潮 張鎮華[永久失效連結](數學傳播 第30卷 第4期)
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