在電磁學裏,電位移是出現於馬克士威方程組的一種向量場,可以用來解釋介電質內自由電荷所產生的效應。電位移
以方程式定義為[1]
;
其中,
是電常數,
是電場,
是電極化強度。
高斯定律表明,電場的散度等於總電荷密度
除以電常數:
。
電極化強度的散度等於負束縛電荷密度
:
。
而總電荷密度等於束縛電荷密度加上自由電荷密度
:
。
所以,電位移的散度等於自由電荷密度
:
。
這與高斯定律的方程式類似。假設,只給定自由電荷密度
,或許可以用高斯方法來計算電位移
。但是,在這裏,不能使用這方法。只知道自由電荷密度
,有時候仍舊無法計算出電位移。思考以下關係式:
。
假設電場為不含時電場(即與時間無關的电场),
,則
。
假若
,則雖然設定
,電位移仍舊不等於零:
!
舉例而言,擁有固定電極化強度
的永電體,其內部不含有任何自由電荷,但是內在的電極化強度
會產生電場。
只有當問題本身具有某種對稱性,像球對稱性或圓柱對稱性等等,才能夠直接使用高斯方法,從自由電荷密度計算出電位移與電場。否則,必需將電極化強度
和邊界條件納入考量。
「線性電介質」,對於外電場的施加,會產生線性響應。例如,鐵電材料是非線性電介質。假設線性電介質具有各向同性,則其電場與電極化強度的關係式為[2]
;
其中,
是電極化率。
將這關係式代入電位移的定義式,可以得到
;
其中,
是電容率。
所以,電位移與電場成正比;其比率是電容率。另外,
。
假設這電介質具有均勻性,則電容率
是常數:
。
定義相對電容率
為
。
相對電容率與電極化率有以下的關係:
。
要注意的一点是,上式
的描述只是一种近似关系,当
变得很大时,
与
就不再成正比关系了。这主要是由于电介质物质的物理特性是很复杂的。也可以理解为,这个式子就像胡克定律一样,只是一种近似。
各向異性線性電介質的電容率是個張量。例如,晶體的電容率通常必需用張量來表示。
平行板電容器的兩片平板導體分別含有的正負自由電荷,會產生電位移。藉著一個扁長方形盒子,可以用高斯定律來解釋電位移與自由電荷的關係。 如右圖所示,平行板電容器是由互相平行、以空間或電介質相隔的兩片平板導體構成的電容器。假設上下兩片平板導體分別含有負電荷與正電荷,含有的電荷量分別為
、
。又假設兩片平板導體之間的間隔距離超小於平板的長度與寬度,則可以視這兩片平板導體為無限平面;做簡單計算時,不必顧慮邊緣效應。由於系統的對稱性,可以應用高斯定律來計算電位移,其方向必定是從帶正電平板導體指向帶負電平板導體,而且垂直於平板導體;又由於平板導體含有的電荷是自由電荷,不需要知道電介質的性質,就可以應用關於自由電荷的高斯定律來計算電位移。
先計算帶正電平板導體所產生的電位移。試想一個扁長方形盒子,其頂面和底面分別在這平板導體的兩邊,平行於平板導體;而盒子的其它四個側面都垂直於平板導體。根據關於自由電荷的高斯定律,
;
其中,
是扁長方形盒子的閉合表面,
是帶正電平板導體所產生的電位移,
是微小面元素。
由於扁長方形盒子的四個側面的面向量都與
向量相垂直,它們對於積分的貢獻是零;只有盒子的頂面和底面對於積分有貢獻:
;
其中,
是盒子頂面、底面的面積。
所以,
向量的方向是從帶正電平板導體垂直地向外指出,大小為
。
類似地,可以計算出帶負電平板導體所產生的電位移;
向量的方向是垂直地指向帶負電平板導體,大小為
。
應用疊加原理,可以計算這兩片帶電平板導體一起產生的電位移。在這兩片平板導體之間,
和
的方向相同;應用疊加原理,電位移的大小等於平板導體的表面電荷密度:
。在兩片平板導體的共同上方或共同下方,
和
的方向相反;應用疊加原理,電位移的大小等於零。
假設電介質的電容率為
,則在兩片平板導體之間,電場的大小為
。
假設兩片平板導體的間隔距離為
,則電壓
為
。
這平行板電容器的電容
為
。
- ^ Griffiths, David J., Introduction to Electrodynamics (3rd ed.), Prentice Hall: pp. 175, 179–184, 1998, ISBN 0-13-805326-X
- ^ Jackson, John David, Classical Electrodynamic 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc.: pp. 151–154, 1999, ISBN 978-0-471-30932-1