Conjecture d'Artin sur les racines primitives — Wikipédia

En théorie des nombres, la conjecture d'Artin est une conjecture sur la densité asymptotique relative de l'ensemble des nombres premiers modulo lesquels un entier relatif $a$ donné est une racine primitive, dans l'ensemble des nombres premiers. En termes simplistes, la conjecture d'Artin affirme que $a$ est générateur pour environ 37 % des nombres premiers.

Formulation

Plus précisément, notons $S (a)$ l'ensemble des nombres premiers $p$ tels que $a$ engendre (ℤ/ $p$ ℤ)*. Dans son journal, Helmut Hasse mentionne qu'Emil Artin lui a communiqué le 27 septembre 1927 la conjecture suivante (nous donnons ici une formulation plus précise due à Derrick Lehmer) :

Supposons que $a$ est différent de $-1$ (cas peu intéressant car $S (a)$ est alors inclus dans ${2, 3}$ ) et n'est pas un carré, et notons $c$ sa partie sans facteur carré. Alors :

$S (a)$ a une densité strictement positive parmi l'ensemble des nombres premiers (cela implique en particulier que $S (a)$ est infini).
Si $a$ n'est pas une puissance parfaite et si $c$ n'est pas congru à $1$ modulo $4$ (suite A085397 de l'OEIS), cette densité est indépendante de $a$ et égale à la constante d'Artin^[1], qui s'exprime sous la forme du produit infini suivant : $A(a)=A=\prod _{p\ \mathrm {premier} }\left(1-{\frac {1}{p(p-1)}}\right)=0{,}3739558136\ldots$ .Voir les décimales de cette constante comme suite A005596 de l'OEIS.
Si $a$ n'est pas une puissance parfaite et si $c$ est congru à $1$ modulo $4$ , alors la constante est multipliée par un autre produit, où $μ$ désigne la fonction de Möbius^[1]^,^[2] : $A(b^{2}c)=\left(1-\prod _{q\ \mathrm {premier} ,\ q\mid c}{\frac {1}{1+q-q^{2}}}\right)\times A=\left(1-\mu (c)\prod _{q\ \mathrm {premier} ,\ q\mid c}{\frac {1}{q^{2}-q-1}}\right)\times A$ .
Si $a = b k$ , alors la densité est multipliée par un facteur faisant intervenir la fonction multiplicative $v$ définie par : $v (q n) = q (q - 2)/(q 2 - q - 1)$ pour tout nombre premier $q$ : $A(b^{k})=v(k)\times A(b)$ .

Exemples

Par exemple, pour $a = 2$ , la conjecture affirme que l'ensemble $S (2)$ des nombres premiers $p$ pour lesquels $2$ est une racine primitive a la densité $A$ . Cet ensemble correspond à la suite A001122 de l'OEIS : $S (2)$ = {3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491, …}.Il a 38 éléments plus petits que 500 et il y a 95 nombres premiers plus petits que 500. La proportion est donc 38/95 = 2/5 = 0,4 (et la conjecture affirme que cette proportion tend vers $A$ ).

Pour $a = 10$ , l'ensemble $S (10)$ est formé des nombres premiers $p$ dits « longs », dont l'écriture décimale de l'inverse a une période maximale, de longueur $p - 1$ , comme $7$ dont l'inverse est $0, 142857$ .

Cet ensemble correspond à la suite A006883 de l'OEIS : S(10) = { 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313, 337, 367, 379, 383, 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499…} dont la partie inférieure à 500 a une densité 35/95 = 0,368….

Preuves partielles

En 1967, Christopher Hooley a publié une démonstration reposant sur l'hypothèse de Riemann généralisée^[3]^,^[4] (dont la véracité n'est pas à ce jour établie). En 1984, Rajiv Gupta et M. Ram Murty ont démontré (indépendamment de toute hypothèse) que la conjecture d'Artin est vraie pour un nombre infini de valeurs de $a$ , en utilisant une méthode de crible^[5]. Roger Heath-Brown a amélioré ce résultat en montrant qu'il y a au plus deux trublions^[6]. Ce résultat n'est pas une démonstration constructive et on ne connaît donc pas la valeur de ces trublions. Ainsi, si l'on considère $a = 3$ , $5$ ou $7$ , le théorème de Heath-Brown nous dit que la conjecture est vraie pour au moins l'une de ces valeurs, mais on ne sait pas dire laquelle. À ce jour, il n'y a d'ailleurs pas une seule valeur de $a$ pour laquelle nous ayons une démonstration que $S (a)$ est infini.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Artin's conjecture on primitive roots » (voir la liste des auteurs).

↑ ^{a et b} (en) Eric W. Weisstein, « Artin's Constant », sur MathWorld
↑ (en) Gerard P. Michon, « Artin's Constant », sur Numericana, 15 juin 2006
↑ (en) Christopher Hooley, « On Artin's conjecture », J. Reine Angew. Math., vol. 225,‎ 1967, p. 209-220 (lire en ligne).
↑ Pascal Boyer, Petit compagnon des nombres et de leurs applications, Paris/58-Clamecy, Calvage et Mounet, 2019, 648 p. (ISBN 978-2-916352-75-6), II. Nombres premiers, chap. 3.4. (« AKS »), p. 212-213.
↑ (en) Rajiv Gupta et M. Ram Murty, « A remark on Artin's conjecture », Invent. Math., vol. 78, n^o 1,‎ 1984, p. 127-130 (lire en ligne).
↑ (en) D. R. Heath-Brown, « Artin's conjecture for primitive roots », Quart. J. Math. Oxford, 2^e série, vol. 37,‎ 1986, p. 27-38 (DOI 10.1093/qmath/37.1.27).

Voir aussi

Article connexe

Développement décimal périodique

Bibliographie

(en) Paulo Ribenboim, My Numbers, My Friends : Popular Lectures on Number Theory, Springer, 2000 (lire en ligne), p. 83

Lien externe

(en) Pieter Moree, « Artin's primitive root conjecture – a survey », Integers, vol. 12A,‎ 2012, A13 (arXiv math/0412262)

Arithmétique et théorie des nombres

[Artin_constant-1] {a et b} (en) Eric W. Weisstein, « Artin's Constant », sur MathWorld

[2] (en) Gerard P. Michon, « Artin's Constant », sur Numericana, 15 juin 2006

[3] (en) Christopher Hooley, « On Artin's conjecture », J. Reine Angew. Math., vol. 225,‎ 1967, p. 209-220 (lire en ligne).

[boyer-4] Pascal Boyer, Petit compagnon des nombres et de leurs applications, Paris/58-Clamecy, Calvage et Mounet, 2019, 648 p. (ISBN 978-2-916352-75-6), II. Nombres premiers, chap. 3.4. (« AKS »), p. 212-213.

[5] (en) Rajiv Gupta et M. Ram Murty, « A remark on Artin's conjecture », Invent. Math., vol. 78, n^o 1,‎ 1984, p. 127-130 (lire en ligne).

[6] (en) D. R. Heath-Brown, « Artin's conjecture for primitive roots », Quart. J. Math. Oxford, 2^e série, vol. 37,‎ 1986, p. 27-38 (DOI 10.1093/qmath/37.1.27).

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