Dominio ad ideali principali

In algebra, un dominio ad ideali principali (spesso abbreviato in PID, dall'inglese Principal Ideal Domain) è un dominio d'integrità in cui ogni ideale è principale, ossia generato da un solo elemento. I domini a ideali principali sono una classe di anelli molto simile ai numeri interi: ogni elemento può essere scritto come prodotto di elementi primi (cioè è un dominio a fattorizzazione unica), e ogni coppia di elementi ha un massimo comun divisore che può essere espresso attraverso un'identità di Bézout.

Un anello commutativo unitario in cui ogni ideale è generato da un solo elemento (ammettendo cioè la presenza di divisori dello zero, ossia elementi ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ non nulli tali che ${\displaystyle ab=0}$) sono detti anelli ad ideali principali; a volte, tuttavia, si usa "anello ad ideali principali" per indicare i domini ad ideali principali.

• L'anello ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ dei numeri interi è ad ideali principali.
• Ogni campo ${\displaystyle K}$ è ad ideali principali in modo banale, in quanto gli unici ideali sono ${\displaystyle (0)}$ e ${\displaystyle K}$ stesso, che è generato da 1.
• L'anello ${\displaystyle K[x]}$ dei polinomi in una variabile ${\displaystyle x}$ con coefficienti in un campo ${\displaystyle K}$ è ad ideali principali; al contrario, ${\displaystyle K[x,y]}$ e ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ non lo sono, in quanto (rispettivamente) gli ideali ${\displaystyle (x,y)}$ e ${\displaystyle (2,x)}$ non sono principali.
• L'anello ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ degli interi di Gauss.

Un dominio ad ideali principali è anche a fattorizzazione unica, e quindi eredita tutte le proprietà di questo:

• un elemento dell'anello è primo se e solo se è irriducibile;
• ogni elemento si fattorizza nel prodotto di elementi irriducibili, e la fattorizzazione è essenzialmente unica (ossia è unica a meno dell'ordine in cui compaiono gli elementi irriducibili, e a meno della moltiplicazione per un elemento invertibile dell'anello);
• l'anello è integralmente chiuso;
• ogni coppia di elementi ha un massimo comune divisore ed un minimo comune multiplo: più precisamente, l'MCD tra ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ è il generatore dell'ideale generato da ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$, mentre l'mcm è il generatore dell'ideale ${\displaystyle (a)\cap (b)}$. Poiché il massimo comun divisore fa parte dell'ideale ${\displaystyle (a,b),}$ può essere espresso come loro combinazione lineare, cioè ogni coppia di elementi possiede un'identità di Bézout.

I PID non esauriscono i domini a fattorizzazione unica: ad esempio gli anelli ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ e ${\displaystyle K[x,y]}$ sono a fattorizzazione unica, ma non ad ideali principali. Un dominio a fattorizzazione unica è ad ideali principali se e solo se ha dimensione 1 o 0 (in quest'ultimo caso è un campo).

Ogni dominio ad ideali principali è noetheriano, e ogni suo ideale primo non nullo è massimale: unito al fatto di essere integralmente chiuso, questo implica che ogni PID non banale (cioè che non è un campo) è un dominio di Dedekind. Inoltre, un dominio di Dedekind è ad ideali principali se e solo se è a fattorizzazione unica.

Una proprietà più forte dell'essere ad ideali principali è l'essere un dominio euclideo; un esempio di PID non euclideo è dato dall'anello ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\frac {1+{\sqrt {-19}}}{2}}\right]}$.

La struttura dei moduli finitamente generati su un dominio ad ideali principali è molto semplice, ed è analoga alla struttura dei gruppi abeliani finitamente generati: di fatto, i gruppi abeliani sono ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-moduli, e quindi la classificazione dei moduli finitamente generati su un PID può essere vista come una generalizzazione di quella dei gruppi abeliani.

Se ${\displaystyle A}$ è un dominio ad ideali principali, ogni ${\displaystyle A}$-modulo finitamente generato è somma diretta di un numero finito di moduli ciclici (ossia generati da un solo elemento): ognuno di essi, inoltre, è isomorfo al quoziente ${\displaystyle A/(x)}$ per un ${\displaystyle x\in A}$ (questo comprende anche i moduli liberi, che si possono ottenere prendendo ${\displaystyle x=0}$). L'unicità della rappresentazione può prendere due forme: un modulo può essere scritto come

${\displaystyle M=R^{k}\oplus R/(d_{1})\oplus R/(d_{2})\oplus \cdots \oplus R/(d_{n}),}$

con ${\displaystyle d_{i}|d_{i+1}}$, oppure come

${\displaystyle M=R^{k}\oplus R/(q_{1})\oplus R/(q_{2})\oplus \cdots \oplus R/(q_{n}),}$

dove i ${\displaystyle q_{i}}$ sono potenze di elementi primi; in entrambi i casi i ${\displaystyle d_{i}}$ e i ${\displaystyle q_{i}}$ sono diversi da 0 e 1. Se la scomposizione in fattori ciclici rispetta una di queste due forme canoniche, allora la scomposizione è unica (nel secondo caso, a meno dell'ordine dei fattori).

Come corollari di questa classificazione si ottengono la classificazione degli spazi vettoriali di dimensione finita (considerando ${\displaystyle A=K,}$ in quanto i ${\displaystyle K}$-moduli sono precisamente i ${\displaystyle K}$-spazi vettoriali) e la forma canonica di Jordan per applicazioni lineari su un campo algebricamente chiuso (considerando ${\displaystyle A=K[T]}$).

Un'altra proprietà dei moduli finitamente generati è la seguente: se ${\displaystyle M}$ è privo di torsione allora è libero. Questo non vale in anelli generici (basta prendere un ideale non principale) né per moduli su un PID ma non finitamente generati: un esempio è lo ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-modulo ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ dei numeri razionali.

• Luca Barbieri Viale, Che cos'è un numero ? Una introduzione all'algebra, Raffaello Cortina, 2013, ISBN 978-88-6030-604-3
• Giulia Maria Piacentini Cattaneo, Algebra - un approccio algoritmico, Padova, Decibel-Zanichelli, 1996, ISBN 978-88-08-16270-0.
• Thomas W. Hungeford, Algebra, New York, Springer, 1980, capitolo IV.6, pp.218-226, ISBN 978-0-387-90518-1.

• Dominio a fattorizzazione unica
• Dominio euclideo
• Ideale (matematica)
• Fattorizzazione (teoria degli anelli)

• dominio a ideali principali, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Dominio ad ideali principali, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Dominio ad ideali principali, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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