Dzielenie wielomianów – Wikipedia, wolna encyklopedia
Dzielenie wielomianów, pisemne dzielnie wielomianów – algorytm dzielenia jednego wielomianu przez drugi niezerowy o tym samym lub niższym stopniu. Algorytm ten jest odpowiednikiem algorytmu dzielenia pisemnego liczb naturalnych z tą różnicą, że kolejne potęgi liczby (dla systemu dziesiętnego) tu są zastąpione kolejnymi potęgami zmiennej; inaczej mówiąc tutaj rolę cyfr pełnią kolejne jednomiany dzielonych wielomianów.
Jeśli mamy wielomiany oraz jest niezerowy, to rezultatem dzielenia przez jest iloraz i reszta Stąd
Reszta jest wielomianem stopnia niższego niż wielomian w szczególności może być wielomianem zerowym.
Opis algorytmu
[edytuj | edytuj kod]Podczas procesu dzielenia wielomiany są uporządkowane wg malejących potęg zmiennej, jednomiany mające współczynnik muszą być wyszczególnione w ciągu jednomianów (pełnią one analogiczną rolę jak cyfry w ciągu cyfr zapisu pozycyjnego liczb).
Należy podzielić wielomian przez Celem jest znalezienie wielomianów i
Algorytm rozpoczyna się od przyjęcia tzn. jako resztę przyjmuje się dzielną oraz
Następnie algorytm wykonuje się w cyklu:
- Bieżącą resztę dzieli się przez dzielną Dzielenie to polega na podzieleniu „najstarszego” jednomianu reszty przez „najstarszy” jednomian dzielnej Wynik tego dzielenia jest kolejnym jednomianem powstającego ilorazu tzn.
- Dzielną mnoży się przez jednomian i otrzymany iloczyn odejmuje się od bieżącej reszty Przyjmujemy
- Algorytm jest zakończony, gdy reszta zerowa bądź ma stopień niższy od stopnia wielomianu w przeciwnym razie wracamy do punktu 1. przyjmując jako bieżącą resztę.
Jeśli ostatnia reszta jest zerowa, to wielomian jest dzielnikiem wielomianu Jeśli ostatnia reszta jest niezerowa, to jest to reszta z dzielenia przez
Iloraz jest sumą jednomianów powstających przy każdym przebiegu cyklu.
Przykład
[edytuj | edytuj kod]Znaleźć iloraz oraz resztę dzielenia przez
Dzielna jest na początek przepisana jako:
Iloraz oraz reszta mogą być określone następująco:
Dzielimy pierwszy człon dzielnej przez najwyższy człon dzielnika. Wpisujemy rezultat nad kreskę
Mnożymy dzielnik przez właśnie otrzymany rezultat (pierwszy człon ilorazu). Wpisujemy rezultat poniżej pierwszych dwu członów dzielnej.
Odejmujemy otrzymany iloraz od odpowiednich członów oryginalnej dzielnej (należy pamiętać, że odejmowanie czegoś mającego znak minus odpowiada dodaniu czegoś ze znakiem plus), i zapisujemy rezultat pod spodem. Następnie „sprowadzamy” następny człon dzielnej.
Powtarzamy poprzednie trzy kroki, tylko tym razem używamy dwóch członów, które zostały zapisane jako dzielna.
Powtarzamy 4. Tym razem nie ma nic do sprowadzenia.
Wielomian powyżej kreski jest ilorazem a liczba, która pozostała, czyli 5, jest resztą
Kod
[edytuj | edytuj kod]void divPoly(double *Q, double *R, const double *A, const double *B, int °Q, int °R, const int degA, const int degB) { const double Eps = 1e-14; for (int i = 0; i <= degA; i++) R[i] = A[i]; degQ = degA - degB; degR = degB - 1; for (int j = 0; j <= degQ; j++) { Q[degQ - j] = R[degA - j] / B[degB]; for (int i = degA - j; i >= degQ - j; i--) R[i] -= Q[degQ - j] * B[i - degQ + j]; } for (int i = degR - 1; i>=0; i--) if (fabs(R[i])<Eps) R[i] = 0; }
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]- Polskojęzyczne
Artykuły na Zintegrowanej Platformie Edukacyjnej, zpe.gov.pl [dostęp 2024-05-23]:
- Michał Niedźwiedź, Dzielenie wielomianów;
- Adam Jackowski, Działania na wielomianach – powtórzenie wiadomości.
Dzielenie wielomianów, twierdzenie Bézouta, serwis „Uczę się”, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego (MIM UW), smurf.mimuw.edu.pl, 9 października 2010 [dostęp 2024-05-23].
Algebra – dzielenie wielomianów, kanał Khan Academy na YouTube [dostęp 2024-05-23].
- Anglojęzyczne
- Eric W. Weisstein , Long Division, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-05-22].
- Eric W. Weisstein , Synthetic Division, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-05-22].