Wielomian cyklotomiczny – Wikipedia, wolna encyklopedia
Dla dowolnej liczby naturalnej -ty wielomian cyklotomiczny jest zdefiniowany jako
gdzie iloczyn przebiega przez wszystkie pierwiastki pierwotne z jedynki stopnia (takie, że nie jest pierwiastkiem mniejszego stopnia).
Własności
[edytuj | edytuj kod]- stopień wynosi (funkcja Eulera);
- wielomian dzieli ale nie dzieli dla żadnego
- współczynniki są całkowite;
- wielomian jest nierozkładalny nad ciałem liczb wymiernych;
- ciało cyklotomiczne, będące rozszerzeniem ciała liczb wymiernych o pierwiastki -tego stopnia z jedności, jest ciałem rozkładu wielomianu
- zachodzą wzory
gdzie jest funkcją Möbiusa.
Dla liczb pierwszych
Wielomiany cyklotomiczne mogą być wykorzystane przy elementarnym dowodzie istnienia nieskończenie wielu liczb pierwszych przystających do 1 modulo (szczególny przypadek twierdzenia Dirichleta).
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]- Eric W. Weisstein , Cyclotomic Polynomial, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).