Wykres przykładowej funkcji czwartego stopnia y = 7 x 4 + 9 x 3 − 24 x 2 − 28 x + 48 {\displaystyle y=7x^{4}+9x^{3}-24x^{2}-28x+48} Równanie czwartego stopnia – równanie algebraiczne postaci a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + h = 0 , {\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+h=0,} przy a ≠ 0. {\displaystyle a\neq 0.}
W 1540 r. Lodovico Ferrari odkrył ogólną metodę redukcji równań czwartego stopnia do równań sześciennych . Razem z metodą rozwiązywania tych ostatnich opracowaną wcześniej przez Scipione del Ferro i Niccola Tartaglię pozwalało to rozwiązać wszystkie typy równań stopnia 4. Wyniki te zostały opublikowane przez Girolama Cardana w Ars Magna w 1545 r.
W pewnych przypadkach równanie
a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + h = 0 {\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+h=0} (1)
można rozwiązać prostszymi metodami.
Jeśli b = d = 0 , {\displaystyle b=d=0,\quad {}} czyli gdy (1) jest postaci
a x 4 + c x 2 + h = 0 , {\displaystyle ax^{4}+cx^{2}+h=0,} (1a)
to jest to równanie dwukwadratowe (bikwadratowe). Aby je rozwiązać, trzeba podstawić t = x 2 . {\displaystyle t=x^{2}.}
Wówczas otrzymuje się równanie kwadratowe a t 2 + c t + h = 0 , {\displaystyle at^{2}+ct+h=0,} które rozwiązuje się, używając formuły kwadratowej.
Jeśli b = d {\displaystyle b=d\;{}} oraz a = h , {\displaystyle {}\;a=h,\;{}} czyli gdy (1) jest postaci
a x 4 + b x 3 + c x 2 + b x + a = 0 , {\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a=0,} (1b)
to równanie jest równaniem zwrotnym . Rozwiązuje się je, dzieląc obie strony równania przez x 2 {\displaystyle x^{2}} i otrzymując
a ( x 2 + x − 2 ) + b ( x + x − 1 ) + c = 0. {\displaystyle a(x^{2}+x^{-2})+b(x+x^{-1})+c=0.} Podstawiając y = x + x − 1 , {\displaystyle y=x+x^{-1},} otrzymuje się x 2 + x − 2 = y 2 − 2 {\displaystyle x^{2}+x^{-2}=y^{2}-2} i równanie kwadratowe:
a ( y 2 − 2 ) + b y + c = 0 , {\displaystyle a(y^{2}-2)+by+c=0,} z którego oblicza się y , {\displaystyle y,} a potem wyznacza się x . {\displaystyle x.}
Jeśli znajdzie się jeden pierwiastek x 0 {\displaystyle x_{0}} równania (1) , to można na mocy twierdzenia Bézouta podzielić wielomian a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + h {\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+h} przez x − x 0 , {\displaystyle x-x_{0},} redukując równanie wyjściowe do równania trzeciego stopnia. Rozwiązując to równanie, można znaleźć wszystkie rozwiązania równania (1) .
Równanie (1) jest redukowalne do postaci
u 4 + p u 2 + q u + r = 0. {\displaystyle u^{4}+pu^{2}+qu+r=0.} (2)
Wyjściowe równanie należy podzielić obustronnie przez a , {\displaystyle a,} otrzymując:
x 4 + b a x 3 + c a x 2 + d a x + h a = 0. {\displaystyle x^{4}+{\frac {b}{a}}x^{3}+{\frac {c}{a}}x^{2}+{\frac {d}{a}}x+{\frac {h}{a}}=0.} (3)
Następnie stosuje się podstawienie x = u − b 4 a {\displaystyle x=u-{\tfrac {b}{4a}}} prowadzące do:
( u − b 4 a ) 4 + b a ( u − b 4 a ) 3 {\displaystyle \left(u-{\frac {b}{4a}}\right)^{4}+{\frac {b}{a}}\left(u-{\frac {b}{4a}}\right)^{3}} + c a ( u − b 4 a ) 2 + d a ( u − b 4 a ) + h a = 0. {\displaystyle {}+{\frac {c}{a}}\left(u-{\frac {b}{4a}}\right)^{2}+{\frac {d}{a}}\left(u-{\frac {b}{4a}}\right)+{\frac {h}{a}}=0.} (4)
Po wymnożeniu otrzymuje się:
( u 4 − b a u 3 + 6 b 2 16 a 2 u 2 − 4 b 3 64 a 3 u + b 4 256 a 4 ) {\displaystyle \left(u^{4}-{\frac {b}{a}}u^{3}+{\frac {6b^{2}}{16a^{2}}}u^{2}-{\frac {4b^{3}}{64a^{3}}}u+{\frac {b^{4}}{256a^{4}}}\right)}
+ b a ( u 3 − 3 b 4 a u 2 + 3 b 2 16 a 2 u − b 3 64 a 3 ) {\displaystyle {}+{\frac {b}{a}}\left(u^{3}-{\frac {3b}{4a}}u^{2}+{\frac {3b^{2}}{16a^{2}}}u-{\frac {b^{3}}{64a^{3}}}\right)} + c a ( u 2 − b 2 a u + b 2 16 a 2 ) {\displaystyle {}+{\frac {c}{a}}\left(u^{2}-{\frac {b}{2a}}u+{\frac {b^{2}}{16a^{2}}}\right)} + d a ( u − b 4 a ) + h a = 0 , {\displaystyle {}+{\frac {d}{a}}\left(u-{\frac {b}{4a}}\right)+{\frac {h}{a}}=0,} (5)
a po uporządkowaniu zmiennych względem wykładników potęgowych równanie przybiera postać:
u 4 + ( − 3 b 2 8 a 2 + c a ) u 2 + ( b 3 8 a 3 − b c 2 a 2 + d a ) u {\displaystyle u^{4}+\left({\frac {-3b^{2}}{8a^{2}}}+{\frac {c}{a}}\right)u^{2}+\left({\frac {b^{3}}{8a^{3}}}-{\frac {bc}{2a^{2}}}+{\frac {d}{a}}\right)u} + ( − 3 b 4 256 a 4 + c b 2 16 a 3 − b d 4 a 2 + h a ) = 0. {\displaystyle {}+\left({\frac {-3b^{4}}{256a^{4}}}+{\frac {cb^{2}}{16a^{3}}}-{\frac {bd}{4a^{2}}}+{\frac {h}{a}}\right)=0.} (6)
Jeśli oznaczy się jako
p = − 3 b 2 8 a 2 + c a , {\displaystyle p={\frac {-3b^{2}}{8a^{2}}}+{\frac {c}{a}},} q = b 3 8 a 3 − b c 2 a 2 + d a , {\displaystyle q={\frac {b^{3}}{8a^{3}}}-{\frac {bc}{2a^{2}}}+{\frac {d}{a}},} r = − 3 b 4 256 a 4 + c b 2 16 a 3 − b d 4 a 2 + h a , {\displaystyle r={\frac {-3b^{4}}{256a^{4}}}+{\frac {cb^{2}}{16a^{3}}}-{\frac {bd}{4a^{2}}}+{\frac {h}{a}},} to równanie (1) zostało sprowadzone do postaci:
u 4 + p u 2 + q u + r = 0. {\displaystyle u^{4}+pu^{2}+qu+r=0.} (2)
Tę redukcję można wykonać, stosując schemat Hornera , ponieważ u = x + b 4 a {\displaystyle u=x+{\tfrac {b}{4a}}} i więc poszukiwanie współczynników odpowiedniego wielomianu z u , {\displaystyle u,} to faktycznie rozkładanie wielomianu względem potęg dwumianu x + b 4 a . {\displaystyle x+{\tfrac {b}{4a}}.}
Równanie zredukowane można rozwiązać analitycznie na kilka sposobów:
Metoda Descartes’a -Eulera polega na rozwiązywaniu równań postaci
u 4 + p u 2 + q u + r = 0 {\displaystyle u^{4}+pu^{2}+qu+r=0} (2)
dla q ≠ 0 {\displaystyle q\neq 0\quad {}} (równanie nie jest dwukwadratowe).
Wprowadza się trzy zmienne t , v , w {\displaystyle t,v,w} spełniające równanie
t + v + w = 2 u . {\displaystyle t+v+w=2u.} Wówczas
t 2 + v 2 + w 2 + 2 ( t v + t w + v w ) = 4 u 2 , {\displaystyle t^{2}+v^{2}+w^{2}+2(tv+tw+vw)=4u^{2},} a stąd
( t 2 + v 2 + w 2 ) 2 + 4 ( t 2 + v 2 + w 2 ) ( t v + t w + v w ) {\displaystyle \left(t^{2}+v^{2}+w^{2}\right)^{2}+4\left(t^{2}+v^{2}+w^{2}\right)\left(tv+tw+vw\right)} + 4 ( t 2 v 2 + t 2 w 2 + v 2 w 2 ) + 8 t v w ( t + v + w ) = 16 u 4 . {\displaystyle {}+4\left(t^{2}v^{2}+t^{2}w^{2}+v^{2}w^{2}\right)+8tvw\left(t+v+w\right)=16u^{4}.} Mnożąc obie strony (2) przez 16 i podstawiając wyrażenia na u , u 2 , u 4 {\displaystyle u,u^{2},u^{4}} dane przez powyższe równania, otrzymuje się:
Każda trójka liczb t , v , w {\displaystyle t,v,w} spełniająca równanie (7) daje rozwiązanie u {\displaystyle u} równania (2) . Jeśli liczby t , v , w {\displaystyle t,v,w} spełniają równania
t v w = − q {\displaystyle tvw=-q} (8)
t 2 + v 2 + w 2 = − 2 p {\displaystyle t^{2}+v^{2}+w^{2}=-2p} (9)
t 2 v 2 + t 2 w 2 + v 2 w 2 = p 2 − 4 r {\displaystyle t^{2}v^{2}+t^{2}w^{2}+v^{2}w^{2}=p^{2}-4r} (10)
to spełniają one również równanie (7) . Jeśli równanie (8) przekształci się do
t 2 v 2 w 2 = q 2 , {\displaystyle t^{2}v^{2}w^{2}=q^{2},} (11)
to układ równań (9) -(11) jest wzorem Viète’a dla pewnego równania sześciennego. Używając metod na rozwiązywanie równań trzeciego stopnia, znajduje się pierwiastki z 1 , z 2 , z 3 {\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}} „równania rozwiązującego”:
z 3 + 2 p z 2 + ( p 2 − 4 r ) z − q 2 = 0. {\displaystyle z^{3}+2pz^{2}+(p^{2}-4r)z-q^{2}=0.} (12)
Niech
t {\displaystyle t} będzie jednym z dwóch pierwiastków kwadratowych z liczby z 1 , {\displaystyle z_{1},} v {\displaystyle v} będzie jednym z dwóch pierwiastków kwadratowych z liczby z 2 , {\displaystyle z_{2},} a w {\displaystyle w} będzie tym z dwóch pierwiastków kwadratowych z liczby z 3 , {\displaystyle z_{3},} przy którym będzie spełnione równanie (8) powyżej (ponieważ q ≠ 0 , {\displaystyle q\neq 0,} to z 3 ≠ 0 {\displaystyle z_{3}\neq 0} i liczba ta ma dwa różne pierwiastki różniące się znakiem). Wówczas liczby t , v , w {\displaystyle t,v,w} spełniają równania (8) -(10) , więc również równanie (7) . Otrzymuje się zatem rozwiązanie równania (2) : u 0 = t + v + w 2 . {\displaystyle u_{0}={\frac {t+v+w}{2}}.} „Równanie rozwiązujące”
z 3 + 2 p z 2 + ( p 2 − 4 r ) z − q 2 = 0 {\displaystyle z^{3}+2pz^{2}+(p^{2}-4r)z-q^{2}=0} (12)
ma pierwiastki z 1 , z 2 , z 3 . {\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}.}
Następnie wyznacza się liczby t 1 , v 1 , w 1 , {\displaystyle t_{1},v_{1},w_{1},} tak że t 2 = z 1 , {\displaystyle t^{2}=z_{1},} v 2 = z 2 , {\displaystyle v^{2}=z_{2},} w 2 = z 3 {\displaystyle w^{2}=z_{3}} oraz t v w = − q . {\displaystyle tvw=-q.}
Wówczas liczby t 1 , v 1 , w 1 {\displaystyle t_{1},v_{1},w_{1}} spełniają równania (8) -(10) , a zatem również równanie (7) . Otrzymuje się więc
t 1 2 + v 1 2 + w 1 2 = − 2 p {\displaystyle t_{1}^{2}+v_{1}^{2}+w_{1}^{2}=-2p} oraz
t 1 2 v 1 2 + t 1 2 w 1 2 + v 1 2 w 1 2 = p 2 − 4 , {\displaystyle t_{1}^{2}v_{1}^{2}+t_{1}^{2}w_{1}^{2}+v_{1}^{2}w_{1}^{2}=p^{2}-4,} a stąd
t 1 4 + v 1 4 + w 1 4 − 2 ( t 1 2 w 1 2 + t 1 2 w 1 2 + v 1 2 w 1 2 ) {\displaystyle t_{1}^{4}+v_{1}^{4}+w_{1}^{4}-2\left(t_{1}^{2}w_{1}^{2}+t_{1}^{2}w_{1}^{2}+v_{1}^{2}w_{1}^{2}\right)} = ( t 1 2 + v 1 2 + w 1 2 ) 2 − 4 ( t 1 2 w 1 2 + t 1 2 w 1 2 + v 1 2 w 1 2 ) {\displaystyle {}=\left(t_{1}^{2}+v_{1}^{2}+w_{1}^{2}\right)^{2}-4\left(t_{1}^{2}w_{1}^{2}+t_{1}^{2}w_{1}^{2}+v_{1}^{2}w_{1}^{2}\right)} = 4 p 2 − 4 ( p 2 − 4 r ) = 16 r . {\displaystyle {}=4p^{2}-4\left(p^{2}-4r\right)=16r.} (13)
Skoro
( 2 u − t 1 − v 1 − w 1 ) ( 2 u − t 1 + v 1 + w 1 ) ( 2 u + t 1 − v 1 + w 1 ) ( 2 u + t 1 + v 1 − w 1 ) {\displaystyle \left(2u-t_{1}-v_{1}-w_{1}\right)\left(2u-t_{1}+v_{1}+w_{1}\right)\left(2u+t_{1}-v_{1}+w_{1}\right)\left(2u+t_{1}+v_{1}-w_{1}\right)} = [ ( 2 u − t 1 ) 2 − ( v 1 + w 1 ) 2 ] [ ( 2 u + t 1 ) 2 − ( v 1 − w 1 ) 2 ] {\displaystyle =\left[\left(2u-t_{1}\right)^{2}-\left(v_{1}+w_{1}\right)^{2}\right]\left[\left(2u+t_{1}\right)^{2}-\left(v_{1}-w_{1}\right)^{2}\right]} = ( 4 u 2 − t 1 2 ) 2 − ( 2 u − t 1 ) 2 ( v 1 − w 1 ) 2 − ( 2 u + t 1 ) 2 ( v 1 + w 1 ) 2 + ( v 1 2 − w 1 2 ) 2 {\displaystyle =\left(4u^{2}-t_{1}^{2}\right)^{2}-\left(2u-t_{1}\right)^{2}\left(v_{1}-w_{1}\right)^{2}-\left(2u+t_{1}\right)^{2}\left(v_{1}+w_{1}\right)^{2}+\left(v_{1}^{2}-w_{1}^{2}\right)^{2}} = 16 u 4 − 8 u 2 ( t 1 2 + v 1 2 + w 1 2 ) − 16 u t 1 v 1 w 1 + t 1 4 + v 1 4 + w 1 4 − 2 ( t 1 2 w 1 2 + t 1 2 v 1 2 + v 1 2 w 1 2 ) {\displaystyle =16u^{4}-8u^{2}\left(t_{1}^{2}+v_{1}^{2}+w_{1}^{2}\right)-16ut_{1}v_{1}w_{1}+t_{1}^{4}+v_{1}^{4}+w_{1}^{4}-2\left(t_{1}^{2}w_{1}^{2}+t_{1}^{2}v_{1}^{2}+v_{1}^{2}w_{1}^{2}\right)} = 16 ( u 4 + p u 2 + q u + r ) , {\displaystyle =16(u^{4}+pu^{2}+qu+r),} to dla ostatniej równości używa się równań (13) oraz t 1 v 1 w 1 = − q , {\displaystyle t_{1}v_{1}w_{1}=-q,} więc otrzymuje się równanie:
16 ( u 4 + p u 2 + q u + r ) = ( 2 u − t 1 − v 1 − w 1 ) ( 2 u − t 1 + v 1 + w 1 ) {\displaystyle 16(u^{4}+pu^{2}+qu+r)=\left(2u-t_{1}-v_{1}-w_{1}\right)\left(2u-t_{1}+v_{1}+w_{1}\right)} ⋅ ( 2 u + t 1 − v 1 + w 1 ) ( 2 u + t 1 + v 1 − w 1 ) , {\displaystyle \cdot \left(2u+t_{1}-v_{1}+w_{1}\right)\left(2u+t_{1}+v_{1}-w_{1}\right),} więc liczby
u 1 = t 1 + v 1 + w 1 2 , {\displaystyle u_{1}={\frac {t_{1}+v_{1}+w_{1}}{2}},} u 2 = t 1 − v 1 − w 1 2 , {\displaystyle u_{2}={\frac {t_{1}-v_{1}-w_{1}}{2}},} u 3 = − t 1 + v 1 − w 1 2 , {\displaystyle u_{3}={\frac {-t_{1}+v_{1}-w_{1}}{2}},} u 4 = − t 1 − v 1 + w 1 2 {\displaystyle u_{4}={\frac {-t_{1}-v_{1}+w_{1}}{2}}} spełniają równanie (2) . Są to wszystkie pierwiastki tego równania.
Równanie (2) ma 4 różne pierwiastki rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy równanie (12) ma 3 różne pierwiastki rzeczywiste.
Dowód Na mocy użytych wcześniej równań otrzymuje się ( u 1 − u 2 ) ( u 1 − u 3 ) ( u 1 − u 4 ) ( u 2 − u 3 ) ( u 2 − u 4 ) ( u 3 − u 4 ) = ( t 1 2 − v 1 2 ) ( t 1 2 − w 1 2 ) ( v 1 2 − w 1 2 ) , {\displaystyle \left(u_{1}-u_{2}\right)\left(u_{1}-u_{3}\right)\left(u_{1}-u_{4}\right)\left(u_{2}-u_{3}\right)\left(u_{2}-u_{4}\right)\left(u_{3}-u_{4}\right)=\left(t_{1}^{2}-v_{1}^{2}\right)\left(t_{1}^{2}-w_{1}^{2}\right)\left(v_{1}^{2}-w_{1}^{2}\right),\quad {}} gdzie nadal t 1 , v 1 , w 1 {\displaystyle t_{1},v_{1},w_{1}} są pierwiastkami równania (12) .
Równanie (2) przekształca się do
u 4 + 2 p u 2 + p 2 = p u 2 − q u − r + p 2 , {\displaystyle u^{4}+2pu^{2}+p^{2}=pu^{2}-qu-r+p^{2},} a następnie
( u 2 + p ) 2 = p u 2 − q u − r + p 2 . {\displaystyle (u^{2}+p)^{2}=pu^{2}-qu-r+p^{2}.} (14)
Wprowadzamy nową niewiadomą v . {\displaystyle v.} Dodając do wyrażenia w nawiasie równania (14) po lewej stronie v , {\displaystyle v,} można zapisać
( u 2 + p + v ) 2 = ( u 2 + p ) 2 + 2 v ( u 2 + p ) + v 2 {\displaystyle (u^{2}+p+v)^{2}=(u^{2}+p)^{2}+2v(u^{2}+p)+v^{2}} = p u 2 − q u − r + p 2 + 2 v ( u 2 + p ) + v 2 {\displaystyle {}=pu^{2}-qu-r+p^{2}+2v(u^{2}+p)+v^{2}} = ( p + 2 v ) u 2 − q u + ( p 2 − r + 2 p v + v 2 ) , {\displaystyle {}=(p+2v)u^{2}-qu+(p^{2}-r+2pv+v^{2}),} (15)
czyli
( u 2 + p + v ) 2 = ( p + 2 v ) u 2 − q u + ( p 2 − r + 2 p v + v 2 ) . {\displaystyle (u^{2}+p+v)^{2}=(p+2v)u^{2}-qu+(p^{2}-r+2pv+v^{2}).} (16)
Aby po obu stronach powyższego równania były pełne kwadraty, należy wybrać liczbę v , {\displaystyle v,} tak aby wyróżnik wielomianu po prawej stronie był zerowy:
( − q ) 2 − 4 ( p + 2 v ) ( p 2 − r + 2 p v + v 2 ) = 0. {\displaystyle (-q)^{2}-4(p+2v)(p^{2}-r+2pv+v^{2})=0.} (17)
Równanie (17) można zapisać w postaci równania trzeciego stopnia względem v {\displaystyle v}
( q 2 − 4 p 3 + 4 p r ) + ( − 16 p 2 + 8 r ) v − 20 p v 2 − 8 v 3 = 0 , {\displaystyle (q^{2}-4p^{3}+4pr)+(-16p^{2}+8r)v-20pv^{2}-8v^{3}=0,} (18)
które można rozwiązać metodami del Ferro i Tartaglii. Zatem przy v {\displaystyle v} będącym rozwiązaniem tego równania, wyrażenie
( p + 2 v ) u 2 − q u + ( p 2 − r + 2 p v + v 2 ) {\displaystyle (p+2v)u^{2}-qu+(p^{2}-r+2pv+v^{2})} jest pełnym kwadratem i równanie (2) zostaje zredukowane do:
( u 2 + p + v ) 2 = ( p + 2 v ) ( u − q 2 ( p + 2 v ) ) 2 . {\displaystyle (u^{2}+p+v)^{2}=(p+2v)\left(u-{\frac {q}{2(p+2v)}}\right)^{2}.} Powyższe równanie jest więc redukowalne do równań kwadratowych (wystarczy skorzystać ze wzoru na różnicę kwadratów):
( u 2 − p + 2 v ⋅ u + p + v + q 2 p + 2 v ) ( u 2 + p + 2 v ⋅ u + p + v − q 2 p + 2 v ) = 0. {\displaystyle \left(u^{2}-{\sqrt {p+2v}}\cdot u+p+v+{\tfrac {q}{2{\sqrt {p+2v}}}}\right)\left(u^{2}+{\sqrt {p+2v}}\cdot u+p+v-{\tfrac {q}{2{\sqrt {p+2v}}}}\right)=0.}