Podgrupa Frattiniego – Wikipedia, wolna encyklopedia

Podgrupa Frattiniegoczęść wspólna wszystkich maksymalnych podgrup danej grupy. W przypadku gdy dana grupa nie posiada podgrup maksymalnych, jest ona równa swojej podgrupie Frattiniego. Często stosuje się równoznaczną definicję tej podgrupy jako zbioru elementów niegenerujących.

Definicja

[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie grupą. jest podgrupą maksymalną jeśli nie istnieje taka grupa że Podgrupą Frattiniego nazywamy część wspólną wszystkich podgrup maksymalnych

Zbiór elementów niegenerujących

[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie zbiorem wszystkich elementów niegenerujących w tj. takich że jeżeli pozdzbiór zawierający generuje to też generuje Wówczas zbiór pokrywa się z

Dowód

Jeśli nie zawiera podgrup maksymalnych – inkluzja jest oczywista. Niech Niech będzie podgrupą maksymalną. Jeśli to ( jest podgrupą maksymalną nie zawierającą zatem wspólnie generują całą przestrzeń). Ale co stoi w sprzeczności z tym, że jest elementem niegenerującym. Czyli musi należeć do każdej podgrupy maksymalnej. Stąd

Niech istnieje element który wraz z pewnym zbiorem generuje lecz Na mocy Lematu Kuratowskiego-Zorna istnieją podgrupy maksymalne wśród podgrup zawierających i niezawierających Jest jasne, że wszystkie takie podgrupy są po prostu maksymalne, lecz wówczas zawierają one a wraz z nią element co stoi w sprzeczności z konstrukcją.

Przykłady

[edytuj | edytuj kod]
  • W grupie wszystkie podgrupy generowane przez liczbę pierwszą są maksymalne. Zatem
  • W grupie wszystkie elementy są niegenerujące, dlatego

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne

[edytuj | edytuj kod]
  • publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Frattini subgroup (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].