Identidade trigonométrica é uma identidade que envolve funções trigonométricas , sendo, pois, verdadeira para todos os valores das variáveis envolvidas. Com efeito, ela é útil sempre que expressões que contêm expressões trigonométricas devam ser simplificadas, ou, doutra sorte, substituídas com o propósito de conseguir uma nova transformação, mais útil para dada aplicação. Uma importante aplicação, exemplo notável da técnica de substituição, é a integração de funções não-trigonométricas: um recurso comum envolve primeiro usar a integração por substituição com uma função trigonométrica e então simplificar a integral resultante com uma identidade trigonométrica.
Ângulos são entidades geométricas definidas em geometria euclidiana plana ou tridimensional, podendo ser estendidos para geometrias não-euclidianas. Um ângulo, plano ou não, é caracterizado por sua abertura, e essa abertura pode ser medida. Embora sejam entidades distintas, sob o rigor lógico-matemático, costuma-se, por simplicidade de nomenclatura e notação (e de sentenças pertinentes), empregar o termo "ângulo" por "medida de ângulo", sempre que não houver comprometimento de ideias.
É usual utilizar letras gregas como alfa (α ), beta (β ), theta (θ ) e phi (φ ), ou letras latinas iniciais, como "a ", "b ", "c " etc., ou medianas ("m ", "n ", "p " etc.), para representar medidas de ângulos , que sejam conhecidos por generalidade e por princípio (a priori ). Contudo, quando expressões matemáticas, que são sentenças lógico-matemáticas, envolverem medidas de ângulo como quantidades variáveis (variáveis matemáticas ), devem-se preferir "x ", "y ", "z " etc., conforme convenção para variáveis. Assim, ao se escreverem expressões que representam relações , funções , igualdades , identidades ou equações com um ou mais argumento variável , os símbolos convencionais adequados a essa aplicação ("x ", "y ", "z " etc.) devem-se utilizar.
Várias unidades de ângulo são largamente utilizadas, incluindo grau , radiano e grado , além de reto , correspondente à medida de um ângulo reto :
1 volta completa = 360 graus = 2 π {\displaystyle \pi } radianos = 400 grados = 4 retos. A tabela a seguir mostra as conversões para alguns ângulos comuns:
Graus 30° 60° 120° 150° 210° 240° 300° 330° Radianos π 6 {\displaystyle {\frac {\pi }{6}}} π 3 {\displaystyle {\frac {\pi }{3}}} 2 π 3 {\displaystyle {\frac {2\pi }{3}}} 5 π 6 {\displaystyle {\frac {5\pi }{6}}} 7 π 6 {\displaystyle {\frac {7\pi }{6}}} 4 π 3 {\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}} 5 π 3 {\displaystyle {\frac {5\pi }{3}}} 11 π 6 {\displaystyle {\frac {11\pi }{6}}} Grados 33⅓ grados 66⅔ grados 133⅓ grados 166⅔ grados 233⅓ grados 266⅔ grados 333⅓ grados 366⅔ grados Graus 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360° Radianos π 4 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}} π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} 3 π 4 {\displaystyle {\frac {3\pi }{4}}} π {\displaystyle \pi } 5 π 4 {\displaystyle {\frac {5\pi }{4}}} 3 π 2 {\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}} 7 π 4 {\displaystyle {\frac {7\pi }{4}}} 2 π {\displaystyle 2\pi } Grados 50 grados 100 grados 150 grados 200 grados 250 grados 300 grados 350 grados 400 grados
As funções trigonométricas básicas são o seno e o cosseno de um ângulo , justamente porque se pode escrever qualquer outra função trigonométric a a partir das funções seno e cosseno . A notação utilizada para essas funções é sen ( θ ) {\displaystyle \operatorname {sen} \left(\theta \right)} e cos ( θ ) {\displaystyle \cos \left(\theta \right)} , respectivamente, onde θ {\displaystyle \theta } é o ângulo. Todavia as parênteses podem ser omitidas, ficando da seguinte forma: sen θ {\displaystyle \operatorname {sen} \theta } e cos θ {\displaystyle \cos \theta } .
A função tangente (escreve-se " tan θ {\displaystyle {\text{tan}}\ \theta } " ou " tg θ {\displaystyle {\text{tg}}\ \theta } " ) de um ângulo é a razão entre seno e o cosseno do mesmo ângulo :
tan θ = sen θ cos θ {\displaystyle \tan \theta ={\frac {\operatorname {sen} \theta }{\cos \theta }}} .
Finalmente, as funções trigonométricas de razão recíproca, secante ( sec {\displaystyle \sec } ), cossecante ( csc {\displaystyle \csc } ) e cotangente ( cot {\displaystyle \cot } ), das funções cosseno , seno e tangente , respectivamente:
cot θ = 1 tan θ = cos θ sen θ {\displaystyle \cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}={\frac {\cos \theta }{\operatorname {sen} \theta }}} ; sec θ = 1 cos θ {\displaystyle \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}} ; csc θ = 1 sen θ {\displaystyle \csc \theta ={\frac {1}{\operatorname {sen} \theta }}} . Tabela de Trigonometria da Cyclopaedia (1728) As funções trigonométricas inversas são funções inversas parciais. Por exemplo a função inversa de seno é a função arco seno, denotada por arcsen {\displaystyle {\text{arcsen}}} ou por sen − 1 {\displaystyle \operatorname {sen} ^{-1}} (essa ultima notação é pouco utilizada, pois costuma gerar confusão entre a função arcoseno e cossecante). Essas funções são utilizadas quando temos uma relação trigonométrica conhecida e deseja-se descobrir o ângulo que resulta em tal relação.
Por exemplo: sabendo-se que o sen 60 ∘ = sen ( π 3 ) = 3 2 {\displaystyle \operatorname {sen} 60^{\circ }=\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{3}}\right)={\frac {\sqrt {3}}{2}}} , podemos dizer que arcsen ( 3 2 ) = π 3 {\displaystyle {\text{arcsen}}\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)={\frac {\pi }{3}}} .
Assim observa-se que, para essas funções, deve valer: sen ( arcsen ) = x para | x | ≤ 1 {\displaystyle \operatorname {sen}(\operatorname {arcsen} )=x\quad {\text{para}}\quad |x|\leq 1} e arcsen ( sen x ) = x para | x | ≤ π / 2 {\displaystyle \operatorname {arcsen} (\operatorname {sen} x)=x\quad {\text{para}}\quad |x|\leq \pi /2} A tabela a seguir mostra as funções trigonométricas e suas respectivas inversas:
Função Trigonométrica Seno Cosseno Tangente Secante Cossecante Cotangente Notação sen {\displaystyle \operatorname {sen} } cos {\displaystyle \cos } tan {\displaystyle \tan } sec {\displaystyle \sec } csc {\displaystyle \csc } cot {\displaystyle \cot } Função Inversa Arco seno Arco cosseno Arco tangente Arco secante Arco cossecante Arco cotangente Notação arcsen {\displaystyle {\text{arcsen}}} arccos {\displaystyle {\text{arccos}}} arctan {\displaystyle {\text{arctan}}} arcsec {\displaystyle \operatorname {arcsec} } arccsc {\displaystyle {\text{arccsc}}} arccot {\displaystyle {\text{arccot}}}
Existem diversas relações entre as funções trigonométricas . Essas relações são conhecidas como identidades trigonométricas ou identidades pitagóricas, justamente porque todas elas partem das relações estabelecidas pelo teorema de pitágoras .
A relação básica entre seno e cosseno é cos 2 θ + sen 2 θ = 1 , {\displaystyle \cos ^{2}\theta +\operatorname {sen} ^{2}\theta =1,} conhecida como Identidade Trigonométrica Fundamental , pois é a mais básica identidade pitagórica.
Esta identidade pode ser deduzida através do Teorema de Pitágoras , o que será demonstrado adiante.
Também existem outras duas identidades: tan 2 α + 1 = sec 2 α {\displaystyle \tan ^{2}\alpha +1=\sec ^{2}\alpha } e tan 2 α + 1 = sec 2 α , {\displaystyle \tan ^{2}\alpha +1=\sec ^{2}\alpha ,} que são corolários da identidade trigonométrica fundamental.
Assim, existem três identidades pitagóricas:
cos 2 θ + sen 2 θ = 1 {\displaystyle \cos ^{2}\theta +\operatorname {sen} ^{2}\theta =1} tan 2 α + 1 = sec 2 α {\displaystyle \tan ^{2}\alpha +1=\sec ^{2}\alpha } cot 2 α + 1 = csc 2 α {\displaystyle \cot ^{2}\alpha +1=\csc ^{2}\alpha } Abaixo temos as demonstrações dessas identidades e, após, um quadro que relaciona todas as identidades à função trigonométrica que se deseja obter. Relação entre seno e cosseno no círculo trigonométrico Vamos demonstração a relação fundamental:
sen 2 α + cos 2 α = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen} ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha &=1\end{aligned}}}
Seja o triângulo retângulo ACH, com catetos A C ¯ {\displaystyle {\overline {AC}}} e C H ¯ {\displaystyle {\overline {CH}}} e hipotenusa A H ¯ , {\displaystyle {\overline {AH}},} observa-se, como já foi demonstrado anteriormente que: A C ¯ = cos α , {\displaystyle {\overline {AC}}\,\!=\cos \alpha ,} C H ¯ = sen α {\displaystyle {\overline {CH}}\,\!=\operatorname {sen} \alpha } e A H ¯ = 1. {\displaystyle {\overline {AH}}\,\!=1.}
Aplicando o teorema de Pitágoras:
( A C ¯ ) 2 + ( C H ¯ ) 2 = ( A H ¯ ) 2 ⇒ ( cos α ) 2 + ( sen α ) 2 = 1 2 . {\displaystyle ({\overline {AC}})^{2}+({\overline {CH}})^{2}=({\overline {AH}})^{2}\Rightarrow (\cos \alpha )^{2}+(\operatorname {sen} \alpha )^{2}=1^{2}.}
Logo: sen 2 α + cos 2 α = 1 . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen} ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha &=1\end{aligned}}.}
Vamos demonstrar o seguinte corolário:
Relação entre secante e tangente no círculo trigonométrico tan 2 α + 1 = sec 2 α {\displaystyle \tan ^{2}\alpha +1=\sec ^{2}\alpha }
Seja o triângulo retângulo ADF, com catetos A D ¯ {\displaystyle {\overline {AD}}} e D F ¯ {\displaystyle {\overline {DF}}} e hipotenusa A F ¯ , {\displaystyle {\overline {AF}},} observa-se, como já foi demonstrado anteriormente que: A D ¯ = 1 , {\displaystyle {\overline {AD}}\,\!=1,} D F ¯ = tan α {\displaystyle {\overline {DF}}\,\!=\tan \alpha } e A F ¯ = sec α . {\displaystyle {\overline {AF}}\,\!=\sec \alpha .}
Aplicando o teorema de Pitágoras:
( A D ¯ ) 2 + ( D F ¯ ) 2 = ( A F ¯ ) 2 ⇒ 1 2 + ( tan α ) 2 = ( sec α ) 2 . {\displaystyle ({\overline {AD}})^{2}+({\overline {DF}})^{2}=({\overline {AF}})^{2}\Rightarrow 1^{2}+(\tan \alpha )^{2}=(\sec \alpha )^{2}.}
Logo: tan 2 α + 1 = sec 2 α . {\displaystyle \tan ^{2}\alpha +1=\sec ^{2}\alpha .}
É possível demonstrar esse corolário através da relação fundamental dividindo todos os termos por cos 2 α , {\displaystyle \cos ^{2}\alpha ,} da seguinte forma:
sen 2 α + cos 2 α = 1 → sen 2 α cos 2 α + cos 2 α cos 2 α = 1 cos 2 α → tan 2 α + 1 = sec 2 α {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen} ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha &=1\rightarrow {\operatorname {sen} ^{2}\alpha \over \cos ^{2}\alpha }+{\cos ^{2}\alpha \over \cos ^{2}\alpha }={1 \over \cos ^{2}\alpha }\rightarrow \operatorname {tan} ^{2}\alpha +1=\operatorname {sec} ^{2}\alpha \end{aligned}}}
Vamos demonstrar o seguinte corolário:
Relação entre cossecante e cotangente no círculo trigonométrico 1 + cot 2 α = csc 2 α {\displaystyle 1+\cot ^{2}\alpha =\csc ^{2}\alpha }
Seja o triângulo retângulo AEG, com catetos A E ¯ {\displaystyle {\overline {AE}}} e E G ¯ {\displaystyle {\overline {EG}}} e hipotenusa A G ¯ , {\displaystyle {\overline {AG}},} observa-se, como já foi demonstrado anteriormente que: A E ¯ = 1 , {\displaystyle {\overline {AE}}\,\!=1,} E G ¯ = cot α {\displaystyle {\overline {EG}}\,\!=\cot \alpha } e A G ¯ = csc α . {\displaystyle {\overline {AG}}\,\!=\csc \alpha .}
Aplicando o teorema de Pitágoras:
( A E ¯ ) 2 + ( E G ¯ ) 2 = ( A G ¯ ) 2 ⇒ 1 2 + ( cot α ) 2 = ( csc α ) 2 . {\displaystyle ({\overline {AE}})^{2}+({\overline {EG}})^{2}=({\overline {AG}})^{2}\Rightarrow 1^{2}+(\cot \alpha )^{2}=(\csc \alpha )^{2}.}
Logo: 1 + cot 2 α = csc 2 α . {\displaystyle 1+\cot ^{2}\alpha =\csc ^{2}\alpha .}
Ou, comutativamente: cot 2 α + 1 = csc 2 α . {\displaystyle \cot ^{2}\alpha +1=\csc ^{2}\alpha .}
É possível demonstrar esse corolário através da relação fundamental dividindo todos os termos por sen 2 α , {\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}\alpha ,} da seguinte forma:
sen 2 α + cos 2 α = 1 → sen 2 α sen 2 α + cos 2 α sen 2 α = 1 sen 2 α → 1 + cot 2 α = csc 2 α {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen} ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha &=1\rightarrow {\operatorname {sen} ^{2}\alpha \over \operatorname {sen} ^{2}\alpha }+{\cos ^{2}\alpha \over \operatorname {sen} ^{2}\alpha }={1 \over \operatorname {sen} ^{2}\alpha }\rightarrow {1+\operatorname {cot} ^{2}\alpha }=\operatorname {csc} ^{2}\alpha \end{aligned}}}
Tendo em mente esses dois resultados podemos ainda demonstrar as seguintes relações:
cos 2 α = 1 sec 2 α {\displaystyle {\begin{aligned}\cos ^{2}\alpha ={1 \over \sec ^{2}\alpha }\end{aligned}}} e sec 2 α = tan 2 α + 1 ⇒ cos 2 α = 1 tan 2 α + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\sec ^{2}\alpha =\tan ^{2}\alpha +1\Rightarrow \cos ^{2}\alpha ={1 \over \tan ^{2}\alpha +1}\end{aligned}}}
sen 2 α = sen 2 α → sen 2 α = s e n 2 α . cos 2 α cos 2 α = cos 2 α . tan 2 α = tan 2 α . 1 t a n 2 α + 1 ⇒ sen 2 α = tan 2 α tan 2 α + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}{\operatorname {sen} ^{2}\alpha =\operatorname {sen} ^{2}\alpha }\rightarrow \operatorname {sen} ^{2}\alpha =sen^{2}\alpha .{\cos ^{2}\alpha \over \cos ^{2}\alpha }=\cos ^{2}\alpha .\tan ^{2}\alpha =\tan ^{2}\alpha .{1 \over {tan^{2}\alpha +1}}\Rightarrow \operatorname {sen} ^{2}\alpha ={\tan ^{2}\alpha \over {\tan ^{2}\alpha +1}}\end{aligned}}} [ 1]
Lista de relações entre funções trigonométricas.[ 2] relacionado a sen θ {\displaystyle \operatorname {sen} \theta } cos θ {\displaystyle \cos \theta } tan θ {\displaystyle \tan \theta } csc θ {\displaystyle \csc \theta } sec θ {\displaystyle \sec \theta } cot θ {\displaystyle \cot \theta } sen θ = {\displaystyle \operatorname {sen} \theta =} sen θ {\displaystyle \operatorname {sen} \theta } ± 1 − cos 2 θ {\displaystyle \pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}} ± tan θ 1 + tan 2 θ {\displaystyle \pm {\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}} 1 csc θ {\displaystyle {\frac {1}{\csc \theta }}} ± sec 2 θ − 1 sec θ {\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}{\sec \theta }}} ± 1 1 + cot 2 θ {\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}} cos θ = {\displaystyle \cos \theta =} ± 1 − sen 2 θ {\displaystyle \pm {\sqrt {1-\operatorname {sen} ^{2}\theta }}} cos θ {\displaystyle \cos \theta } ± 1 1 + tan 2 θ {\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}} ± csc 2 θ − 1 csc θ {\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta }}} 1 sec θ {\displaystyle {\frac {1}{\sec \theta }}} ± cot θ 1 + cot 2 θ {\displaystyle \pm {\frac {\cot \theta }{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}} tan θ = {\displaystyle \tan \theta =} ± sen θ 1 − sen 2 θ {\displaystyle \pm {\frac {\operatorname {sen} \theta }{\sqrt {1-\operatorname {sen} ^{2}\theta }}}} ± 1 − cos 2 θ cos θ {\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta }}} tan θ {\displaystyle \tan \theta } ± 1 csc 2 θ − 1 {\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}} ± sec 2 θ − 1 {\displaystyle \pm {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}} 1 cot θ {\displaystyle {\frac {1}{\cot \theta }}} csc θ = {\displaystyle \csc \theta =} 1 sen θ {\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {sen} \theta }}} ± 1 1 − cos 2 θ {\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}} ± 1 + tan 2 θ tan θ {\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}{\tan \theta }}} csc θ {\displaystyle \csc \theta } ± sec θ sec 2 θ − 1 {\displaystyle \pm {\frac {\sec \theta }{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}} ± 1 + cot 2 θ {\displaystyle \pm {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}} sec θ = {\displaystyle \sec \theta =} ± 1 1 − sen 2 θ {\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1-\operatorname {sen} ^{2}\theta }}}} 1 cos θ {\displaystyle {\frac {1}{\cos \theta }}} ± 1 + tan 2 θ {\displaystyle \pm {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}} ± csc θ csc 2 θ − 1 {\displaystyle \pm {\frac {\csc \theta }{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}} sec θ {\displaystyle \sec \theta } ± 1 + cot 2 θ cot θ {\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}{\cot \theta }}} cot θ = {\displaystyle \cot \theta =} ± 1 − sen 2 θ sen θ {\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1-\operatorname {sen} ^{2}\theta }}{\operatorname {sen} \theta }}} ± cos θ 1 − cos 2 θ {\displaystyle \pm {\frac {\cos \theta }{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}} 1 tan θ {\displaystyle {\frac {1}{\tan \theta }}} ± csc 2 θ − 1 {\displaystyle \pm {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}} ± 1 sec 2 θ − 1 {\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}} cot θ {\displaystyle \cot \theta }
Na tabela a seguir temos as relações de simetria entre diferentes tipos de ângulos e suas funções trigonométricas e em seguida suas devidas explicações e demonstrações.
Ângulos replementares[ 3] Ângulos complementares[ 4] Ângulos suplementares sen ( − θ ) = − sen θ cos ( − θ ) = + cos θ tan ( − θ ) = − tan θ csc ( − θ ) = − csc θ sec ( − θ ) = + sec θ cot ( − θ ) = − cot θ {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen}(-\theta )&=-\operatorname {sen} \theta \\\cos(-\theta )&=+\cos \theta \\\tan(-\theta )&=-\tan \theta \\\csc(-\theta )&=-\csc \theta \\\sec(-\theta )&=+\sec \theta \\\cot(-\theta )&=-\cot \theta \end{aligned}}} sen ( π 2 − θ ) = + cos θ cos ( π 2 − θ ) = + sen θ tan ( π 2 − θ ) = + cot θ csc ( π 2 − θ ) = + sec θ sec ( π 2 − θ ) = + csc θ cot ( π 2 − θ ) = + tan θ {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen}({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\cos \theta \\\cos({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\operatorname {sen} \theta \\\tan({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\cot \theta \\\csc({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\sec \theta \\\sec({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\csc \theta \\\cot({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\tan \theta \end{aligned}}} sen ( π − θ ) = + sen θ cos ( π − θ ) = − cos θ tan ( π − θ ) = − tan θ csc ( π − θ ) = + csc θ sec ( π − θ ) = − sec θ cot ( π − θ ) = − cot θ {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen}(\pi -\theta )&=+\operatorname {sen} \theta \\\cos(\pi -\theta )&=-\cos \theta \\\tan(\pi -\theta )&=-\tan \theta \\\csc(\pi -\theta )&=+\csc \theta \\\sec(\pi -\theta )&=-\sec \theta \\\cot(\pi -\theta )&=-\cot \theta \\\end{aligned}}}
Chamamos de ângulo replementar o ângulo que, somado a outro, resulta em 360 ∘ {\displaystyle 360^{\circ }} ou 2 π rad {\displaystyle 2\pi \ {\text{rad}}} .
A seguir temos as explicações dessas relações e ao lado temos as verificações geométricas.
Verificação Geométrica da simetria entre seno e cosseno no círculo trigonométrico unitário Para seno e cosseno de ângulos replementares temos as relações:
sen ( − θ ) = − sen θ {\displaystyle \operatorname {sen}(-\theta )=-\operatorname {sen} \theta } , ou seja,os senos de dois ângulos replementares são iguais, porém com sinais opostos; cos ( − θ ) = + cos θ {\displaystyle \cos(-\theta )=+\cos \theta } , ou seja, os cossenos de dois ângulos replementares são iguais. Na figura ao lado temos a verificação geométrica dessas propriedades e a abaixo as demonstrações.
A demonstração de cos ( − θ ) = + cos θ {\displaystyle \cos(-\theta )=+\cos \theta } é trivial, pois ambos são coincidentes (ambos são o mesmo segmento ) o que pode ser observado na figura ao lado.
Para demonstrar que sen ( − θ ) = − sen θ {\displaystyle \operatorname {sen}(-\theta )=-\operatorname {sen} \theta } partiremos de congruência de triângulos.
Seja os ângulos θ {\displaystyle \theta } e − θ {\displaystyle -\theta } no ciclo trigonométrico unitário, conforme vemos na figura ao lado, temos:
Δ A B D ≡ Δ A D C ( L A L ) ⟹ A E ¯ ≡ A F ¯ {\displaystyle \Delta {ABD}\equiv \Delta {ADC}\qquad \left(LAL\right)\qquad \Longrightarrow {\overline {AE}}\equiv {\overline {AF}}}
Com base nisso e sabendo que A F ¯ = sen ( − θ ) {\displaystyle {\overline {AF}}=\operatorname {sen} \left(-\theta \right)} teríamos que sen ( − θ ) = sen θ {\displaystyle \operatorname {sen} \left(-\theta \right)=\operatorname {sen} \theta } , uma vez que A E ¯ = sen θ {\displaystyle {\overline {AE}}=\operatorname {sen} \theta } .
Porém, pela definição de seno no ciclo trigonométrico temos que sen ( − θ ) = − sen θ {\displaystyle \operatorname {sen} \left(-\theta \right)=-\operatorname {sen} \theta } , uma vez que o seno no 3° e no 4° quadrante são negativos.
Logo temos que sen ( − θ ) = − sen θ {\displaystyle \operatorname {sen} \left(-\theta \right)=-\operatorname {sen} \theta } e cos ( − θ ) = + cos θ {\displaystyle \cos(-\theta )=+\cos \theta } .
Para a tangente de ângulos replementares temos a relação:
tan ( − θ ) = − tan θ {\displaystyle \tan \left(-\theta \right)=-\tan \theta } , ou seja, as tangentes de dois ângulos replementares são iguais, porém com sinais opostos. Representação geométrica da simetria entre tangente de ângulos replementares. Na figura ao lado temos a verificação geométrica dessa propriedade e abaixo temos a demonstração algébrica.
Para demonstrar que tan ( − θ ) = − tan θ {\displaystyle \tan \left(-\theta \right)=-\tan \theta } , partiremos da relação entre seno e cosseno .
Temos, pela definição de tangente, que a tangente de um ângulo é a razão entre o seno e cosseno do mesmo ângulo.
Assim, temos que:
tan ( − θ ) = sen ( − θ ) cos ( − θ ) = − sen θ + cos θ = − tan θ {\displaystyle \tan \left(-\theta \right)={\frac {\operatorname {sen} \left(-\theta \right)}{\cos \left(-\theta \right)}}={\frac {-\operatorname {sen} \theta }{+\cos \theta }}=-\tan \theta }
Logo tan ( − θ ) = − tan θ {\displaystyle \tan \left(-\theta \right)=-\tan \theta } .
Para a cossecante e secante de ângulos replementares temos as relações:
csc ( − θ ) = − csc θ {\displaystyle \csc(-\theta )=-\csc \theta } , ou seja, as cossecantes de dois ângulos replementares são iguais, porém com sinais opostos; sec ( − θ ) = + sec θ {\displaystyle \sec(-\theta )=+\sec \theta } , ou seja, as secantes de dois ângulos replementares são iguais. Na figura ao lado temos a verificação geométrica dessas propriedades abaixo temos as demonstrações algébricas.
Verificação geométrica da simetria entre secante e cossecante de ângulos replementares Para demonstrar que csc ( − θ ) = − csc θ {\displaystyle \csc(-\theta )=-\csc \theta } , partiremos da relação de simetria do seno.
Temos, pela definição de cossecante, que a cossecante de um ângulo é o inverso multiplicativo do seno do mesmo ângulo.
Assim, temos que:
csc ( − θ ) = 1 sen ( − θ ) = 1 − sen θ = − csc θ {\displaystyle \csc \left(-\theta \right)={\frac {1}{\operatorname {sen} \left(-\theta \right)}}={\frac {1}{-\operatorname {sen} \theta }}=-\csc \theta }
Logo csc ( − θ ) = − csc θ {\displaystyle \csc(-\theta )=-\csc \theta } .
Para demonstrar que sec ( − θ ) = + sec θ {\displaystyle \sec(-\theta )=+\sec \theta } , partiremos da relação de simetria do cosseno.
Temos, pela definição de secante, que a secante de um ângulo é o inverso multiplicativo do cosseno do mesmo ângulo.
Assim, temos que:
sec ( − θ ) = 1 cos ( − θ ) = 1 + cos θ = + sec θ {\displaystyle \sec \left(-\theta \right)={\frac {1}{\cos \left(-\theta \right)}}={\frac {1}{+\cos \theta }}=+\sec \theta } .
Logo sec ( − θ ) = + sec θ {\displaystyle \sec(-\theta )=+\sec \theta } .
Verificação geométrica da simetria entre cotangente de ângulos replementares Para a cotangente de ângulos replementares temos a relação:
cot ( − θ ) = − cot θ {\displaystyle \cot \left(-\theta \right)=-\cot \theta } , ou seja, as cotangentes de dois ângulos replementares são iguais, porém com sinais opostos. Na figura ao lado temos a verificação geométrica dessa propriedade e abaixo temos a demonstração algébrica.
Para demonstrar que cot ( − θ ) = − cot θ {\displaystyle \cot \left(-\theta \right)=-\cot \theta } é possível partir da relação de simetria entre tangente ou da relação de simetria entre seno e cosseno.
Utilizaremos aqui relação de simetria entre tangente.
Temos, pela definição de cotangente, que a cotangente de um ângulo é o inverso multiplicativo da tangente do mesmo ângulo.
Assim, temos que:
cot ( − θ ) = 1 tan ( − θ ) = 1 − tan θ = − cot θ {\displaystyle \cot \left(-\theta \right)={\frac {1}{\tan \left(-\theta \right)}}={\frac {1}{-\tan \theta }}=-\cot \theta } .
Logo cot ( − θ ) = − cot θ {\displaystyle \cot \left(-\theta \right)=-\cot \theta } .[ 5]
Chamamos o ângulo complementar um ângulo que, quando somado a outro, resulta em 90 ∘ {\displaystyle 90^{\circ }} ou π 2 rad {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\ {\text{rad}}} .
A seguir temos as explicações e demonstrações dessas relações e suas verificações geométricas.
Para seno e cosseno de ângulos complementares temos as seguintes relações:
sen ( π 2 − θ ) = cos θ {\displaystyle \operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cos \theta } , ou seja, o cosseno de um ângulo é igual ao seno do seu complementar (ou vice-versa);
cos ( π 2 − θ ) = sen θ {\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\operatorname {sen} \theta } , ou seja, o seno de um ângulo é igual ao cosseno de seu complementar (ou vice versa).
Triângulo retângulo qualquer Na figura ao lado temos a verificação geométrica dessa propriedade e abaixo temos suas demonstrações
Essa primeira demonstração se limita para ângulos agudos, pois utiliza a relação entre o seno e o cosseno dos ângulos não retos de um triângulo retângulo qualquer.
Para essa demonstração, então, utilizaremos o triângulo retângulo ao lado.
Nesse triângulo observamos que os ângulos não retos são complementares, pois a soma de todos os ângulos de um triângulo é 180 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }} .
Assim, primeiramente, vamos analisar as relações trigonométricas relativas ao ângulo θ {\displaystyle \theta } e, em seguida, analisar as relações trigonométricas relativas ao ângulos 90 ∘ − θ {\displaystyle 90^{\circ }-\theta } :
sen θ = b a e cos θ = c a {\displaystyle \operatorname {sen} \theta ={\frac {b}{a}}\qquad {\text{e}}\qquad \cos \theta ={\frac {c}{a}}} ;
cos ( π 2 − θ ) = b a e sen ( π 2 − θ ) = c a {\displaystyle {\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {b}{a}}}\qquad {\text{e}}\qquad {\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {c}{a}}}} .
Assim, conforme observamos nas relações acima temos:
sen θ = b a = cos ( π 2 − θ ) ⟹ cos ( π 2 − θ ) = sen θ {\displaystyle \operatorname {sen} \theta ={\frac {b}{a}}=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\qquad \Longrightarrow \qquad {\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\operatorname {sen} \theta }}
e
cos θ = c a = sen ( π 2 − θ ) ⟹ sen ( π 2 − θ ) = cos θ {\displaystyle \cos \theta ={\frac {c}{a}}=\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\qquad \Longrightarrow \qquad {\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cos \theta }} .
Assim, demonstramos a relação de simetria entre seno e cosseno de ângulos agudos e complementares.[ 6]
Queremos demonstrar que sen ( π 2 − θ ) = cos θ {\displaystyle \operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cos \theta } e cos ( π 2 − θ ) = sen θ {\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\operatorname {sen} \theta } .
Para isso partiremos dos triângulo s △ ADE {\displaystyle \triangle {\text{ADE}}} e △ ACB {\displaystyle \triangle {\text{ACB}}} .
Observe que nesses triângulos temos as seguintes relações:
Verificação geométrica da congruência de triângulos para seno e cosseno e ângulos complementares. △ ADE { AD = 1 ED = cos ( π 2 − θ ) AE = sen ( π 2 − θ ) D A ^ E = θ A E ^ D = 90 ∘ {\displaystyle \triangle {\text{ADE}}\quad {\begin{cases}{\text{AD}}=1\\{\text{ED}}=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\{\text{AE}}=\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\D{\hat {A}}E=\theta \\A{\hat {E}}D=90^{\circ }\end{cases}}}
e
△ ACB { AB = 1 AC = cos θ BC = sen θ C A ^ B = θ A C ^ B = 90 ∘ {\displaystyle \triangle {\text{ACB}}\quad {\begin{cases}{\text{AB}}=1\\{\text{AC}}=\cos \theta \\{\text{BC}}=\operatorname {sen} \theta \\C{\hat {A}}B=\theta \\A{\hat {C}}B=90^{\circ }\end{cases}}}
Assim, com base nessas relações observamos que os dois triângulos são congruentes pelo caso de congruência lado, ângulo e ângulo oposto ao lado.[ 7] :
AD ≡ AB e D A ^ E ≡ C A ^ B e A E ^ D ≡ A C ^ B ⇒ △ ADE ≡ △ ACB ( L A A 0 ) ⟹ { ED ≡ BC AE ≡ AC {\displaystyle {\text{AD}}\equiv {\text{AB}}\quad {\text{e}}\quad D{\hat {A}}E\equiv {C{\hat {A}}B}\quad {\text{e}}\quad A{\hat {E}}D\equiv {A{\hat {C}}B}\Rightarrow \quad \triangle {\text{ADE}}\equiv \triangle {\text{ACB}}\quad \left(LAA_{0}\right)\Longrightarrow {\begin{cases}{\text{ED}}\equiv {\text{BC}}\\{\text{AE}}\equiv {\text{AC}}\end{cases}}}
Nessa congruência de triângulos chegamos ás seguintes conclusões:
Verificação da simetria entre cotangente de um ângulo e seu complementar. ED ≡ BC ⟺ cos ( π 2 − θ ) = sen θ {\displaystyle {\text{ED}}\equiv {\text{BC}}\Longleftrightarrow \cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\operatorname {sen} \theta }
e
AE ≡ AC ⟺ sen ( π 2 − θ ) = cos θ {\displaystyle {\text{AE}}\equiv {\text{AC}}\Longleftrightarrow \operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cos \theta } .
Assim demonstramos a relação de de simetria entre seno e cosseno de ângulos complementares.
Verificação geométrica da relação de simetria entre a tangente de um ângulo e seu complementar Para a relação de simetria entre tangente e cotangente de ângulos complementares temos as seguintes relações:
tan ( π 2 − θ ) = cot θ {\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cot \theta } , ou seja, a cotangente de um ângulo é igual a tangente de seu complementar; cot ( π 2 − θ ) = tan θ {\displaystyle \cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\tan \theta } , ou seja, a tangente de um ângulo é igual a cotangente de seu complementar. Na figura ao lado temos a verificação geométrica dessas relações e, em seguida, suas demonstrações.
Queremos demonstrar que tan ( π 2 − θ ) = cot θ {\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cot \theta } e que cot ( π 2 − θ ) = tan θ {\displaystyle \cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\tan \theta } .
Para isso partiremos das definições de tangente e cotangente e das relações de simetria entre seno e cosseno de ângulos complementares.
Pela definição de tangente, temos que a tangente de um ângulo pode ser expressa pela razão entre o seno e cosseno do mesmo ângulo.
Dessa forma, temos:
tan ( π 2 − θ ) = sen ( π 2 − θ ) cos ( π 2 − θ ) = cos θ sen θ = cot θ {\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)}{\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)}}={\frac {\cos \theta }{\operatorname {sen} \theta }}=\cot \theta } , pois a cotangente de um ângulo é igual a razão entre o cosseno e o seno do mesmo ângulo.
Para demonstrarmos que cot ( π 2 − θ ) = tan θ {\displaystyle \cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\tan \theta } partiremos da definição de tangente como inverso multiplicativo da cotangente.
Assim, temos:
cot ( π 2 − θ ) = 1 tan ( π 2 − θ ) = 1 cot θ = tan θ {\displaystyle \cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\tan \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)}}={\frac {1}{\cot \theta }}=\tan \theta } .
Logo tan ( π 2 − θ ) = cot θ {\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cot \theta } e cot ( π 2 − θ ) = tan θ {\displaystyle \cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\tan \theta } .
Verificação geométrica da relação de simetria entre secante de um ângulo e seu complementar Para a relação de simetria entre secante e cossecante de ângulos complementares temos as seguintes relações:
sec ( π 2 − θ ) = csc θ {\displaystyle \sec \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\csc \theta } , ou seja, a cossecante de um ângulo é igual a secante de seu complementar; csc ( π 2 − θ ) = sec θ {\displaystyle \csc \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sec \theta } , ou seja, a secante de um ângulo é igual a cossecante de seu complementar. Na figura ao lado temos a verificação geométrica dessas relações e, em seguida, suas demonstrações.
Queremos demonstrar que sec ( π 2 − θ ) = csc θ {\displaystyle \sec \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\csc \theta } e que csc ( π 2 − θ ) = sec θ {\displaystyle \csc \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sec \theta } .
Para isso partiremos das definições de secante e cossecante como inversos multiplicativos do cosseno e do seno, respectivamente. Após isso aplicaremos as relações já demonstradas de seno e cosseno de ângulos complementares.
Assim temos:
Verificação geométrica da relação de simetria entre cossecante de um ângulo e seu complementar. ( I ) sec ( π 2 − θ ) = 1 cos ( π 2 − θ ) = 1 sen θ = csc θ {\displaystyle \left({\text{I}}\right)\qquad {\sec \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)}}={\frac {1}{\operatorname {sen} \theta }}=\csc \theta }} .
e
( II ) csc ( π 2 − θ ) = 1 sen ( π 2 − θ ) = 1 cos θ = sec θ {\displaystyle \left({\text{II}}\right)\qquad {\csc \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)}={\frac {1}{\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)}}={\frac {1}{\cos \theta }}=\sec \theta } .
Em ( I ) {\displaystyle \left({\text{I}}\right)} temos demonstrado a relação da secante de ângulos complementares e em ( II ) {\displaystyle \left({\text{II}}\right)} temos demonstrado a relação da cossecante de ângulos complementares.[ 8]
Chamamos de ângulos suplementares dois ângulos que, somados, resultam em 180 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }} ou π rad {\displaystyle \pi \ {\text{rad}}} .
A seguir temos as explicações dessas relações e suas respectivas demonstrações.
Para a relação de simetria entre seno e cosseno de ângulos suplementares temos as seguintes relações:
sen ( π − θ ) = + sen θ {\displaystyle \operatorname {sen} \left(\pi -\theta \right)=+\operatorname {sen} \theta } , que significa que o seno de um ângulo é igual ao seno de seu suplementar; cos ( π − θ ) = − cos θ {\displaystyle \cos \left(\pi -\theta \right)=-\cos \theta } , que significa que o cosseno de um ângulo é igual ao inverso aditivo do cosseno de seu complementar. A seguir temos a demonstração para essas duas propriedades e suas verificações geométricas.[ 1]
Verificação geométrica da relação existente entre seno e cosseno de ângulos suplementares. Queremos demonstrar que sen ( π − θ ) = sen θ {\displaystyle \operatorname {sen} \left(\pi -\theta \right)=\operatorname {sen} \theta } e cos ( π − θ ) = − cos θ {\displaystyle \cos \left(\pi -\theta \right)=-\cos \theta } .
Para isso partiremos dos triângulos △ ABC {\displaystyle \triangle {\text{ABC}}} e △ ADE {\displaystyle \triangle {\text{ADE}}} da figura ao lado.
Observe que, nesses triângulos, temos as seguintes relações:
△ ABC { AB = 1 AC = cos θ CB = sen θ C A ^ B = θ A C ^ B = 90 ∘ {\displaystyle \triangle {\text{ABC}}\quad {\begin{cases}{\text{AB}}=1\\{\text{AC}}=\cos \theta \\{\text{CB}}=\operatorname {sen} \theta \\C{\hat {A}}B=\theta \\A{\hat {C}}B=90^{\circ }\end{cases}}}
e
△ ADE { AD = 1 AE = | cos ( π − θ ) | ED = sen ( π − θ ) D A ^ E = θ A E ^ D = 90 ∘ {\displaystyle \triangle {\text{ADE}}\quad {\begin{cases}{\text{AD}}=1\\{\text{AE}}=\left|\cos \left(\pi -\theta \right)\right|\\{\text{ED}}=\operatorname {sen} \left(\pi -\theta \right)\\D{\hat {A}}E=\theta \\A{\hat {E}}D=90^{\circ }\end{cases}}}
Assim, com base nessas relações, percebemos que os triângulos são congruentes pelo caso de congruência lado, ângulo e ângulo oposto ao lado. Da seguinte forma:
AD ≡ AB e D A ^ E ≡ C A ^ B e A E ^ D ≡ A C ^ B ⇒ △ ADE ≡ △ ACB ( L A A 0 ) ⟹ { ED ≡ CB AE ≡ AC {\displaystyle {\text{AD}}\equiv {\text{AB}}\quad {\text{e}}\quad D{\hat {A}}E\equiv {C{\hat {A}}B}\quad {\text{e}}\quad A{\hat {E}}D\equiv {A{\hat {C}}B}\Rightarrow \quad \triangle {\text{ADE}}\equiv \triangle {\text{ACB}}\quad \left(LAA_{0}\right)\Longrightarrow {\begin{cases}{\text{ED}}\equiv {\text{CB}}\\{\text{AE}}\equiv {\text{AC}}\end{cases}}}
Logo, a partir dessa congruência de triângulos, temos as seguintes relações:
ED ≡ CB ⟺ sen ( π − θ ) = sen θ {\displaystyle {\text{ED}}\equiv {\text{CB}}\Longleftrightarrow \operatorname {sen} \left(\pi -\theta \right)=\operatorname {sen} \theta }
e
AE ≡ AC ⟺ | cos ( π − θ ) | = cos θ {\displaystyle {\text{AE}}\equiv {\text{AC}}\Longleftrightarrow \left|\cos \left(\pi -\theta \right)\right|=\cos \theta } .
Como π − θ {\displaystyle \pi -\theta } é um ângulo obtuso e que possui imagem no segundo quadrante temos que cos ( π − θ ) {\displaystyle \cos \left(\pi -\theta \right)} é negativo.
Assim, podemos dizer que cos ( π − θ ) = − cos θ {\displaystyle \cos \left(\pi -\theta \right)=-\cos \theta } .
Assim demonstramos a relação existente entre seno e cosseno de ângulos suplementares.
Verificação geométrica da relação existente entre tangente de ângulos suplementares Para tangente e cotangente de ângulos suplementares temos as seguintes relações:
tan ( π − θ ) = − tan θ {\displaystyle \tan \left(\pi -\theta \right)=-\tan \theta } , que significa que a tangente de um ângulo é igual ao inverso aditivo da tangente do seu suplementar; cot ( π − θ ) = − cot θ {\displaystyle \cot \left(\pi -\theta \right)=-\cot \theta } , que significa que a cotangente de um ângulo é igual ao inverso aditivo da cotangente do seu suplementar. Abaixo temos as demonstrações dessas propriedades e suas verificações geométricas.
Para demonstrar essas relações partiremos das já demonstradas relações de simetria entre cosseno e seno de ângulo suplementares.
Assim, temos que sen ( π − θ ) = sen θ {\displaystyle \operatorname {sen} \left(\pi -\theta \right)=\operatorname {sen} \theta } e que cos ( π − θ ) = − cos θ {\displaystyle \cos \left(\pi -\theta \right)=-\cos \theta } .
Escrevendo a tangente como a razão entre seno e cosseno e utilizando estas relações temos o seguinte:
tan ( π − θ ) = sen ( π − θ ) cos ( π − θ ) ⟺ tan ( π − θ ) = sen θ − cos θ = − sen θ cos θ ⟹ tan ( π − θ ) = − tan θ {\displaystyle \tan \left(\pi -\theta \right)={\frac {\operatorname {sen} \left(\pi -\theta \right)}{\cos \left(\pi -\theta \right)}}\Longleftrightarrow \tan \left(\pi -\theta \right)={\frac {\operatorname {sen} \theta }{-\cos \theta }}=-{\frac {\operatorname {sen} \theta }{\cos \theta }}\qquad \Longrightarrow \qquad \tan \left(\pi -\theta \right)=-\tan \theta } .
Logo a tangente de um ângulo é igual ao inverso aditivo da tangente do seu suplementar.
Verificação geométrica da relação existente entre cotangente de ângulos suplementares. Tendo demonstrado essa relação para a tangente fica fácil demonstrá-la para a cotangente, bastando para isso escrever a cotangente como inverso multiplicativo da tangente, da seguinte forma:
cot ( π − θ ) = 1 tan ( π − θ ) = 1 − tan θ = − 1 tan θ = − cot θ ⟹ cot ( π − θ ) = − cot θ {\displaystyle \cot \left(\pi -\theta \right)={\frac {1}{\tan \left(\pi -\theta \right)}}={\frac {1}{-\tan \theta }}=-{\frac {1}{\tan \theta }}=-\cot \theta \qquad \Longrightarrow \qquad \cot \left(\pi -\theta \right)=-\cot \theta } .
Logo a cotangente de um ângulo é igual ao inverso aditivo da cotangente do seu suplementar.[ 1]
Para a secante e cossecante de ângulos suplementares temos as seguintes relações:
sec ( π − θ ) = − sec θ {\displaystyle \sec \left(\pi -\theta \right)=-\sec \theta } , que significa que a secante de um ângulo é igual ao inverso aditivo da secante do seu suplementar; csc ( π − θ ) = + csc θ {\displaystyle \csc \left(\pi -\theta \right)=+\csc \theta } , que significa que a cossecante de um ângulo é igual à cossecante do seu suplementar. Verificação geométrica da relação de simetria entre secante e cossecante de ângulos suplementares. Abaixo temos as demonstrações dessas propriedades e suas verificações geométricas.
Para demonstrar essas relações partiremos das relações de simetria entre seno e cosseno de ângulo suplementares.
Assim, temos:
sec ( π − θ ) = 1 cos ( π − θ ) = 1 − cos θ = − sec θ ⟹ sec ( π − θ ) = − sec θ {\displaystyle \sec \left(\pi -\theta \right)={\frac {1}{\cos \left(\pi -\theta \right)}}={\frac {1}{-\cos \theta }}=-\sec \theta \qquad \Longrightarrow \qquad \sec \left(\pi -\theta \right)=-\sec \theta }
e
csc ( π − θ ) = 1 sen ( π − θ ) = 1 sen θ = csc θ ⟹ csc ( π − θ ) = + csc θ {\displaystyle \csc \left(\pi -\theta \right)={\frac {1}{\operatorname {sen} \left(\pi -\theta \right)}}={\frac {1}{\operatorname {sen} \theta }}=\csc \theta \qquad \Longrightarrow \qquad \csc \left(\pi -\theta \right)=+\csc \theta }
Logo a secante de um ângulo é igual ao inverso aditivo da secante de seu suplementar e a cossecante de um ângulo é igual ao inverso aditivo da cossecante de seu suplementar.[ 1]
Trocando-se valores de certos ângulos, é possível obter equivalências entre as funções trigonométricas. Funções trigonométricas são periódicas, e portanto, valores específicos de ângulo para as funções trigonométricas denotam um mesmo valor.
Adicionando-se π/2 Adicionando-se π Período para tan e cot[ 9] Adicionando-se 2π Período para sen, cos, csc e sec[ 10] sen ( θ + π 2 ) = + cos θ cos ( θ + π 2 ) = − sen θ tan ( θ + π 2 ) = − cot θ csc ( θ + π 2 ) = + sec θ sec ( θ + π 2 ) = − csc θ cot ( θ + π 2 ) = − tan θ {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen}(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\cos \theta \\\cos(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\operatorname {sen} \theta \\\tan(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\cot \theta \\\csc(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\sec \theta \\\sec(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\csc \theta \\\cot(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\tan \theta \end{aligned}}} sen ( θ + π ) = − sen θ cos ( θ + π ) = − cos θ tan ( θ + π ) = + tan θ csc ( θ + π ) = − csc θ sec ( θ + π ) = − sec θ cot ( θ + π ) = + cot θ {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen}(\theta +\pi )&=-\operatorname {sen} \theta \\\cos(\theta +\pi )&=-\cos \theta \\\tan(\theta +\pi )&=+\tan \theta \\\csc(\theta +\pi )&=-\csc \theta \\\sec(\theta +\pi )&=-\sec \theta \\\cot(\theta +\pi )&=+\cot \theta \\\end{aligned}}} sen ( θ + 2 π ) = + sen θ cos ( θ + 2 π ) = + cos θ tan ( θ + 2 π ) = + tan θ csc ( θ + 2 π ) = + csc θ sec ( θ + 2 π ) = + sec θ cot ( θ + 2 π ) = + cot θ {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen}(\theta +2\pi )&=+\operatorname {sen} \theta \\\cos(\theta +2\pi )&=+\cos \theta \\\tan(\theta +2\pi )&=+\tan \theta \\\csc(\theta +2\pi )&=+\csc \theta \\\sec(\theta +2\pi )&=+\sec \theta \\\cot(\theta +2\pi )&=+\cot \theta \end{aligned}}}
É possível deduzir fórmulas para calcular as funções trigonométricas da soma e da diferença de números reais , se conhecermos as funções circulares desses números.
A seguir há uma tabela que contém todas as fórmulas para adições e subtrações de arcos e, abaixo, suas demonstrações.
Seno sen ( α ± β ) = sen α cos β ± cos α sen β {\displaystyle \operatorname {sen}(\alpha \pm \beta )=\operatorname {sen} \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \operatorname {sen} \beta } [ 11] [ 12] Cosseno cos ( α ± β ) = cos α cos β ∓ sen α sen β {\displaystyle \cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \operatorname {sen} \alpha \operatorname {sen} \beta } [ 12] [ 13] Tangente tan ( α ± β ) = tan α ± tan β 1 ∓ tan α tan β {\displaystyle \tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}} [ 12] [ 14] Cotangente cot ( α ± β ) = cot α . cot β ∓ 1 cot β ± cot α {\displaystyle \cot(\alpha \pm \beta )={\frac {\cot \alpha .\cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha }}} [ 12] [ 15] Arco seno arcsen α ± arcsen β = arcsen ( α 1 − β 2 ± β 1 − α 2 ) {\displaystyle \operatorname {arcsen} \alpha \pm \operatorname {arcsen} \beta =\operatorname {arcsen} (\alpha {\sqrt {1-\beta ^{2}}}\pm \beta {\sqrt {1-\alpha ^{2}}})} [ 16] Arco coseno arccos α ± arccos β = arccos ( α β ∓ ( 1 − α 2 ) ( 1 − β 2 ) ) {\displaystyle \arccos \alpha \pm \arccos \beta =\arccos(\alpha \beta \mp {\sqrt {(1-\alpha ^{2})(1-\beta ^{2})}})} [ 17] Arco tangente arctan α ± arctan β = arctan ( α ± β 1 ∓ α β ) {\displaystyle \arctan \alpha \pm \arctan \beta =\arctan \left({\frac {\alpha \pm \beta }{1\mp \alpha \beta }}\right)} [ 18]
Soma de arcos Para descobrir o cosseno da soma de dois arcos (ou ângulos) segue a seguinte fórmula: cos ( a + b ) = cos a . cos b − sen a . sen b {\displaystyle \cos({\text{a}}+{\text{b}})=\cos {\text{a}}.\cos {\text{b}}-\operatorname {sen} {\text{a}}.\operatorname {sen} {\text{b}}}
Demonstração:
Sejam os pontos A , {\displaystyle {\text{A}},} B , {\displaystyle {\text{B}},} C {\displaystyle {\text{C}}} da figura ao lado, associados aos arcos a , {\displaystyle a,} − b {\displaystyle -b} e a + b , {\displaystyle a+b,} respectivamente. Assim, conforme já fora demonstrado, as coordenadas cartesianas dos pontos A , {\displaystyle {\text{A}},} B , {\displaystyle {\text{B}},} C {\displaystyle {\text{C}}} e E {\displaystyle {\text{E}}} são as seguintes:
A ( cos a , sen a ) {\displaystyle {\text{A}}(\cos {\text{a}},\operatorname {sen} {\text{a}})}
B ( cos b , − sen b ) {\displaystyle {\text{B}}(\cos {\text{b}},-\operatorname {sen} {\text{b}})}
C ( cos ( a + b ) , sen ( a + b ) ) {\displaystyle {\text{C}}(\cos({\text{a}}+{\text{b}}),\operatorname {sen}({\text{a}}+{\text{b}}))}
E ( 1 , 0 ) . {\displaystyle {\text{E}}(1,0).}
Observa-se, também, que os arcos que há entre os pontos A e B é igual ao arco que há entre o ponto E e C, o que faz com as respectivas cordas sejam iguais, logo: A B ¯ = E C ¯ . {\displaystyle {\overline {AB}}\,\!={\overline {EC}}.}
Aplicando a fórmula da distância entre dois pontos da geometria analítica, temos:
( A B ¯ ) 2 = [ cos a − cos b ] 2 + [ sen a − ( − sen b ) ] 2 {\displaystyle ({\overline {AB}})^{2}=[\cos {\text{a}}-\cos {\text{b}}]^{2}+[\operatorname {sen} {\text{a}}-(-\operatorname {sen} {\text{b}})]^{2}} e ( E C ¯ ) 2 = [ cos ( a + b ) − 1 ] 2 + [ sen ( a + b ) − 0 ] 2 . {\displaystyle ({\overline {EC}})^{2}=[\cos({\text{a}}+{\text{b}})-1]^{2}+[\operatorname {sen}({\text{a}}+{\text{b}})-0]^{2}.}
Simplificando a primeira relação, temos:
( A B ¯ ) 2 = cos 2 a − 2. cos a . cos b + cos 2 b + sen 2 a + 2. sen a . sen b + sen 2 b . {\displaystyle ({\overline {AB}})^{2}=\cos ^{2}{\text{a}}-2.\cos {\text{a}}.\cos {\text{b}}+\cos ^{2}{\text{b}}+\operatorname {sen} ^{2}{\text{a}}+2.\operatorname {sen} {\text{a}}.\operatorname {sen} {\text{b}}+\operatorname {sen} ^{2}{\text{b}}.}
Sabendo que sen 2 a + cos 2 a = 1 , {\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}{\text{a}}+\cos ^{2}{\text{a}}=1,} podemos reescrever:
( A B ¯ ) 2 = 2 − 2. cos a . cos b + 2. sen a . sen b . {\displaystyle ({\overline {AB}})^{2}=2-2.\cos {\text{a}}.\cos {\text{b}}+2.\operatorname {sen} {\text{a}}.\operatorname {sen} {\text{b}}.}
Simplificando a segunda relação, temos:
( E C ¯ ) 2 = cos 2 ( a + b ) − 2. cos ( a + b ) + 1 + sen 2 ( a + b ) . {\displaystyle ({\overline {EC}})^{2}=\cos ^{2}({\text{a}}+{\text{b}})-2.\cos({\text{a}}+{\text{b}})+1+\operatorname {sen} ^{2}({\text{a}}+{\text{b}}).}