數學中,特別是算子理論中,每個內積空間中的線性算子 都個有一個對應的伴隨算子(英語:adjoint operator),記作 ,伴隨算子可由以下關係定義
其中 是向量空間中的內積。
算子 的伴隨 亦可稱作埃尔米特伴随(英語:Hermitian adjoint),以夏尔·埃尔米特命名。在物理學,尤其是量子力學中,算子 的埃尔米特伴随常被記作 (狄拉克符号记法)。
有限維向量空間中算子可以以矩陣的形式表示,而伴隨算子的矩陣等於原矩陣的共軛轉置。
泛函分析中,上述對伴隨算子的定義可以直接套用於希尔伯特空间中的线性算子。
假設H是一個希爾伯特空間,帶有內積 。考慮連續線性算子A : H → H(這與有界算子相同)。
利用里斯表示定理,我們可以證明存在唯一的連續線性算子
A* : H → H具有如下性質:
- ,对所有。
這個算子A* 是A的伴隨。
這可以視為一個方塊矩陣的轉置共軛或伴隨矩陣推廣,在標準(復)內積下具有相似的性質。
马上可得的性质
- A** = A
- 如A可逆,则A* 也可逆,且 (A*)−1 = (A−1)*
- (A + B)* = A* + B*
- (λA)* = λ* A*,这里λ* 表示复数λ的复共轭
- (AB)* = B* A*
如果我们定义A的算子范数为
则
而且有
- 。
希尔伯特空间H上有界线性算子与伴随算子以及算子范数给出一个C*代数例子。
A的像与它的伴随的核的关系为
- 。
第一个等式的证明:
第二个等式由第一个推出,于两边取正交空间即可。注意到一般地,像未必是闭的,但连续算子的核总是闭的。
有界算子A: H → H称为埃尔米特或自伴如果
- A = A*
这等价于
- 。
在某种意义下,这种算子起着实数(等于他们的复共轭)的作用。他们在量子力学中作为实值可观测量的模型。更多细节参见自伴算子一文。
许多重要的算子不是连续的或只定义在希尔伯特的一个子空间上。在这种情形,我们仍然能定义伴随,在自伴算子一文有解释。
范畴论中,方程
形式上类似地定义了伴随函子偶性质,这也是伴随函子得名之由来。
- Walter Rudin. Functional Analysis(2nd ed.), China Machine Press, 2006