线性代数 |
![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a31efc33ac33577d719a3ccd162a9bf21e4847ea) |
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此条目页的主題是
主對角線元素為1、其餘元素為0的矩陣。关于所有元素皆為1的
矩陣,請見「
一矩陣」。
在線性代數中,
階單位矩陣,是一個
的方形矩陣,其主對角線元素為1,其餘元素為0。單位矩陣以
表示;如果階數可忽略,或可由前後文確定的話,也可簡記為
[註 1](或者
)。
![{\displaystyle I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0826c7ae28a83122c3fe249f4a0d75ac9c78d2b8)
一些數學書籍使用
和
(分別意為單位矩陣(unit matrix)和基本矩陣(Einheitsmatrix)),不過
更加普遍。
特別是單位矩陣作為所有
階矩陣的環的單位,以及作為由所有
階可逆矩陣構成的一般線性群
的單位元(單位矩陣明顯可逆,單位矩陣乘自己,仍是單位矩陣)。
這些
階矩陣經常表示來自
維向量空間自己的線性變換,
表示恆等函數,而不理會基。
有時使用這個記法簡潔的描述對角線矩陣,寫作:
![{\displaystyle I_{n}=\operatorname {diag} (1,1,...,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b90c2be6e2c3f37d25f1966213cbcc6c413411ff)
也可以克羅內克爾δ記法寫作:
![{\displaystyle (I_{n})_{ij}=\delta _{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ccfbe8d67222de7cb62e36fe1e8f8c18a0465b5)
根據矩陣乘法的定義,單位矩陣
的重要性質為:
且![{\displaystyle I_{n}B=B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbeb82b24cbbca97fea9fb9343b305f04b046c0f)
单位矩阵的特征值皆为1,任何向量都是单位矩阵的特征向量。[1]具有重數
。因为特征值之积等于行列式,所以单位矩阵的行列式为1。因为特征值之等于迹数,单位矩阵的迹为
。
- ^ 在部分領域中,如量子力學,單位矩陣是以粗體字的1表示,否則無法與I作區別。