在数学中,一个双线性映射是由两个向量空间上的元素,生成第三个向量空间上一个元素之函数,并且该函数对每个参数都是线性的。例如矩阵乘法就是一个例子。
设
,
和
是在同一个基础域
上的三个向量空间。双线性映射是函数
![{\displaystyle B:V\times W\rightarrow X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/765e7d8686379575d25cbe67efb85bbf844855d8)
使得对于任何
中
,映射
![{\displaystyle v\mapsto B\left(v,w\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74ad906390114b3f5efa21f1701c61d12951bec1)
是从
到
的线性映射,并且对于任何
中的
,映射
![{\displaystyle w\mapsto B(v,w)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f6fd00ae72cc3b6e316c6dc0ff89079aa406c8d)
是从
到
的线性映射。
换句话说,如果保持双线性映射的第一个参数固定,并留下第二个参数可变,结果就是线性算子,如果保持第二个参数固定也是类似的。
如果
并且有
对于所有
中的
,则我们称
是对称的。
当这里的
是
的时候,我们称之为双线性形式,它特别有用(参见例子标量积、内积和二次形式)。
如果使用在交换环
上的模替代向量空间,定义不需要任何改变。还可容易的推广到
元函数,这里正确的术语是“多线性”。
对非交换基础环
和右模
与左模
的情况,我们可以定义双线性映射
,这里的
是阿贝尔环,使得对于任何
中的
是群同态,而对于任何
中的
是群同态,并还满足
![{\displaystyle B\left(mt,n\right)=B\left(m,tn\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b360d82e8d5eec0cb6ccefa3bdc86d1c472317a0)
对于所有的
中的
,
中
和
中的
。
定义
,
,
是有限维的,则
也是有限维的。对于
就是双线性形式,这个空间的维度是
(尽管线性形式的空间
的维度是
)。看得出来,选择
和
的基;接着每个线性映射可以唯一的表示为矩阵
,反之亦然。现在,如果
是更高维的空间,我们明显的有
。
- 矩阵乘法是双线性映射
。 - 如果在实数
上的向量空间
承载了内积,则内积是双线性映射
。 - 一般的说,对于在域
上的向量空间
,在
上的双线性形式同于双线性映射
。 - 如果
是有对偶空间
的向量空间,则应用算子
是从
到基础域的双线性映射。 - 设
和
是在同一个基础域
上的向量空间。如果
是
的成员而
是
的成员,则
定义双线性映射
。 - 在
中叉积是双线性映射
。 - 设
是双线性映射,而
是线性算子,则
是在
上的双线性映射。 - 零映射,定义于
对于所有
中的
,是从
到
的同时为双线性映射和线性映射的唯一映射。实际上,如果
,则
。