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极限」。
数列極限(英語:limit of a sequence)為某些数列才擁有的特殊值,當數列的下標越來越大的時候,數列的值也就越接近那個特殊值。
從上面的定義可以證明,對實數數列
來說,若
![{\displaystyle \lim _{i\to \infty }z_{i}=z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fcc6879f044a2cc915d92bef9fff840687d0094)
則其極限
一定為实数 ,因為假設
的虛部
的話,則對極限定義取
的話,會存在
,使得任意的
,只要
有
![{\displaystyle |z-z_{i}|={\sqrt {{[\operatorname {Re} (z)-z_{i}]}^{2}+{|\operatorname {Im} (z)|}^{2}}}<|\operatorname {Im} (z)|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb3586c8ed73748b215df442b8ed84cef3783b27)
這是矛盾的,所以根據反證法,
,即
。
定理 — 若數列
的極限存在,則極限是唯一的。[1]:29
根據实质条件的意義,上面的定理等價於「如果一個實數數列無界,則這個實數數列一定發散。」[1]:30
注意有界數列不一定有極限,如數列
是一個有界數列,但沒有極限。
但是當數列有界,存在一個遞增或是遞減的子數列的話,則可以證明,數列存在極限。
證明 左至右:
取
,則由前提假設,存在
使任何
只要
就有
![{\displaystyle |x_{i}-a|<{\frac {a-b}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f625d3ab16ed14378b95594cf82d8d4e1ff71d4d)
![{\displaystyle |y_{i}-b|<{\frac {a-b}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cd926898e4dd1719be7fd2603e8990fb989dfea)
从而
![{\displaystyle y_{n}<b+{\frac {a-b}{2}}={\frac {a+b}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3695f91a80f79cde702e450693b02f2c87ad4b89)
故
![{\displaystyle y_{n}<{\frac {a+b}{2}}<x_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b95945c138d2f35ffe58d4cb4e68303dae35a518)
這樣取
,左至右就得證。
右至左:
由前提假設,對任意的
,存在
使任何
只要
就有
![{\displaystyle \epsilon -a<x_{i}<\epsilon +a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3ab02e1565b9233148741d2ffe967390d70d2ff)
![{\displaystyle \epsilon -b<y_{i}<\epsilon +b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a777cf05e3d62ac2ce9477f04e9e2805bd06ff01)
![{\displaystyle x_{i}>y_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce637e2309123ee039625db631209651eb3b94a1)
从而
![{\displaystyle 0<x_{i}-y_{i}<a-b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef218c5a1bdce790c092b7c1d4a4cabe5e0f72d8)
故得證。
設
,
,則
;
; - 若
,則
.
其中一個判斷數列是否收斂的定理,称为单调收敛定理,和實數完備性相關:單調有界數列必收斂,即是說,有上界的單調遞增數列,或是有下界的單調遞減數列,必然收斂。