莱维过程(Lévy process)源于法国数学家保羅·皮埃爾·萊維,是连续时间上的一种拥有独立稳定增量的左极限右连续(Càdlàg)的随机过程。著名的例子有维纳过程和泊松过程。
一个随机过程
是一个莱维过程如果符合以下条件:
几乎确定。 - 独立增量:对任何
,
相互独立。 - 稳定增量:对任何
,
与
有相同分布
is 几乎确定右连左极.
设Xt是一个连续时间上的随机过程。也就是说,对于任何固定的t ≥ 0,Xt是一个随机变量。过程的增量为差值Xs − Xt(任意的时间t < s)。 独立增量意味着对于任何时间s > t > u > v,Xs − Xt和Xu − Xv相独立。
如果增量Xs − Xt的分布只依赖于时间间隔s − t,则称增量是稳定的。
例如,对于维纳过程,增量Xs − Xt服从均值为0,方差为s − t的正态分布。
对于泊松过程,增量Xs − Xt服从指数为s − t的泊松分布
莱维过程与无限可分分布有关:
- 增量的分布是无穷可分的。即对任意给定的n,Xt的分布可以表示为n个与Xt/n同分布的随机变量的和的分布。
- 反之,对于每个无穷可分的分布,可以构造出一个与之对应的Lévy过程。
当莱维过程的n阶矩
存在有限时, 它满足二项式等式:
![{\displaystyle \mu _{n}(t+s)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\mu _{k}(t)\mu _{n-k}(s).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de4a0678b37ad29d728cea08ee6f90cfc5ec4c6a)
定义
X为维纳过程(或者标准布朗运动) 当且仅当
- 对任何
, 随机变量
服从正态分布
, - 它的轨迹是几乎处处连续的;即, 对于几乎所有的事件
,关于t的函数
是连续的。
性质
![{\displaystyle \mathbb {E} {\Big [}e^{i\theta X_{t}}{\Big ]}=\exp \left(-{\frac {1}{2}}t\theta ^{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da7be253834d3cd383fd8def1d94b8bd2bab04df)
其他性质可参考词条布朗运动。
定义
X为一个实参数为
,测度为
复合泊松过程当且仅当它的傅立叶变换为:
.
性质
- 参数为
,测度为Dirac测度
的复合泊松过程为泊松过程. - 设N为参数为
的泊松过程,
为一个随机游走(
的分布为
),那么
为一个复合泊松过程。
翻译自英语、法语版维基词条。
Ken-iti Sato. Lévy Processes and Infinitely Divisible Distributions,Cambridge University Press, 1999