线性组合 - 维基百科,自由的百科全书
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線性組合(英語:Linear combination)是線性代數中具有如下形式的表达式。其中为任意类型的项,为标量。這些純量稱為線性組合的係數或權。
定義
[编辑]如果存在有限多個向量屬於,和對應的純量屬於,使得,則稱是的線性組合。
規定:向量是空集合的線性組合。
线性生成
[编辑]所有 S 的有限線性組合構成的集合,稱為 S 所生成的空間,記作 span(S)。
任何 S 所生成的空間必有以下的性質:
1. 是一個 V 的子空間(所以包含0向量)
2. 幾何上是直的,沒有彎曲(即,任兩個 span(S) 上的點連線延伸,所經過的點必也在 span(S) 上)
线性无关
[编辑]对于一个向量集 S ={v1,...,vn}, 若向量空间中的单个向量可以写作两个不同的线性组合,
另一种表述方式是,如果将它们相减 () ,得到一个纯量不全等于零的线性组合,而它的值为零:
那么v1,...,vn 称为“线性相关”;否则它们为线性无关。
若S是线性无关,而S的生成空间等于V,那么S是V的基。
仿射组合,锥组合及凸组合
[编辑]组合的种类 | 系数的限制 | 集合名 | 样板空间 |
---|---|---|---|
线性组合 | 无限制 | 向量子空间 | |
仿射组合 | 仿射子空间 | 仿射超平面 | |
锥组合 | 凸锥 | 象限或八分圆 | |
凸组合 | and | 凸集 | 单纯形 |
因为这些组合的限制更加严格,所以在这些运算之下的闭合子集也更多。因此,仿射子集,凸锥,和凸集都是向量子空间的一般化形式。所有向量子空间都是仿射子空间,凸锥,也是凸集,但凸集不一定是向量子空间,仿射子空间,或凸锥。
这些概念的产生是由于对于一些特定的数学对象,人们可以采用某些线性组合,但并非任何线性组合:例如,概率分布在凸组合下是闭合的,并且它们形成一个凸集;但在锥组合,仿射组合,或线性组合下不是闭合的。正测度在锥组合下是闭合的,但在仿射或线性组合下不是。因此,我们将带正负符号的测度定义为它的线性闭包。
线性和仿射组合可以在任何域或环上定义,但锥组合和凸组合需要“正数”的概念,因此只能在有序域或有序环上定义,最常见的例子是实数。
如果仅允许乘以标量而不允许相加,则我们得到一个(不一定是凸的)圆锥;通常来说,定义中只允许乘以正标量。
所有这些概念通常都定义为环境向量空间的子集,而不是独立地由公理定义。仿射空间除外,因为仿射空间也可以看作“没有原点的向量空间”。