Інверсія кривої — Вікіпедія
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0c/Inverse_Curves_Parabola_Cardioid.svg/300px-Inverse_Curves_Parabola_Cardioid.svg.png)
Інве́рсія криво́ї — результат застосування операції інверсії до заданої кривої C. Відносно фіксованого кола з центром O і радіусом k інверсія точки Q — це точка P, що лежить на промені OQ, і OP•OQ = k2. Інверсія кривої C — це множина всіх точок P, що є інверсіями точок Q, які належать кривій C. Точку O в цій побудові називають це́нтром інве́рсії, коло називають ко́лом інве́рсії, а k — ра́діусом інве́рсії.
Інверсія, застосована двічі, дасть тотожне перетворення, так що інверсія, застосована до інверсії кривої відносно того ж кола, дасть початкову криву. Точки самого кола переходять у себе, так що коло інверсії під час операції не змінюється.
Інверсією точки (x, y) відносно одиничного кола є (X, Y), де:
- ,
або, що еквівалентно:
- .
Так що інверсія кривої, визначеної рівнянням f(x, y) = 0, відносно одиничного кола задається рівнянням:
- .
З цього рівняння випливає, що інверсія алгебричної кривої степеня n відносно кола дає алгебричну криву степеня не більше 2n.
Так само, інверсією кривої, заданої параметричним рівнянням:
- ,
відносно одиничного кола буде:
Звідси випливає, що колова інверсія раціональної кривої є також раціональною кривою.
Узагальнюючи, інверсією кривої, заданої рівнянням f(x, y) = 0, відносно кола з центром в (a, b) і радіусом k є
Інверсією кривої, заданої параметрично:
- ,
відносно того ж кола буде:
- .
У полярній системі координат рівняння простіші, якщо розглядаємо інверсію відносно одиничного кола. Інверсією точки (r, θ) відносно одиничного кола є (R, Θ), де
- ,
або, що еквівалентно:
- .
Таким чином, інверсія кривої f(r, θ) = 0 визначається рівнянням f(1/R, Θ) = 0, а інверсією кривої r = g(θ) буде r = 1/g(θ).
Застосування перетворення, наведеного вище, до лемніскати Бернуллі
дасть
— рівняння гіперболи. Оскільки інверсія є біраціональним перетворенням і гіпербола є раціональною кривою, це показує, що лемніската також є раціональною кривою, іншими словами, крива має рід нуль. Якщо застосувати інверсію до кривої Ферма xn + yn = 1, де n непарне, отримаємо
Будь-яка раціональна точка[en] на кривій Ферма має відповідну раціональну точку на цій кривій, що дає еквівалентне формулювання великої теореми Ферма.
Для простоти в як коло інверсії в прикладах використаємо одиничне коло. Результат інверсії для інших кіл можна отримати перетворенням початкової кривої.
Якщо пряма проходить через початок координат, її рівняння в полярних координатах буде θ = θ0, де θ0 сталий. Рівняння не змінюється за інверсії.
Рівняння в полярних координатах прямої, що не проходить через початок координат,
і рівнянням інверсії кривої буде
яке задає коло, що проходить через початок координат. Застосування інверсії вже до цього кола показує, що інверсією кола, яке проходить через початок координат, буде пряма.
У полярних координатах загальне рівняння кола, що не проходить через початок координат, має вигляд
де a — радіус і (r0, θ0) — полярні координати центра. Рівнянням інверсної кривої буде
або
Це рівняння кола з радіусом
і центром у точці з координатами
Зауважимо, що R0 може бути від'ємним.
Якщо початкове коло перетинається з одиничним колом, то центри цих двох кіл і точка перетину утворюють трикутник зі сторонами 1, a, r0 і цей трикутник буде прямокутним, якщо
Але з рівняння вище випливає, що прочаткове коло збігається з його інверсією тільки в разі, коли
Таким чином, інверсія кола збігається з початковим колом тоді й лише тоді, коли коло перетинає одиничне коло під прямими кутами.
Рівнянням параболи, якщо повернути її так, щоб вісь стала горизонтальною, буде x = y2. У полярних координатах це перетворюється на
Рівнянням інверсної кривої тоді буде
- ,
і це цисоїда Діокла.
Рівняння в полярних координатах конічного перетину з фокусом у початку координат, з точністю до подібності
- ,
де e — ексцентриситет. Інверсією цієї кривої буде:
- ,
і це — рівняння равлика Паскаля. Якщо e = 0, це коло інверсії. Якщо 0 < e < 1, початкова крива є еліпсом і її інверсія — це замкнута крива з ізольованою точкою в початку координат. Якщо e = 1, початкова крива є параболою і її інверсія є кардіоїдою, що має касп у початку координат. Якщо e > 1, початкова крива є гіперболою і її інверсія утворює дві петлі з точкою перетину[en] на початку координат.
Загальним рівнянням еліпса або гіперболи є:
- .
Перетворимо рівняння так, щоб початок координат став вершиною:
- ,
і після перетворення:
або, замінивши константи:
- .
Зауважимо, що парабола, розглянута вище, тепер потрапляє в цю схему, якщо покласти c = 0 і d = 1. Рівнянням інверсної кривої буде:
або
- .
Це рівняння описує сімейство кривих, які називаються конхоїдами Слюза. Це сімейство включає, на додачу до цисоїди Діокла, описаної вище, трисектрису Маклорена (d = −c/3) і праву строфоїду (d = −c).
Рівняння еліпса або гіперболи:
- ,
після операції інвертування:
і це — лемніската Бута. Якщо d = −c, це лемніската Бернуллі.
Інверсія конічного перетину (відмінного від кола) є циркулярною кривою третього порядку, якщо центр інверсії лежить на кривій, і біциркулярною кривою четвертого порядку в іншому випадку. Конічні перетини є раціональними, так що інвертовані криві теж раціональні. І навпаки, будь-яка раціональна циркулярна крива третього порядку або раціональна біциркулярна крива четвертого порядку є інверсією конічного перетину. Фактично будь-яка з цих кривих повинна мати особливість, і якщо взяти цю точку за центр інверсії, інверсна крива буде конічним перетином[1][2].
Аналагмати́чна крива́ — це крива, яка при інверсії переходить у себе. До них належать коло, овал Кассіні і трисектриса Маклорена.
- ↑ «Cubique Circulaire Rationnelle» at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables. Архів оригіналу за 12 червня 2021. Процитовано 21 лютого 2022.
- ↑ «Quartique Bicirculaire Rationnelle» at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables. Архів оригіналу за 12 червня 2021. Процитовано 21 лютого 2022.
- J. W. Stubbs. On the application of a new Method to the Geometry of Curves and Curve Surfaces // Philosophical Magazine Series 3. — 1843. — Т. 23 (1 вересня). — С. 338–347.
- J. Dennis Lawrence. A catalog of special plane curves. — Dover Publications, 1972. — 1 вересня. — С. 43–46,121. — ISBN 0-486-60288-5.
- Weisstein, Eric W. Inverse Curve(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. Anallagmatic Curve(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- «Inversion» на сайті Visual Dictionary Of Special Plane Curves [Архівовано 23 травня 2012 у Wayback Machine.]
- «Inverse d'une Courbe par Rapport à un Point» at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables [Архівовано 12 червня 2021 у Wayback Machine.]
- Визначення на сайті MacTutor «знамениті криві» [Архівовано 3 жовтня 2019 у Wayback Machine.]. Цей сайт також містить приклади інверсних кривих і Java-аплет для перегляду інверсних кривих зі списку.
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)