Суперформула — Вікіпедія

Суперформула — узагальнений випадок рівняння плоскої кривої супереліпса (кривої Ламе), записаний у 1997 році бельгійським вченим Йоханом Джилісом (англ. Johan Gielis).

Й.Джиліс припустив, що формула може бути використана для опису багатьох складних форм і кривих, які зустрічаються в природі^[1].

У полярних координатах, для ${\displaystyle r}$ радіуса і кута ${\displaystyle \varphi }$, суперформула має вигляд:

${\displaystyle r\left(\varphi \right)=\left[\left|{\frac {\cos \left({\frac {m\varphi }{4}}\right)}{a}}\right|^{n_{2}}+\left|{\frac {\sin \left({\frac {m\varphi }{4}}\right)}{b}}\right|^{n_{3}}\right]^{-{\frac {1}{n_{1}}}},}$

де ${\displaystyle m}$ — характеризує число фрагметів, що повторюються;

${\displaystyle n_{1}}$, ${\displaystyle n_{2}}$, ${\displaystyle n_{3}}$ — параметри, що визначають форму;

${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ — габарити (величини півосей).

Інші приклади кривих, побудованих за супреформулою для вказаних m, n₁, n₂ і n₃ при a = b = 1

Програма для генерування кривих на основі суперформули мовою програмування GNU Octave:

  function sf2d(n,a)     u=[0:.001:2*pi];     raux=abs(1/a(1).*abs(cos(n(1)*u/4))).^n(3)+abs(1/a(2).*abs(sin(n(1)*u/4))).^n(4);     r=abs(raux).^(-1/n(2));     x=r.*cos(u);     y=r.*sin(u);     plot(x,y);   end 

PHP-скрипт для генерування таких фігур:

<?php 	header("Content-type: image/png"); 	set_time_limit(120); 	$img = imagecreatetruecolor(800, 800); 	$black = imagecolorallocate($img, 0, 0, 0); 	imagefilledrectangle($img, 0, 0, 800, 800, $black);  	$center = 400; 	$PI = 2 * pi();  	$a = 1; 	$b = 1; 	$m = 12; 	$n1 = 5; 	$n2 = 6; 	$n3 = 48;  	for($f = 0; $f <= $PI; $f += 0.0001) { 		$r= pow((pow(abs(cos($m*$f/4)/$a),$n2) + pow(abs(sin($m*$f/4)/$b), $n3)), -(1/$n1)); 		$x = $center + $r * cos ($f) * 100; 		$y = $center + $r * sin ($f) * 100; 		$col = imagecolorallocate($img, 255, 255, 255); 		imagesetpixel($img, $x, $y, $col); 	}  	print imagepng($img); 	imagedestroy($img); ?> 

Є можливим розширення суперформули до 3, 4, чи n вимірів, у сферичній системі координат. Наприклад тривимірне параметричне задання поверхні отримується перемноженням двох суперформул r₁ and r₂. Геометричне місце точок відповідної поверхні може бути задане співвідношеннями:

${\displaystyle x\,=\,r_{1}(\theta )\cos(\theta )r_{2}(\phi )\cos(\phi )}$

${\displaystyle y\,=\,r_{1}(\theta )\sin(\theta )r_{2}(\phi )\cos(\phi )}$

${\displaystyle z\,=\,r_{2}(\phi )\sin(\phi ),}$

де ${\displaystyle \phi }$ змінюється у межах від -π/2 до π/2 (широта) і θ в діапазоні між -π та π (довгота).

Тривимірна суперформула для a = b = 1:

• 
  m=3, n₁=2, n₂=5, n₃=7
• 
  m=3, n₁=5, n₂=5, n₃=5
• 
  m=3, n₁=30, n₂=15, n₃=15
• 
  m=7, n₁=2, n₂=8, n₃=4
• 
  m=5, n₁=1, n₂=1, n₃=1
• 
  m=4, n₁=0.5, n₂=0.5, n₃=4
• 
  m=8, n₁=0.5, n₂=0.5, n₃=8
• 
  m=4, n₁=12, n₂=15, n₃=15

Показані вище фігури згенеровано наступним скриптом GNU Octave:

 function sf3d(n, a)   u=[-pi:.05:pi];   v=[-pi/2:.05:pi/2];   nu=length(u);   nv=length(v);     for i=1:nu     for j=1:nv       raux1=abs(1/a(1)*abs(cos(n(1).*u(i)/4))).^n(3)+abs(1/a(2)*abs(sin(n(1)*u(i)/4))).^n(4);       r1=abs(raux1).^(-1/n(2));       raux2=abs(1/a(1)*abs(cos(n(1)*v(j)/4))).^n(3)+abs(1/a(2)*abs(sin(n(1)*v(j)/4))).^n(4);       r2=abs(raux2).^(-1/n(2));       x(i,j)=r1*cos(u(i))*r2*cos(v(j));       y(i,j)=r1*sin(u(i))*r2*cos(v(j));       z(i,j)=r2*sin(v(j));     endfor;   endfor;   mesh(x,y,z);  endfunction; 

• Супереліпс

• Some Experiments on Fitting of Gielis Curves by Simulated Annealing and Particle Swarm Methods of Global Optimization (англ.)
• Least Squares Fitting of Chacón-Gielis Curves By the Particle Swarm Method of Optimization (англ.)
• Superformula 2D Plotter & SVG Generator [Архівовано 31 жовтня 2009 у Wayback Machine.] (англ.)
• Interactive example using JSXGraph [Архівовано 7 жовтня 2016 у Wayback Machine.] (англ.)
• 3D Superdupershape Explorer using Processing [Архівовано 19 жовтня 2016 у Wayback Machine.] (англ.)
• Interactive 3D Superformula plotter using Processing (with code) (англ.)
• SuperShaper: An OpenCL accelerated 3D SuperShape generator with shader based visualisation (OpenGL3) (англ.)