Benini |
---|
Параметри | форма (дійсне)
форма (дійсне)
масштаб (дійсне) |
---|
Носій функції | ![{\displaystyle x>\sigma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75824bf2a51b53e904f40105458cdf168c26208d) |
---|
Розподіл імовірностей | ![{\displaystyle e^{-\alpha \log {\frac {x}{\sigma }}-\beta \left[\log {\frac {x}{\sigma }}\right]^{2}}\left({\frac {\alpha }{x}}+{\frac {2\beta \log {\frac {x}{\sigma }}}{x}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c90900b770d8d7cd1aae2ca2debb2cc8bb8e594) |
---|
Функція розподілу ймовірностей (cdf) | ![{\displaystyle 1-e^{-\alpha \log {\frac {x}{\sigma }}-\beta [\log {\frac {x}{\sigma }}]^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d974e71cf9bb73027b65af06a6957ca23463b2ae) |
---|
Середнє | де - "ймовірнісні поліноми Ерміта" |
---|
Медіана | ![{\displaystyle \sigma \left(e^{\frac {-\alpha +{\sqrt {\alpha ^{2}+\beta \log {16}}}}{2\beta }}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f32bb45757a1c8b2631ec798179dd9ea5e281782) |
---|
Дисперсія | ![{\displaystyle \left(\sigma ^{2}+{\tfrac {2\sigma ^{2}}{\sqrt {2\beta }}}H_{-1}\left({\tfrac {-2+\alpha }{\sqrt {2\beta }}}\right)\right)-\mu ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f937a97b0c6224808c7b80b6e5263221ecae9740) |
---|
У імовірності, статистиці, економіці та актуарній науці розподіл Беніні — це неперервний розподіл ймовірності, який є статистичним розподілом розмірів, і який часто застосовується для моделювання доходів, серйозності претензій або втрат в актуарних програмах та інших економічних даних[1][2]. Його поведінка хвоста спадає швидше, ніж степеневий закон, але повільніше за експоненційний. Цей розподіл був запропонований Родольфо Беніні у 1905 році[3]. Трохи пізніше за оригінальну роботу Беніні, розподіл був незалежно виявлений або описаний кількома авторами[4].
Розподіл Беніні
це трипараметричний розподіл, що має функцію розподілу
![{\displaystyle F(x)=1-\exp\{-\alpha (\log x-\log \sigma )-\beta (\log x-\log \sigma )^{2}\}=1-\left({\frac {x}{\sigma }}\right)^{-\alpha -\beta \log {\left({\frac {x}{\sigma }}\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3a8aae295f430ecfa387481c10bc82e56c78ff2)
де
, параметри форми α, β > 0, а σ > 0 - параметр масштабу. Для простоти Беніні[3] аналізував лише двопараметральну модель (з α = 0), де функція розподілу задається
![{\displaystyle F(x)=1-\exp\{-\beta (\log x-\log \sigma )^{2}\}=1-\left({\frac {x}{\sigma }}\right)^{-\beta (\log x-\log \sigma )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e05a87f51824e531ecabc821b28e23ee5ae8367)
Густина двопараметричної моделі Беніні записується
![{\displaystyle f(x)={\frac {2\beta }{x}}\exp \left\{-\beta \left[\log \left({\frac {x}{\sigma }}\right)\right]^{2}\right\}\cdot \log \left({\frac {x}{\sigma }}\right),\qquad x\geq \sigma >0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a620912f6eccab336f592a30782da9c9384bd62)
Двопараметричну випадкову змінну Беніні можна бути згенерувати методом перетворення зворотної ймовірності. Для моделі з двома параметрами квантильна функція (обернена до функції розподілу) записується
![{\displaystyle F^{-1}(u)=\sigma \exp {\sqrt {-{\frac {1}{\beta }}\log(1-u)}},\quad 0<u<1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/126f596d948134131d9e8fd40d65afc0ba170472)
- Якщо
, то X має розподіл Парето з ![{\displaystyle x_{\mathrm {m} }=\sigma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dcf23b4cf465c1abd88665e439ce360c262a301)
- Якщо
тоді
де ![{\displaystyle U\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d5e7047da058742e7ce5849af2357c5ae11cd87)
Густина (двопараметричного) розподілу Беніні, функція розподілу, квантилі і генератор випадкових чисел реалізовано в пакеті VGAM для R, в цьому ж пакеті є можливість знайти параметр форми методом максимальної правдоподібності параметра.
- ↑ Kleiber, Christian; Kotz, Samuel (2003). Chapter 7.1: Benini Distribution. Statistical Size Distributions in Economics and Actuarial Sciences. Wiley. ISBN 978-0-471-15064-0.
- ↑ A. Sen and J. Silber (2001). Handbook of Income Inequality Measurement, Boston:Kluwer, Section 3: Personal Income Distribution Models.
- ↑ а б Benini, R. (1905). I diagrammi a scala logaritmica (a proposito della graduazione per valore delle successioni ereditarie in Italia, Francia e Inghilterra). Giornale degli Economisti, Series II, 16, 222–231.
- ↑ See the references in Kleiber and Kotz (2003), p. 236.
|
---|
| | | Дискретні одновимірні зі скінченним носієм | |
---|
| Дискретні одновимірні з нескінченним носієм | |
---|
| Неперервні одновимірні з носієм на обмеженому проміжку | |
---|
| Неперервні одновимірні з носієм на напів-нескінченному проміжку | |
---|
| Неперервні одновимірні з носієм на всій дійсній прямій | |
---|
| Неперервні одновимірні з носієм змінного типу | |
---|
| Змішані неперервно-дискретні одновимірні | |
---|
| Багатовимірні (спільні) | |
---|
| Напрямкові | |
---|
| Вироджені та сингулярні[en] | |
---|
| Сімейства | |
---|
|